教室座位選擇問題(數(shù)學建模)

1、PAGE PAGE 21教室座位選擇問題摘要本文研究交大兩種教室在不同的影響條件下對于最佳座位的選擇問題，構建線性離散加權模型的評價體系，從仰角、視角和學生與老師的距離L三個不同的影響因素來研究最佳位置。 針對問題一，在不考慮老師的影響因素下，分別對普通教室和階梯教室的最佳位置進行研究。我們需要在獲得本題相關數(shù)據(jù)的前提下設置一個數(shù)學量建立一個評價體系，通過該數(shù)學量的取值來評價座位的最佳程度。對于此問題的評價體系，由于最佳位置是由多個因素共同決定，且每排座位都可以看作離散的個體，故采用線性離散加權模型對和進行客觀的加權的出每排座位的滿意度。首先，我們算出每排的角與角的大小，然后對其進行數(shù)據(jù)的一致

2、化處理，為極大型數(shù)據(jù)，而為中間型數(shù)據(jù)，我們統(tǒng)一將數(shù)據(jù)轉化為極大型。于是我們將減去30加絕對值，之后再取倒數(shù)，得極大型數(shù)據(jù)，再用極值化法對處理后的數(shù)據(jù)進行無量綱化，然后用變異系數(shù)法對視角和仰角加權，最后建立線性離散加權模型進行求解。最終在客觀賦權的基礎上求出普通教室的最佳座位位于第6排，滿意度為0.7191，階梯教室的最佳座位位于第4排，滿意度為0.8852. 對于問題二，在考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響下，分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。大致步驟同問題一相似，只是多了一個評價指標，既座位與老師的距離，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我們把距離與老師的影響視為線性相關，從而把老師對學生

3、的影響轉化為與老師距離的大小，所以需要求出每排座位的距離，進行預處理與加權，再建立線性離散加權模型進行求解。最終在三個因素的共同影響下確定普通教室的最佳座位位于第6排，滿意度為0.5470，其中第1排與第6排的滿意度比較接近，階梯教室的最佳座位位于第四排，滿意度為0.7980。由最終結果可知，通過變異系數(shù)法所確定的的權重明顯高于其他兩個評價指標，致使?jié)M意度在很大程度上取決于的取值，而與距離L的影響相對不大，這主要因為我們是通過客觀的變化規(guī)律對指標取得相應的權重，完全忽略了主觀因素對結果的影響。針對本文的特點，由于評價的對象與指標比較少，且貼近實際生活，我們完全可以通過調(diào)查同學們的想法來確定指標

4、的主觀權重。所以，為了保留指標的自身變化，同時力爭減少賦權的客觀隨意性，使屬性的賦權達到主觀與客觀的統(tǒng)一，我們運用了主客觀賦權法對變異系數(shù)法進行了優(yōu)化。本文的最大特色，便是在客觀結果的基礎上通過實地問卷調(diào)查，將客觀指標與主觀指標相結合，使屬性的賦權達到主觀與客觀的統(tǒng)一，從而更加貼近實際，結果更具有說服力！關鍵詞：線性離散加權模型 預處理無量綱化極大型 極值化法 變異系數(shù)法主客觀賦權法一、問題提出自高中升入大學，許多學生一下子從緊張的學習進入到自由寬松的學習氛圍中，也有一部分同學依舊保持著熱忱的學習熱情，在大學上課前搶著去占座位。西南交通大學峨眉校區(qū)六號樓的教室大體可以分為兩類，一類是普通教室，

5、一類是階梯教室，下圖為兩類教室的剖面圖。據(jù)悉，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角，視角是學生眼睛到屏幕上下邊緣的夾角，越大越好；仰角是學生眼睛到屏幕上邊緣與水平線的夾角，太大會引起人的頭部過分上仰而引起不適，最適宜的角度大約為，另外所占座位越靠前排越容易集中精神，也越好。如圖，設屏幕下邊緣距地面高度為 ，屏幕高，普通教室第一排與屏幕的水平距離為，階梯教室第一排與屏幕的水平距離為 ，每一排的距離為，普通教室總共為學生平均坐高為（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù)， ，（單位：），普通教室總共有8排，階梯教室總共有14排且從第6排開始有階梯，每節(jié)階梯有一排座位且高度為。（如圖所示）1、假設不考慮座位與

6、距離老師遠近產(chǎn)生的影響，請分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位；2、考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響，請分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。 二、基本假設1、假設最佳座位不受個人習慣、成績、視力和學科以及其他因素的影響，統(tǒng)一標準客觀對待；2、假設在同一排座位的滿意度相同，不受左右的影響；3、假設老師站位距離黑板1.2米處，且不考慮老師的移動問題；4、假設同學到老師的距離為同學眼睛距老師所站之處1.1米高處質(zhì)點的距離；5、假設老師的影響與同學到老師的距離線性相關；三、符號說明符號意義單位符號意義單位視角S仰角SL屏幕下邊緣距地面高度m屏幕高m普通教室第一排與屏幕的水平距離m階梯教室第一排與屏幕

7、的水平距離m每一排的間距m眼睛到地面的距離mL到老師的距離m無量綱化后的無量綱化后的L無量綱化后的L的權重系數(shù)L的權重系數(shù)的權重系數(shù)最終滿意度四、問題分析由題意可知，學生對座位的滿意程度主要取決于聽課時的視角，仰角以及距離老師的距離，越大越好，而越接近越好，與老師的距離越近越好，最佳位置就是要在這三者之間找到一個契合點，使學生對三者的綜合滿意程度達到最大。本文主要通過對水平視角，仰角以及距老師的距離進行無量綱化，再分別對三者取權重，從而建立一個非線形型離散加權模型。針對問題一，不考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響，分別求普通教室和階梯教室最佳座位所在。首先，我們算出每排的角與角的大小，然后對其進

8、行數(shù)據(jù)的一致化處理，全部轉化為極大型數(shù)據(jù)，然后再進行無量綱化與加權，最后建立非線性離散加權模型進行求解。對于問題二，在考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響下，分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。大致步驟同問題一相似，只是多了一個評價指標，既座位與老師的距離，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我們把距離與老師的影響視為線性相關，從而求出每排座位的距離，進行預處理與加權，再建立線性離散加權模型進行求解。最后，我們考慮到所占權重太大，過于客觀，其實很多同學對座位的選取是憑主觀意識來進行的，所以我們改進了對數(shù)據(jù)加權的方法，采用主客觀賦權法，從而使結果更符合實際，更具有說服力。 五、模型的建立與求解5.1

9、 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析針對問題一，不考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響，分別求普通教室和階梯教室最佳座位所在。對于普通教室，總共有8排，第一排距黑板距離D為3m，第一排距老師1.8m。對于階梯教室，總共14排，從第六排開始有階梯且每排階梯上升0.1米。第一排距離黑板距離為4米，距離老師2.8米。兩階梯教室每排寬度為0.5米，黑板距離地面h為1.2米，黑板高度為3米，第一排學生視線距離地面1.1米。仰角為，視角為。首先，我們算出每排的角與角的大小，然后對其進行數(shù)據(jù)的一致化處理，統(tǒng)一轉化為極大型數(shù)據(jù)，然后運用極值化法對處理之后的數(shù)據(jù)進行無量綱化，再通過變異系數(shù)法算出每個指標對

10、應的權重，最后建立非線性離散加權模型求出最佳座位。5.1.2 問題一模型的建立針對，兩個指標，越大越好，越靠近30越舒適。雖然與的單位都是度，但卻為兩個不同的評價指標，為了保證結果的可靠性，需要對與進行一定的處理。（一）普通教室與的求解： 根據(jù)題意得 （n=1,2，8）于是可分別得到八排座位對應的與值，見表1.1.1 數(shù)據(jù)的一致化處理：由題意可知，為極大型數(shù)據(jù)，而為中間型數(shù)據(jù)，我們統(tǒng)一將數(shù)據(jù)轉化為極大型。于是我們將減去30加絕對值，之后再求導，得極大型 數(shù)據(jù) S=結果見表1.1.2 數(shù)據(jù)的無量綱化：與是兩個不同的評價指標 ，要想將它們進行比較，我們采用了極值化法將其無量綱化，既 ，得到與的兩個

11、在0,1之間的無量綱，見表1.1.3 變異系數(shù)法加權：與的重要性是不同的，所以我們通過客觀的加權法，既變異系數(shù)法對與分別授予不同的權重 均值= （n=1,2，8 j=1,2） 標準差= （n=1,2，8 j=1,2）得的權重系數(shù) 0.8136 ，的權重系數(shù)1.5227 ，于是可得 的權重 的權重 線性離散加權模型求出最佳座位：為了得出最佳座位，我們建立了線性離散加權模型作為綜合評價模型 ，既 （n=1,2，8 j=1,2）得最終每個座位的滿意度，見表1.1.4階梯教室 階梯教室的求解步驟與普通教室大致相同，只是因為階梯教室一共有14排座位且從第六排開始就會有0.1m的階梯，所以與的數(shù)據(jù)也會發(fā)生

12、相應的變化。與的求解： 根據(jù)題意得 （n=1,2，5） （n=6,7，14）于是可分別得到14排座位對應的與值。數(shù)據(jù)的一致化處理：統(tǒng)一將與轉化為極大型 S=數(shù)據(jù)的無量綱化：采用了極值化法將其無量綱化，既 ，得到與的兩個在0,1之間的無量綱，變異系數(shù)法加權：與的重要性是不同的，所以我們通過客觀的加權法，既變異系數(shù)法對與分別授予不同的權重 均值= （n=1,2，14 j=1,2） 標準差= （n=1,2，14 j=1,2）得的權重系數(shù) 0.8142 ，的權重系數(shù)1.9947，于是可得 的權重 的權重 線性離散加權模型求出最佳座位：建立線性離散加權模型作為綜合評價模型 ，既 （n=1,2，14 j=

13、1,2）得最終每個座位的滿意度，見表1.2.15.1.3 問題一模型的求解 （一）普通教室與的求解 表1.1.144.031139.893136.343630.653128.367326.368624.614245.939240.554437.776531.799829.407125.498623.8862數(shù)據(jù)的一致化處理 表1.1.2 S0.06270.08670.12860.21920.55591.69490.37390.222數(shù)據(jù)的無量綱化 表1.1.310.7869 0.6041 0.4469 0.3110 0.1933 0.0904 000.0147 0.0404 0.0959 0.

14、3022 1.0000 0.1907 0.0976 線性離散加權模型的求解：得最終每個座位的滿意度第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排0.3482 0.2836 0.2367 0.2181 0.3052 0.7191 0.1557 0.0636 由此可見，普通教室第6排位所求最佳座位，滿意度位0.7191。階梯教室 數(shù)據(jù)如下 表1.2.1S權重權重第一排36.343637.77570.1286 10.0449 0.290.710.3219 第2排33.291234.5630.2192 0.8485 0.1001 0.290.710.3171 第3排30.653131.79890.5

15、559 0.7176 0.3054 0.290.710.4250 第4排28.367329.411.6949 0.6042 1.0000 0.290.710.8852 最佳位置第5排26.368627.32540.3739 0.5051 0.1945 0.290.710.2845 第6排24.773324.77330.1913 0.4259 0.0831 0.290.710.1825 第7排23.318622.49930.1333 0.3537 0.0478 0.290.710.1365 第8排2220.47060.1049 0.2883 0.0305 0.290.710.1052 第9排20

16、.797118.64950.0881 0.2286 0.0202 0.290.710.0806 第10排19.705517.00890.0770 0.1744 0.0134 0.290.710.0601 第11排18.707715.52530.0691 0.1249 0.0086 0.290.710.0423 第12排17.792614.17630.0632 0.0795 0.0050 0.290.710.0266 第13排16.95712.95280.0587 0.0381 0.0022 0.290.710.0126 第14排16.189811.83230.0550 000.290.710由

17、此可見，階梯教室的最佳座位在第4排，滿意度為0.8852.5.1.4 問題一結果的分析及驗證 對于普通教室，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)第六排是滿意度最高的。對于階梯教室，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)第四排效果最好。由于題目結果就是由，與兩個指標確定下來的，所以對他們預處理，及無量綱化后，再來計算他們的權重，通過計算，發(fā)現(xiàn)所占權重相對而言比較大，所以當趨近于30時，滿意度就會越高。我們之前采用過平均值法來對指標無量綱化，但發(fā)現(xiàn)這種方法使對應的權重太大，從而使得的影響程度太小，考慮到數(shù)據(jù)的合理性我們最終采用極值化法來對數(shù)據(jù)進行處理。誤差來源:極值化法也存在著一些不足，在改變各變量權重時過分依賴兩個極端取值，偏于客觀。同時在處理

18、數(shù)據(jù)時，我們都是取得小數(shù)點后四位進行計算，此處應該也存在誤差。靈敏度分析：本模型每排最終滿意度的大小差別很大，說明靈敏度高，變化趨勢明顯。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析對于問題二，在考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響下，分別選出普通教室和階梯教室的最佳座位。大致步驟同問題一相似，只是多了一個評價指標，既座位與老師的距離，座位越靠前越容易集中精神，也越好。我們把距離與老師的影響視為線性相關，從而把老師對學生的影響轉化為與老師距離的大小，所以需要求出每排座位的距離，進行預處理與加權，再建立線性離散加權模型進行求解。5.2.2 問題二模型的建立 針對，與L三個指標，越大越好，越靠

19、近30越舒適，距離L越小越好。假設老師站位距離黑板1.2米處，同學到老師的距離為同學眼睛距老師所站之處1.1米高處質(zhì)點的距離且不考慮老師的移動問題。同第一問一樣，因為，與L是三個不同的評價指標，如果要將它們?nèi)齻€進行比較，必須將其無量綱化后加權。普通教室，與L的求解： 根據(jù)題意得 L= （n=1,2，8）于是可分別得到八排座位對應的，與L的值。數(shù)據(jù)的一致化處理：由題意可知，為極大型數(shù)據(jù)，而為中間型數(shù)據(jù)，L為極小型數(shù)據(jù)，我們統(tǒng)一將數(shù)據(jù)轉化為極大型。于是我們將減去30加絕對值，之后再求導，對于L秩序求導就行了 S= SL= 數(shù)據(jù)的無量綱化：，與L是三個不同的評價指標 我們采用了極值化法將其無量綱化，

20、既 變異系數(shù)法加權：，與L的重要性是不同的，所以我們通過客觀的加權法，既變異系數(shù)法對，與L分別授予不同的權重 均值= （n=1,2，8 j=1,2，3） 標準差= （n=1,2，8 j=1,2,3）得的權重系數(shù) 0.8136 ，的權重系數(shù)1.5227 ，L的權重系數(shù)0.9739，于是可得 的權重 的權重 L的權重 線性離散加權模型求出最佳座位：為了得出最佳座位，我們建立了線性離散加權模型作為綜合評價模型 ，既 （n=1,2，8 j=1,2，3）得最終每個座位的滿意度，見表2.1.1階梯教室 ，與L的求解： 根據(jù)題意得 L= （n=1,2，5） L= （n=6,7，14）于是可分別得到14排座位

21、對應的，與L的值。數(shù)據(jù)的一致化處理：統(tǒng)一將數(shù)據(jù)轉化為極大型 S= SL= 數(shù)據(jù)的無量綱化：，與L是三個不同的評價指標 我們采用了極值化法將其無量綱化，既 變異系數(shù)法加權：，與L的重要性是不同的，所以我們通過客觀的加權法，既變異系數(shù)法對，與L分別授予不同的權重 均值= （n=1,2，14 j=1,2，3） 標準差= （n=1,2，14 j=1,2,3）得的權重系數(shù) 0.8142，的權重系數(shù)1.9947，L的權重系數(shù)1.0044，于是可得 的權重 的權重 L的權重 線性離散加權模型求出最佳座位：為了得出最佳座位，我們建立了線性離散加權模型作為綜合評價模型 ，既 （n=1,2，14 j=1,2，3）

22、得最終每個座位的滿意度，見表2.2.15.2.3 問題二模型的求解普通教室數(shù)據(jù)表格 表2.1.1第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排44.031139.893136.343633.291230.653128.367326.368624.614245.93940.55437.77634.56231.79929.40725.49823.886L1.82.32.83.33.84.34.85.3預處理0.06270.08670.12860.21920.55591.69490.37390.222L預處理0.5556 0.4348 0.3571 0.3030 0.2632 0.2326 0.2

23、083 0.1887 無量綱10.7869 0.6041 0.4469 0.3110 0.1933 0.0904 0無量綱00.0147 0.0404 0.0959 0.3022 10.1907 0.0976 L無量綱0.9999 0.6707 0.4591 0.3116 0.2029 0.1195 0.0535 0權重0.24580.24580.24580.24580.24580.24580.24580.2458權重0.46490.46490.46490.46490.46490.46490.46490.4649L權重0.28930.28930.28930.28930.28930.28930.

24、28930.2893滿意度0.5351 0.3943 0.3001 0.2446 0.2756 0.5470 0.1263 0.0454 可見，在考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響下，普通教室第6排位最佳座位，滿意度為0.5470，其中第1排與第6排的滿意度比較接近，也可以近似作為最佳座位。（2）階梯教室數(shù)據(jù)表格 表2.2.1A預處理B預處理X預處理A無量B無量綱X無量綱A權重B權重X權重Y第1排36.34360.1286 0.3571 10.0449 10.22030.53960.24010.4846 第2排33.29120.2192 0.3030 0.8485 0.1001 0.7924 0

25、.22030.53960.24010.4312 第3排30.65310.5559 0.2632 0.7176 0.3054 0.6392 0.22030.53960.24010.4764 第4排28.36731.6949 0.2326 0.6042 10.5217 0.22030.53960.24010.7980 第5排26.36860.3739 0.2083 0.5051 0.1945 0.4287 0.22030.53960.24010.3191 第6排24.77330.1913 0.1886 0.4259 0.0831 0.3531 0.22030.53960.24010.2235 第7

26、排23.31860.1333 0.1723 0.3537 0.0478 0.2904 0.22030.53960.24010.1734 第8排220.1049 0.1586 0.2883 0.0305 0.2375 0.22030.53960.24010.1370 第9排20.79710.0881 0.1468 0.2286 0.0202 0.1924 0.22030.53960.24010.1075 第10排19.70550.0770 0.1367 0.1744 0.0134 0.1535 0.22030.53960.24010.0825 第11排18.70770.0691 0.1277 0

27、.1249 0.0086 0.1189 0.22030.53960.24010.0607 第12排17.79260.0632 0.1073 0.0795 0.0050 0.0407 0.22030.53960.24010.0300 第13排16.9570.0587 0.1017 0.0381 0.0022 0.0192 0.22030.53960.24010.0142 第14排16.18980.0550 0.0967 0000.22030.53960.24010 有此表得，在考慮座位與距離老師遠近產(chǎn)生的影響下，階梯教室第四排為最佳座位，滿意度為0.7980。5.2.4 問題二結果的分析及驗證在

28、加入老師的影響之后，每排的數(shù)據(jù)相對于第一問來說都有不同程度的變化，相對而言的權重還是高于與L的權重，但是每排的滿意度變化有所減緩。問題二的誤差可能很大程度上來源于老師產(chǎn)生的影響，因為我們近似的把老師的影響轉化為與老師的距離的大小看待。 六、模型的優(yōu)化 由以上可知，通過變異系數(shù)法所確定的的權重明顯高于其他兩個評價指標，致使?jié)M意度在很大程度上取決于的取值，而與距離L的影響相對不大，這主要因為我們是通過客觀的變化規(guī)律對指標取得相應的權重，完全忽略了主觀因素對結果的影響。雖然客觀賦權法在不考慮屬性實際含義的情況下確定權重具有優(yōu)勢，但不能體現(xiàn)決策者對不同屬性的重視程度，有時甚至會出現(xiàn)確定的權重與屬性實際

29、重要程度相悖的情況！ 針對本文的特點，由于評價的對象與指標比較少，且貼近實際生活，我們完全可以通過調(diào)查同學們的想法來確定指標的主觀權重。所以，為了保留指標的自身變化，同時力爭減少賦權的客觀隨意性，使屬性得賦權達到主觀與客觀的統(tǒng)一，我們對變異系數(shù)法進行了優(yōu)化。實地調(diào)查確定主觀權重：我們通過對學校將近100名同學進行了一個簡單的問卷調(diào)查，通過詢問他們在選擇座位時更重視哪一個因素，分別得出了普通教室與階梯教室 ，與L的主觀權重。如圖所示主客觀賦權法確定最終權重： 最終權重系數(shù)= 主觀權重系數(shù) 客觀權重系數(shù)問題一中普通教室，的最終權重=0.3164，=0.6836，于是可得普通教室每排的滿意度，如表6

30、.1所示 表6.1第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排滿意度0.31640.2590 0.2187 0.2069 0.3050 0.7448 0.1589 0.0667 由該表可知，第六排為最佳座位。問題一中階梯教室，的最終權重=0.3701，=0.6299，于是可得階梯教室每排的滿意度，如表6.2所示 排數(shù)滿意度第1排0.3984 第2排0.3771 第3排0.4580 第4排0.8535 最佳座位第5排0.3094 第6排0.2100 第7排0.1610 第8排0.1259 第9排0.0973 第10排0.0730 第11排0.0516 第12排0.0326 第13排0.0155 第14排0 表6.2 由該表可知，第4排為最佳座位。問題二中普通教室，與L的最終權重=0.1771，=0.3825，L=0.4404，于是可得普通教室每排的滿意度，如表6.3所示 表6.3排數(shù)第1排第2排第3排第4排第5排第6排第7排第8排滿意度0.6174 0.4404 0.3246 0.2531 0.