自主招生培訓物理講義

1、有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡有固定轉(zhuǎn)動軸的物體的平衡1. 力矩力矩力和力臂（從支點到力的作用線的垂直距力和力臂（從支點到力的作用線的垂直距離）的乘積。離）的乘積。2. 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)靜止靜止勻速轉(zhuǎn)動勻速轉(zhuǎn)動勻速運動勻速運動3. 平衡條件平衡條件M順順=M逆逆重為重為G的勻質(zhì)桿的勻質(zhì)桿OA長為長為L，A端懸掛一重為端懸掛一重為2G的物體，的物體，A端通過繩與端通過繩與B相連，繩與水平相連，繩與水平方向的夾角為方向的夾角為300，桿，桿O端通過光滑鉸鏈與端通過光滑鉸鏈與墻相連，求靜止時繩的拉力？墻相連，求靜止時繩的拉力？300OAB5MMMMTG順逆順逆L=2GL+G2L=T2=5GLTL22R R

2、半徑為半徑為R重為重為G的圓環(huán)，欲在圓環(huán)上某一點的圓環(huán)，欲在圓環(huán)上某一點施加一個最小的力使之滾上高為施加一個最小的力使之滾上高為R/2的臺階，的臺階，求力的作用點的位置，力的方向和大小求力的作用點的位置，力的方向和大小G GF Fo322234MMFMMF0順逆順逆=G Rcos30GR=FRR=GG/2G/2F()2LMLMLMML順逆順逆G3GL=24=F2=3GL= 2F43 2GF=8hNGcos2sincos2sinsin24LMGhMNMMLhGNGLNh順逆順逆ff不產(chǎn)生不產(chǎn)生力矩力矩sin22sincosabca,b,ca,b,c三勻質(zhì)棒完全相同，三勻質(zhì)棒完全相同，長為長為L,

3、L,一端接觸，另一端對一端接觸，另一端對稱放在地面，觸地端間距也稱放在地面，觸地端間距也為為L,L,棒重均為棒重均為G G，求三桿頂，求三桿頂端受力端受力abc030201G33L63L362634GGLFLFF剛體的平衡：剛體的平衡：滿足力的平衡：滿足力的平衡：滿足力矩平衡：滿足力矩平衡：00,0,0 xyZFFFF （任意方向都受力平衡）0M R RG GT TN Nf f重為重為G的球靜止于圖示位置，繩與豎直方的球靜止于圖示位置，繩與豎直方向的夾角為向的夾角為，求繩的拉力，求繩的拉力T，球與墻面的摩，球與墻面的摩擦力擦力 f 和彈力和彈力 NTf解：以球心為支點，由于G與 N都經(jīng)過球心不

4、會產(chǎn)生力矩，由力矩平衡得：f=T (力臂相等）考慮豎直方向的平衡：GTcos=GT=1+cos考慮水平方向的平衡：GGsinN=Tsinsin1+cos1+cosm2m3m4m5m6m232435465(23456)702170107021213MMmgLmgLmgLmgLmgLmgmgmgmgmgmg xmgLmgxLLLxx順逆解：施加一豎直向上的力使物體平衡，由二力平衡條件知該力作用點必處于質(zhì)心位置，大小等于重力21mg.以左側(cè)第一球的球心位置為支點，由力矩平衡：輕桿上串了圖示的六個小球，求系統(tǒng)質(zhì)輕桿上串了圖示的六個小球，求系統(tǒng)質(zhì)心的位置心的位置21mg一個直徑為D的乒乓球A，其內(nèi)部封閉

5、氣體的壓強為p，現(xiàn)將其放入一密閉容器中，并通過容器上的閥門K將容器中的氣體盡量抽出（最終容器內(nèi)可視為真空），如圖，此時乒乓球球殼單位長度上受到的張力大小為_。 A K 分析半球：PPS SPPS SPPS S由對稱性，球內(nèi)氣體對半球的作用力的合力水平向右考慮該力的水平分量PPScosScos該式可以理解為是壓強P與小面元在豎直平面內(nèi)投影的乘積。對整個半球面整體考慮：F=PS=PF=PS=PR2由半球面的平衡有：2 2R=PS=P=PS=PR2=P=PR/2=PD/4拓展：斜拋運動例題1. 正常水平豎直分解X=V0costY=V0sint-gt2/2tan0=Y/X=(V0sin-gt/2)/(

6、V0cos)t=(2V0sin(-0)/(gcos 0)2.沿原速度和豎直方向分解 20000000V tVgt /2gt/2sin()cossin()sin(90)aaaa3.沿斜面垂直斜面 0 0V00V VV Vg已知V0,與水平夾角，斜面傾角為0何時打到斜面上？t=?0 0V00 0V0V =V0sin(-0)g =gcos00002V2sin()gcosVatga用運動合成與分解解題如圖，一平面內(nèi)有如圖，一平面內(nèi)有l(wèi)1、l2兩細桿，相交成兩細桿，相交成. 細桿分別以垂直于自身桿長的速細桿分別以垂直于自身桿長的速度勻速運動。求兩桿的交點度勻速運動。求兩桿的交點P相對于紙面的速率。相對于

7、紙面的速率。解法一：解法一：AB由定義出發(fā)求速度由定義出發(fā)求速度l1l2Pv1v2 如何求得如何求得P1P ？P2P3設(shè)經(jīng)過時間設(shè)經(jīng)過時間t, 交點交點P勻速直線運動勻速直線運動至至P1處。處。,csccsc12 tvAPPP csccsc2321tvPBPPPP )cos(2212221221 PPPPPPPPPP在圖中：在圖中：由余弦定理有由余弦定理有所以所以1PP1PP1P2，P2Ptvvvv csccos2212221 csccos2212221 vvvvtPPvP 1 l1l2Pv1v2P1ABP2 P3解法二：解法二：由相對運動出發(fā)求速度由相對運動出發(fā)求速度先求出交點相對于桿先求出

8、交點相對于桿l1的速率的速率v1 ：在圖中：在圖中：2211APPPAP 所以所以tAPv 11 進一步得交點進一步得交點P相對于紙面的速率：相對于紙面的速率： cotcsc12 tvtv23APPP cotcsc APPB csccot21vv csccos2212221 vvvv2121vvvP 22121)csccot( vvv l1l2Pv1v2 解法三：由速度分解求由速度分解求1sinV2sinV222112222112()()2cossinsinsinsin1()()2cossinVVVVVVVVVA A、B B、C C三個芭蕾舞演員同時從邊長為三個芭蕾舞演員同時從邊長為l l 的

9、正三角形頂點出發(fā)，以相對地的正三角形頂點出發(fā)，以相對地的相同的速率的相同的速率v v運動，運動中始終保持著運動，運動中始終保持著A A朝著朝著B B、B B朝著朝著C C、C C朝著朝著A A，試問，試問經(jīng)多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？經(jīng)多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？ABC解：解：三位演員的運動是勻速直線運動還是勻速曲線運動？三位演員的運動是勻速直線運動還是勻速曲線運動？在運動過程中三位演員的位置有什么關(guān)系？在運動過程中三位演員的位置有什么關(guān)系？三位演員作相同的勻速率曲線運動。三位演員作相同的勻速率曲線運動。 三位演員任何時候的位置均構(gòu)成正三角形。但諸三角形的三位演員任何時

10、候的位置均構(gòu)成正三角形。但諸三角形的邊長越來越短。邊長越來越短。 最后三位演員在何處相遇？最后三位演員在何處相遇？ 三位演員最終在三角形三位演員最終在三角形ABC的中心相遇。此時三的中心相遇。此時三角形邊長縮短為零。角形邊長縮短為零。 研究三角形的邊長的變化情況，設(shè)法找出研究三角形的邊長的變化情況，設(shè)法找出三角形邊長由三角形邊長由l 縮短為零所用的時間！縮短為零所用的時間！ 用沿指向中心的分運動求解用沿指向中心的分運動求解: :V30032Vl33l323332lxltVVV狐貍以不變的速度狐貍以不變的速度 沿著直線沿著直線AB奔跑，獵犬以不變的速率奔跑，獵犬以不變的速率v0追擊，其追擊，其方

11、向始終對準狐貍，某時刻狐貍在方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在F處，獵犬在處，獵犬在D處，處，F(xiàn)DAB，且，且FD=L. 試求此時獵犬運動的加速度的大小。試求此時獵犬運動的加速度的大小。FvLABD0vD F Fv解：解： 獵犬作勻速率運動。獵犬作勻速率運動。其加速度大小為其加速度大小為 2vaa 心心 設(shè)經(jīng)過小量時間設(shè)經(jīng)過小量時間t, 狐貍運動至狐貍運動至F處、獵犬運動至處、獵犬運動至D處。處。則有則有;0 tv LtvF兩式相比得兩式相比得LvvF 0 代入代入即得即得LvvaaF0 心心F狐貍以不變的速度狐貍以不變的速度 沿著直線沿著直線AB奔跑，獵犬以不變的速率奔跑，獵犬以不變的速率v0追

12、追擊，其方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在擊，其方向始終對準狐貍，某時刻狐貍在F處，獵犬在處，獵犬在D處，處，F(xiàn)DAB，且，且FD=L. 試求獵犬追上狐貍的時間試求獵犬追上狐貍的時間t。FvLBD0vDF FvFV VF F0000020000220sinsinsinsin )sinsin()FFFFFFFVtVtV tVttVVVtVtVtVV tVtVtLVV LtVV 分析：水平方向：接近方向：（變速圓周運動的加速度VAVVAV V1 1V V2 2向心加速度切向加速度注：A、B兩點距離很近ABVAVB22222()(2)(2)BAnVaRRRfRnRTVVVattaa 兩大?。?n22n分

13、析：向心加速度大?。?=切向加速度大?。?= (注意：V指速度大小的差）加速度 a a =a+a可看成質(zhì)點的小球質(zhì)量為m, 在豎直面內(nèi)的圓弧軌道上運動，軌道半徑為R,當運動到與豎直方向夾角為的位置時脫離軌道,求球運動到最高點的速度？23coscoscoscosVmgmRVgRVVgRmgV如圖，在如圖，在x xy y平面內(nèi)有一個圓，在平面內(nèi)有一個圓，在y y軸上放一根細桿，從軸上放一根細桿，從t t= =0 0開始，細桿以速度開始，細桿以速度v v0 0朝朝x x軸正方向勻速平動軸正方向勻速平動. .試求細桿與第一象試求細桿與第一象限內(nèi)的圓弧的交點的向心加速度與時間限內(nèi)的圓弧的交點的向心加速度

14、與時間t t的關(guān)系。的關(guān)系。xyOv0解：解：P交點的運動方向總是沿圓的切線方向。交點的運動方向總是沿圓的切線方向。P1 設(shè)在設(shè)在t 時刻交點在時刻交點在P點，經(jīng)過小量時間點，經(jīng)過小量時間t，交點由交點由P點運動之點運動之P1點。點。P0則則 RPP1而而323121PPPPPP P2 P3由速度定義出發(fā)解答。由速度定義出發(fā)解答。2sin)2cos(2 R sin)sin(RR xyOv0PP1P0P2 P3極小時，有極小時，有當當 2)(cos221 RPP由由、消去消去 ： 所以所以,cos211 PPPP 將將RtvR2202cos 代入即得代入即得22020tvRRvvP 所以所以.2

15、202202tvRRvRvaPP 心心（其中（其中 ）tvR0 coscos10211vtPPtPPvP xyOv0PP0 另解：另解：由相對運動出發(fā)解。由相對運動出發(fā)解。vv P3v設(shè) 為交點相對于細桿的速度。則則0vvv ，因因為為0vv 為為邊邊的的矩矩形形的的對對角角線線。、便便是是以以所所以以0vvv 所以便有所以便有 cos0vv 進一步便可得到交點進一步便可得到交點 P 的向心加速度。的向心加速度。v0思考思考: :如何求切向加速度如何求切向加速度? ?xyOPP0 P3v0anaP點的水平分運動是勻速直線運動點的水平分運動是勻速直線運動,所以水平加速度為零所以水平加速度為零.即

16、即:sincosnaasintancosnnaaa22022 20.PnPv RvaaRRv t心2022 2023000322 222 222 20200tan.()v RaRv tv Rv tv RtRv tRv tRv t力學相對性原理力學相對性原理Rrr0aaauvv考慮兩參考系考慮兩參考系S、SS相對相對S 平動，速度為平動，速度為 u兩個相對平動參考系兩個相對平動參考系orr.PRoxx y ySS u(x, y, z )(x,y,z )平動加速參考系中的慣性力平動加速參考系中的慣性力兩個平動參考系之間，加速度變換兩個平動參考系之間，加速度變換 0 aaa設(shè)設(shè) S 為慣性系，為慣性

17、系，S 為非慣性系為非慣性系若質(zhì)點若質(zhì)點 m 在在 S 系中滿足牛頓第二定律：系中滿足牛頓第二定律：amFtua0S 相對于相對于 S 加速度為：加速度為：考慮到力與參考系無關(guān)考慮到力與參考系無關(guān)則在則在 S 系中：系中： amF牛頓第二定律在非慣性系不成立！牛頓第二定律在非慣性系不成立！FF 0amam但是，若在非慣性系引入但是，若在非慣性系引入虛擬力（虛擬力（慣性力慣性力）：）：0IamF在非慣性系在非慣性系 S 系中：系中： IamFF牛頓第二定律在非慣性系牛頓第二定律在非慣性系形式上形式上成立成立考慮到力與參考系無關(guān)考慮到力與參考系無關(guān)則在則在 S 系中：系中： amF牛頓第二定律在非

18、慣性系不成立！牛頓第二定律在非慣性系不成立！FF 0amam慣 性 力a水平地面一小車勻加速向右行駛，車內(nèi)有一根輕繩系一小球，當達到穩(wěn)定狀態(tài)時，繩與豎直方向的夾角為，已知小球質(zhì)量為m,重力加速度為g,求車行駛的加速度a？GTmatantanGmaagaGTmatantanGmaagma在非慣性系中，用平衡的觀點分析問題時，需要逆加速度方向加一個大小為ma的力，其中m為物體質(zhì)量，a為該參考系的加速度，此力為慣性力mM質(zhì)量為M的斜面放在光滑的水平地面上，一質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端由靜止開始下滑，已知斜面長為L，傾角為，求物塊從頂端滑到底端的時間？mgFNFNmaFNMg22222222:sin:s

19、incossincossinsin()cossinsincossin:sincossincossinsinsincossin ()sin() sinsin1NNM FMam FmamgMamamgMmamgmgaMmmagamgagMmMmmgMmMm gMmL對對考慮相對加速度22222() sin2sin2 (sin)() sinLLa ttMm gaMmL MmMm g滑輪系統(tǒng)如圖所示，滑輪系統(tǒng)如圖所示，m1=3kg, m2=5kg，今用力，今用力F拉該滑輪豎直拉該滑輪豎直向上以加速度向上以加速度a=2m/s2運動，拉力運動，拉力F 的大小為多少？（滑輪和繩的的大小為多少？（滑輪和繩的質(zhì)

20、量可以忽略不計）質(zhì)量可以忽略不計）Fam1m2m2gFTm1gFTm1am2a22121121121212121212121212121212()()()()()()2()()2()()4()60(102)290()8TTTTTTTTTm gaFm am m gam Fm m aFm gam am Fm m gam m am m gam Fm Fm m gam m gamm Fm m gaFmmm m gaFFNmm21分析：對m :對m :aa為相對滑輪的加速為相對滑輪的加速度度如圖所示，在以加速度如圖所示，在以加速度a=g/2a=g/2勻加速上升的電梯中有兩個質(zhì)勻加速上升的電梯中有兩個質(zhì)量

21、相同的光滑物塊量相同的光滑物塊A A和和B B，通過如圖所示方式連接，求，通過如圖所示方式連接，求A A和和B B相相對于電梯的加速度和對于電梯的加速度和A A相對于地的加速度？相對于地的加速度？ABa aNmgmg/2FFmgmg/2電為參慣慣圖對對對A為對電對為夾為111A地A梯梯地22221A地yx分析：以梯考系，由于是非性系，所以加入性力，A、B受力分析如示。A:F = ma 33B:mg-F = maa =g，方向水平向右 24(此加速度相梯加速度）A相地面加速度：a= a+a3113a=a +a = ( g) +( g) =g4241ga222方向斜向右上，與水平方向角：tan=

22、arctan3a33g4m1m2m3F所有接觸無摩擦，求各物體加速度所有接觸無摩擦，求各物體加速度m1m1gN1Ta1m2m2gN2Ta2xa2ym3Fm3gN3N1N2TTa311amT yxamTgmamN222222332amTNF321aaay32aax AB一輕繩兩端分別連接小球一輕繩兩端分別連接小球A A和小環(huán)和小環(huán)B B，球與環(huán)，球與環(huán)質(zhì)量相等，環(huán)質(zhì)量相等，環(huán)B B可在拉緊的水平鋼絲上作無摩可在拉緊的水平鋼絲上作無摩擦的滑動?，F(xiàn)使小球在鋼絲所在的豎直平面擦的滑動?，F(xiàn)使小球在鋼絲所在的豎直平面內(nèi)擺動。求小球擺離鉛錘線最大角度內(nèi)擺動。求小球擺離鉛錘線最大角度q q 時時小小環(huán)和小球的

23、加速度。環(huán)和小球的加速度。 B在水平方向運動方程在水平方向運動方程T sin maB 以以B為參照系為參照系F慣慣 = maB在最大擺角處在最大擺角處A加速度沿圓弧切線方向加速度沿圓弧切線方向,運動方程為運動方程為 T+F慣慣sin -mgcos 0 0mg sin F慣慣cos maA 22sin1sin2sin122sin gagaAB222sin22 sincossin2 1 sin1 sinAxABAyAggaaaaa以地面為參照系以地面為參照系,受力如圖受力如圖 0cossinNmgTmaTBxAyAxmaTmgmaTcossinsincossinBxAyAxaaa約束關(guān)系約束關(guān)系

24、以地面為參照系以地面為參照系,坐標如圖坐標如圖 0cossinNmgTmaTBxyAxAmamgmaTmgsincosxABxaasin約束關(guān)系約束關(guān)系 將一小球從某點以初速度v0豎直向上拋出，當小球落回該拋出點時速率為vt，已知小球在運動過程中受到的空氣阻力大小與小球的速度大小成正比，求小球從拋出到落回原處所用的時間。102120012()()tttmg tKV tm Vmg tKxm VmgtKxmVmg tKVtm Vmg tKxm VmgtKxmVmg ttm VVVVtttg 上升：向下為正下降：向下為正VVVVVVVVVVVV柔軟的細繩堆放在光滑桌面上，其線密度為，用水平力F拽繩的

25、一端，使一端做速度為V的勻速直線運動，分析力F需滿足什么條件？F2F tmVF tl VV t VFVVVVVV柔軟的細繩堆放在光滑桌面上，其線密度為，用水平力F拽繩的一端，使一端從靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動，分析力F與拖拽時間有什么關(guān)系？F222 2()()()()3(2)32F tPF tLL VVLVF tLVL VLVL VLVVLFLVLaVttFLaVLaaLLaa tVVVVVVVVV VVVVV解析：一柔軟輕繩長為L0,線密度為，上端懸掛于天花板，下端恰好與地面接觸，某時，上端突然下落，求當有L長落到地面時，求地面對繩的支持力。L L22002()( )()()( )

26、( )()()2)(3 )3NNNNVgLmgFtLL VVL VVLmgFLVL gVttmgFLL ggLg LLFgL解析：向下為正向VVVVVVV圖示為圖示為3 3個質(zhì)量相等的質(zhì)點有個質(zhì)量相等的質(zhì)點有2 2根不可伸長根不可伸長的繩子依次連接，置于光滑水平面上，的繩子依次連接，置于光滑水平面上，2 2根根繩子的夾角為繩子的夾角為1201200 0，現(xiàn)有一沖量作用于端點，現(xiàn)有一沖量作用于端點A A并使這個質(zhì)點速度為并使這個質(zhì)點速度為u,u,方向沿繩向外，求此方向沿繩向外，求此瞬時瞬時C C質(zhì)點的速度質(zhì)點的速度u uA AB BC CI I1 1I I2 220121012cos604cos

27、6014227ImVIImVImVIImumVmVmuVu解析：對C:對B:對B:圖示為圖示為4 4個質(zhì)量相等的質(zhì)點有個質(zhì)量相等的質(zhì)點有3 3根不可伸長根不可伸長的繩子依次連接，置于光滑水平面上，的繩子依次連接，置于光滑水平面上，3 3根根繩子形成半個正六邊形，現(xiàn)有一沖量作用于繩子形成半個正六邊形，現(xiàn)有一沖量作用于端點端點A A并使這個質(zhì)點速度為并使這個質(zhì)點速度為u,u,方向沿繩向外，方向沿繩向外，求此瞬時求此瞬時D D質(zhì)點的速度質(zhì)點的速度u uA AB BC CI I1 1I I2 2D DI I3 303232300231223113012123333cos604cos60cos60415

28、cos6012115421313CDIIIIIBCIIIIIIIIIABIImuIImuIImuImuDImVuV解析：沿方向：沿方向：沿方向：分析 球：u uA AB BC CI I1 1I I2 2D DI I3 31.碰撞的特點碰撞的特點 二二是是相互作用相互作用內(nèi)力很大，可以不考慮外力對內(nèi)力很大，可以不考慮外力對碰撞物體運動的影響碰撞物體運動的影響. . 一一是是相互作用相互作用時間極短時間極短. .碰撞前后系統(tǒng)的總動量守恒碰撞前后系統(tǒng)的總動量守恒碰撞問題碰撞問題 四、動量守恒定律的應用四、動量守恒定律的應用 碰撞過程動能不能增加碰撞過程動能不能增加考慮兩物體對心正碰問題時，動量守恒：

29、1 1221 10220mVm VmVm V待解量有兩個，必須在補充一個方程，根據(jù)碰撞中機械能守恒與損失情況，可將正碰撞分為彈性，非彈性，完全非彈性三種類型。對應三種情況，補充方程可得具體解。彈性碰撞22221 1221 1022011112222mVm VmVm V211020VVVV聯(lián)立上面兩式，移項后做一比值遠離速度接近速度m1m2V1V10V2V20牛頓碰撞定律聯(lián)立兩式：211020VVVV1 1221 10220mVm VmVm V121022011221201 10212()2()()2()mm Vm VVmmmm VmVVmm兩式具兩式具有對稱有對稱性性特例1： m1=m2,則有

30、V1=V20, V2=V10,即相同質(zhì)量的質(zhì)點通過彈性正碰撞彼此交換速度特例2： m2,V20=0, 則有V1=-V10, V2=0 ,即有限質(zhì)量的質(zhì)點與大質(zhì)量靜止質(zhì)點發(fā)生彈性碰撞后被反彈回來，反彈速度大小等于原速度大小。小球與剛性地面或剛性豎直墻之間的碰撞，均屬此例m2,V20=V0, V V1 1=2V=2V0 0-V-V1010, ,即有限質(zhì)量的質(zhì)點與大質(zhì)量運動質(zhì)點發(fā)生彈性碰撞后被反彈回來，反彈速度大小等于物體速度加大質(zhì)量物體速度的兩倍（2V0-V10)，如運動物體與火車的對心彈性碰撞（可用接近速度等于遠離速度進行計算）特例3：10202010)VVVV122112211212(m -m

31、2mV = m +m(m -m2mV =m +m非彈性碰撞彈性碰撞中 V2-V1= V10-V20上式與動量守恒聯(lián)立，可解得：1 1221 102201212211 102201212102012102201012112102102021020110121201022012()()()()()()()()(1)()(1)()()(1)()(mVm VmVm Vmm Vm VVmVm Vmm Vm e VVmm Vm VVmm Vmm Vme VVe m VVVVmme m VVVVmm同理：)完全非彈性碰撞中 V2-V1= 0非彈性碰撞介于其間，即有 V2-V1=e(V10-V20) (0e1

32、) e為恢復系數(shù)21020110121201022012(1)()()(1)()()e m VVVVmme m VVVVmm非彈性碰撞介于其間,即有V2-V1=e(V10-V20) (0e1) e為恢復系數(shù)機械能的損失量為：22221 102201 122222210201 1022011012212010220122222102011101022020121111)2222(1)()111)()222()(1)()1() )2()(1)()(1)(11() )(2()2EmVm VmVm Ve m VVmVm Vm Vmme m VVm Vmme m VVe m Vm VVm VVmm損（2

33、20101212102021020101212121020120102012122121020122212102012) )()(1)()(1)()(2)2()()(1)()(1)()(2)2()()(1)()(1)2()(1)()2()Vmme m m VVe m VVVmmmme m m VVe m VVVmmmme m m VVemme m m VVmm完全非彈性碰撞設(shè)碰撞后質(zhì)點1,2具有相同的速度，或者說一起運動，即有：12VV與動量守恒聯(lián)立可得：1 102201212()()mVm VVVmm碰撞后機械能損失量為：2221210201210201212(1)()()2()2()e m

34、 m VVm m VVEmmmm損2110200VVeVV總結(jié)：從恢復系數(shù)e的取值：e=1 彈性碰撞0e m m2 2，開，開始時始時m m1 1、m m2 2均靜止，放手后均靜止，放手后m m1 1將從半將從半圓環(huán)軌道邊緣處滑下。圓環(huán)軌道邊緣處滑下。m m1 1、m m2 2可看作可看作質(zhì)點，軌道固定在桌子邊上不動，如質(zhì)點，軌道固定在桌子邊上不動，如圖所示。求圖所示。求m m1 1經(jīng)過圓形軌道最低點時經(jīng)過圓形軌道最低點時的速度的速度 450V22121221212212121212112:2()2224(2)(2)4(2)(2)222m gRm gRmVmVmm gRmm Vmm gRmm

35、gRVVmmmm解析試從開普勒第二定律（即行星繞日運動時日星連線單位試從開普勒第二定律（即行星繞日運動時日星連線單位時間內(nèi)所掃過的面積為恒量）出發(fā)，證明開普勒第三定時間內(nèi)所掃過的面積為恒量）出發(fā)，證明開普勒第三定律，即行星繞日運動的橢圓軌道半長軸律，即行星繞日運動的橢圓軌道半長軸a與運動周期與運動周期T滿滿足足T2/a3=恒量。恒量。 BvAvrr如圖所示，行星與太陽連線在如圖所示，行星與太陽連線在單位時間內(nèi)掃過的面積為：單位時間內(nèi)掃過的面積為： 1sin12sinconst2r rArvtt在近日點和遠日點附近特例在近日點和遠日點附近特例 1122AABBAr vr vt則行星運動的周期為則

36、行星運動的周期為 abTAt角動量守恒！角動量守恒！ 在近日點和遠日點機械能守恒在近日點和遠日點機械能守恒 221122ABABMmMmmvGmvGrr22()BAABAGMrvrr r數(shù)學關(guān)系式數(shù)學關(guān)系式 222,ABracracabcABArraGMv2abaTaAGMt11222AAA BAGMbGMr vr rtaa2234constTaGMvRmrvm2002sinRr40RmGmvmrmGmvm21220212022121212010)231 (RvGmvv解：解：0vvRo2m1mRr40例例 發(fā)射宇宙飛船去考察一質(zhì)量為發(fā)射宇宙飛船去考察一質(zhì)量為 m1、半徑為、半徑為 R 的行星

37、，的行星，當飛船靜止于距行星中心當飛船靜止于距行星中心 4R 處時，以速度處時，以速度v0發(fā)射一質(zhì)量發(fā)射一質(zhì)量為為 m2 (m2遠小于飛船質(zhì)量遠小于飛船質(zhì)量)的儀器的儀器, 要使儀器恰好掠著行星要使儀器恰好掠著行星的表面著陸，的表面著陸， 角應是多少角應是多少? 著陸滑行初速度著陸滑行初速度 v 多大多大? 有心力場中有心力場中, 由開普由開普勒第二定律和勒第二定律和(m1 , m2 )系統(tǒng)機械能守恒定律：系統(tǒng)機械能守恒定律：21201)231 (41sinRvGm從地球表面沿與鉛垂線成從地球表面沿與鉛垂線成 角方向發(fā)射物體，初速角方向發(fā)射物體，初速v0=(GM/R)1/2，式中式中M、R分別

38、為地球的質(zhì)量和半徑。忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)分別為地球的質(zhì)量和半徑。忽略空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響，求：（的影響，求：（1）拋射體上升的最大高度）拋射體上升的最大高度H和射程的直線距離和射程的直線距離AD；（；（2）飛行時間）飛行時間T。解：解：（1）由開普勒第二定律，由開普勒第二定律，拋射體在發(fā)拋射體在發(fā)射地射地A和最大高度和最大高度B處滿足處滿足 mvrRmvsin0sin0rRvv rMmGmvRMmGmv2202121gRvgRGM02012sin22rRrR22cos1cos1sincos1rR)cos1 (1 Rr)cos1 (2 Rr遠地點遠地點近地點近地點)cos1 (1 Rr)c

39、os1 (2 Rr橢圓的長半軸和短半橢圓的長半軸和短半軸分別為：軸分別為： Rrra221sin21Rrrb發(fā)射點和落地點正處在橢圓短半軸的端點上發(fā)射點和落地點正處在橢圓短半軸的端點上 cos1RRrHsin22RbADsin21sin210RRgRvu（2）面積速度）面積速度從發(fā)射點到落地點掃過的面積為從發(fā)射點到落地點掃過的面積為 cossin21221RRabScossinsin2122RRgRuStcos2例例質(zhì)量為質(zhì)量為M的靜止粒子的靜止粒子A與質(zhì)量為與質(zhì)量為m，具有速度的粒子，具有速度的粒子B碰碰撞，實驗發(fā)現(xiàn)，當撞，實驗發(fā)現(xiàn)，當B的動能小于某個數(shù)值時，的動能小于某個數(shù)值時，A、B為彈

40、性碰為彈性碰撞，只有當撞，只有當B的動能大于此值時，的動能大于此值時，A、B發(fā)生非彈性碰撞，此發(fā)生非彈性碰撞，此時時B將吸收數(shù)值為將吸收數(shù)值為 E的固定能量。計算的固定能量。計算B所應具有的這一動所應具有的這一動能值。能值。解：系統(tǒng)合外力為零，解：系統(tǒng)合外力為零，質(zhì)心速度不變質(zhì)心速度不變0cvMmmv系統(tǒng)能量守恒系統(tǒng)能量守恒EMVmvvMmmvc2222021212121v、V為相對質(zhì)心的速度，為使為相對質(zhì)心的速度，為使v0最小，要求碰撞后相對最小，要求碰撞后相對質(zhì)心速度為零，即完全非彈性碰撞質(zhì)心速度為零，即完全非彈性碰撞0212122MVmvEMmmv120EMmE1k兩體吸能反應的閾能兩體

41、吸能反應的閾能質(zhì)量為質(zhì)量為m1，速度為，速度為v1的粒子被一靜止的核俘獲后，產(chǎn)生一質(zhì)量為的粒子被一靜止的核俘獲后，產(chǎn)生一質(zhì)量為m2的粒子，沿垂直于的粒子，沿垂直于v1的方向射出，余下的核的質(zhì)量為的方向射出，余下的核的質(zhì)量為m3，在此過程，在此過程中有量值為中有量值為Q的非機械能轉(zhuǎn)化為機械能，求新粒子的動能。的非機械能轉(zhuǎn)化為機械能，求新粒子的動能。m1m2m3v1v2v3 cos3311vmvm223 3sinm vm v222222112233m vm vm v2221 1223 3111222mvQm vm v222121 11 122331111222mmmvQmvm vmm22331K2

42、21 12331122mmmEm vQmvmmm一、周期一、周期 頻率和角頻率頻率和角頻率周期周期T：完成一次全振動所經(jīng)歷的時間。完成一次全振動所經(jīng)歷的時間。頻率頻率n n ：單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。：單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。 n n =1/T ：角頻率角頻率 （或稱圓頻率）（或稱圓頻率）mkkmTn221)cos()(costATtAn22,2TT簡諧振動的運動學特征簡諧振動的運動學特征T、 n n 或或 分別稱為諧振子的固有周期、固有頻率分別稱為諧振子的固有周期、固有頻率和固有角頻率和固有角頻率故：故：)cos(tAx其中其中A即位移的最大值，稱為振幅即位移的最大值，稱為振幅T 的

43、單位：秒的單位：秒(s) 、n n 的單位：赫茲的單位：赫茲(Hz) 的單位：弧度每秒的單位：弧度每秒(rad/s)2cos(tTA)2cos(ntA二、相位二、相位(1) ( t + + )是是 t 時刻的相位時刻的相位 (2) 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相位位由由t=0；x=x0，v=v0 得得22020vxA00tanxv證明：勻速圓周運動單方向的運動為簡諧運動如圖，如圖，t=0質(zhì)點處于質(zhì)點處于A位置，位置，t時刻到達時刻到達B位置，轉(zhuǎn)動角速度為位置，轉(zhuǎn)動角速度為，質(zhì)點運動的圓，質(zhì)點運動的圓周軌跡半徑為周軌跡半徑為A A分析水平方向的分運動分析水平方向的分運動向右為正向右為

44、正xY0t tABcos()xAtsin()VAt 2cos()aAt 222cos()aAtxFmamxkx Fkx 說明：說明：勻速圓周運動是位相差勻速圓周運動是位相差的兩相同振動在兩垂直方向的兩相同振動在兩垂直方向運動的合成運動的合成由上可理解，若，則振動為簡諧運動由上可理解，若，則振動為簡諧運動cos()xAtkm22mTk三、旋轉(zhuǎn)振幅矢量三、旋轉(zhuǎn)振幅矢量旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A在在x軸上的投影軸上的投影點點 P 的運動規(guī)律：的運動規(guī)律：)cos(tAx 投影點投影點P 的運動與的運動與 簡諧振動的運動規(guī)律簡諧振動的運動規(guī)律 相同。相同。P0PPAxtP =( 2 t+ 2)-( 1 t+

45、1) 相位差相位差對兩同頻率的諧振動對兩同頻率的諧振動 = 2- - 1初相差初相差 同相和反相同相和反相當當 = 2k ， ( k =0, 1, )，兩振動步調(diào)相同，稱同相兩振動步調(diào)相同，稱同相當當 = (2k+1) ，( k =0, 1,)， 兩振動步調(diào)相反，稱兩振動步調(diào)相反，稱反相反相oA1-A1A2- A2x1x2T同相同相txxoA1-A1A2- A2x1x2Tt反相反相 超前和落后超前和落后若若 = 2- - 10，則，則 x2 比比 x1較早達到正最大，稱較早達到正最大，稱x2比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。超前超前、落后以、落后以 1s，試根據(jù)圖中繪

46、出，試根據(jù)圖中繪出的條件求出波的表達式，并求的條件求出波的表達式，并求A點的振動式。點的振動式。解：解：m01. 0A101sm02. 02101. 0txxu波速：波速：s202. 004. 0uT1s2Ty(cm)x(cm)123456A1- -10m04. 0原點振動：原點振動：)cos(0tAycos0A初始條件：初始條件：0sinAu220sin)2cos(01. 00tyy(cm)x(cm)123456A1- -10)2cos(01. 00ty2)02. 0(cos01. 0 xty波動式：波動式：A點振動式：點振動式：2)02. 001. 0(cos01. 0tyAtyAcos0

47、1. 0解法二解法二A點振動式：點振動式：)cos(tAyAcosAA初始條件：初始條件：0ttAyAcos01. 0cos)02. 001. 0(cos01. 0 xty波動式：波動式：2)02. 0(cos01. 0 xtyy(cm)x(cm)123456A1- -10二、波的干涉二、波的干涉相干條件相干條件 頻率相同，振動方向相同，相位差恒定頻率相同，振動方向相同，相位差恒定兩相干波在空間相遇，兩相干波在空間相遇，某些點的振動始終加強某些點的振動始終加強另一些點的振動始終減另一些點的振動始終減弱，即出現(xiàn)弱，即出現(xiàn)干涉干涉現(xiàn)象?，F(xiàn)象。設(shè)設(shè)yAtkr1111cos()yAtkr2222cos

48、()yyy12AtcosPr2r1O1O2AAAA A21222122cos1212k rr其中其中設(shè)設(shè)21k rrrr21212rrnn21012 , , 當當12 AAA 當當rrnn21212012 , , 12AAA相長相長相消相消例例兩相干機械波，兩相干機械波，1,2振源相位差振源相位差 的奇數(shù)倍，的奇數(shù)倍， 在在 P點相遇，若點相遇，若1,21,2波程差為半波長的偶數(shù)倍，問波程差為半波長的偶數(shù)倍，問P 點是加強還是減弱？點是加強還是減弱？解：解：1212k rr1221krrn1222 212212knkn振動減弱振動減弱例例 兩相干波源兩相干波源P、Q，初相相同振幅相同，初相相同

49、振幅相同，23PQR為為PQ連線上任一點，求連線上任一點，求R點振動的振幅點振動的振幅PQR32解解：1212k rr k323減弱減弱A 0例例 A、B分別為兩個相干平面簡諧波的波源，振幅均為分別為兩個相干平面簡諧波的波源，振幅均為5cm，頻率為，頻率為100Hz，波速為，波速為10m/s。A點為波峰時，點為波峰時，B點恰點恰為波谷，試確定兩列波在為波谷，試確定兩列波在P點干涉的結(jié)果。點干涉的結(jié)果。解：解：15mABP20mm25152022BPm1 . 0nu設(shè)設(shè)A比比B超前超前 BA1 . 0152522APBPAB2010A反相位反相位P點靜止！點靜止！例例兩相干波源兩相干波源S1和和

50、S2的間距為的間距為d=30m，且都在，且都在x軸上，軸上，S1位位于原點于原點o。設(shè)由兩波源分別發(fā)出兩列波沿。設(shè)由兩波源分別發(fā)出兩列波沿x 軸傳播，強度保軸傳播，強度保持不變。持不變。x1 =9m和和 x2=12m處的兩點是相鄰的兩個因干涉而處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點。求兩波長和兩波源間最小相位差。靜止的點。求兩波長和兩波源間最小相位差。解：解：oS1S2x1x2dx設(shè)設(shè)S1和和S2的振動相位分別為：的振動相位分別為：12) 12(2)(21112kxxdx1點的振動相位差：點的振動相位差：（1）)32(2)(22122kxxdx2點的振動相位差：點的振動相位差：（2）2)(412

51、 xxm6)912(2)(212xx由（由（1）式）式)2(2) 12(112xdk)52(kk= - -2，- -3時相位差最小時相位差最小12oS1S2x1x2dx 庫侖定律庫侖定律在真空中，在真空中，兩個靜止點電荷間的兩個靜止點電荷間的相互作用電力的相互作用電力的方向沿著它們的連線方向沿著它們的連線；同號電荷相斥，異號電荷同號電荷相斥，異號電荷相吸相吸；其；其大小與它們的電量的乘積成正比大小與它們的電量的乘積成正比，與它，與它們之間距離的平方成反比。們之間距離的平方成反比。1785年，庫侖通過實驗得到真空中兩個靜止年，庫侖通過實驗得到真空中兩個靜止電荷間的電相互作用力：電荷間的電相互作用

52、力：221rqqkf 可表示為：可表示為：)(121232121rrrrqqkfrerqqkf221q1q2rre矢量式：矢量式：rrqqk321或：或：12fq1q221rO .2r1r21f12f庫侖定律的常用形式：庫侖定律的常用形式：041k229/CmN109875.8kNmC108541. 822120 在國際單位制中：在國際單位制中：rrqqf30214真空介電常數(shù)真空介電常數(shù) 令：令：rrqqf30214庫侖定律是基本實驗規(guī)律庫侖定律是基本實驗規(guī)律 適用范圍適用范圍：10-15107 m討論討論庫侖定律對庫侖定律對點電荷點電荷成立成立理想模型理想模型0qfE試驗電試驗電荷條件荷條

53、件（1）（）（正）正）點電荷點電荷可以準確的測量電場的分布可以準確的測量電場的分布把試驗電荷放到電場中把試驗電荷放到電場中任意場點，測量受力情任意場點，測量受力情況，試驗表明：況，試驗表明：定義定義電場強度：電場強度： 電場強度電場強度描述場中各點電場的強弱變化的物理量描述場中各點電場的強弱變化的物理量 電場強度電場強度與試驗電與試驗電荷無關(guān)荷無關(guān)0qf（2）比值比值（1）受力與位置（場點）有關(guān)）受力與位置（場點）有關(guān)（2）電量電量足夠足夠小小不顯著地影響電場的分布不顯著地影響電場的分布討論討論),(zyxEE 靜電場為矢量場：靜電場為矢量場： 國際單位制國際單位制-1CN -1mV或：或：定

54、義電場強度后，點電荷（定義電場強度后，點電荷（q）處于外場中時受）處于外場中時受電場作用力：電場作用力：Eqf電場強度單位：電場強度單位：電場強度的疊加原理電場強度的疊加原理1. 點電荷的場強點電荷的場強qrerQqf204EfqrerQE204 球?qū)ΨQ球?qū)ΨQQrer根據(jù)庫侖定律和場強的定義根據(jù)庫侖定律和場強的定義)(),(rEzyxEconst.)(crrE2. 點電荷系的場強點電荷系的場強qfEniiqf1iiEE如果帶電體由如果帶電體由n個點電荷組個點電荷組成，如圖成，如圖或：或：iniiirrqE1304qfnii1場強疊加原理！場強疊加原理！由電力由電力疊加原理：疊加原理：iqqir

55、真空中一半徑為真空中一半徑為R的均勻帶電球面的均勻帶電球面,總電量為總電量為q (q0).今今在球面面上挖去非常小的一塊面積在球面面上挖去非常小的一塊面積 S (連同電荷連同電荷)，且假，且假設(shè)不影響原來的電荷分布，則挖去設(shè)不影響原來的電荷分布，則挖去 S后球心處的電場強后球心處的電場強度大小和方向度大小和方向. 24qR204SER方向背向小面積元方向背向小面積元 rRsasbs s1 1s s2 2o證明：均勻帶電球殼對其內(nèi)部任意一點的場強均為零證明：均勻帶電球殼對其內(nèi)部任意一點的場強均為零證：取過球殼內(nèi)的任證：取過球殼內(nèi)的任意一點意一點o,做一個做一個小小錐錐體，到球殼的距離為體，到球殼

56、的距離為r和和R, ,與球殼所交的面與球殼所交的面積為積為s s1 1, , s2. 做錐面的軸線，并做如圖做錐面的軸線，并做如圖示的兩垂面示的兩垂面sa,sb. 連接圓心與連接圓心與軸線與球殼軸線與球殼交點，交點，由幾何關(guān)系得軸線與半徑的夾由幾何關(guān)系得軸線與半徑的夾角相等，設(shè)為角相等，設(shè)為。 在錐體頂角很小的情況下在錐體頂角很小的情況下，s1, s2均可看成平面，其均可看成平面，其與與sa,sb夾角由幾何關(guān)系可證夾角由幾何關(guān)系可證明夾角相等為明夾角相等為。如圖示，由幾何關(guān)系有如圖示，由幾何關(guān)系有sa/sb=r2/R2900在錐體頂角很小的情況下，可得在錐體頂角很小的情況下，可得sb=s s2

57、 2coscos, ,同理同理, ,sa=s1cos所以：所以： s1/s2= sa/sb=r2/R2.設(shè)球殼電荷面密度為設(shè)球殼電荷面密度為.由場強公由場強公式可得式可得: E1=KQ1/r2=Ks s1 1/r/r2 2 E2=KQ2/R2=Ks2/R2相等相等E1=E2, ,由選取的任意性知該規(guī)律對球由選取的任意性知該規(guī)律對球殼內(nèi)任意點對任意方向所做的頂角很小殼內(nèi)任意點對任意方向所做的頂角很小的錐體均成立。小量求和，問題得證。的錐體均成立。小量求和，問題得證。 例例 均勻帶電（均勻帶電（q）圓環(huán)（）圓環(huán)（R）軸線上的場）軸線上的場解：在圓環(huán)上任取電荷元解：在圓環(huán)上任取電荷元 q304qEr

58、r xyzoxqrER對稱性對稱性 304xqxEr 333000444xqxxqxEqrrr 322204qxRx 204qExRx 若若為點電荷場為點電荷場!223/204()qxEixR204qr 0 x若若0Exyzox符合對稱性要求符合對稱性要求!無限長均勻帶電線（無限長均勻帶電線（ ）彎成如圖形狀（）彎成如圖形狀（R已知）已知）,求圓心處場強求圓心處場強 R l1 l2 2014RRE22204lEL22coscossin2RLRLl2212200cos4cos4RREERR 圓心處場強為零圓心處場強為零 LR6 - 3問題：問題：1.如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必

59、無電荷處處為零，則該面內(nèi)必無電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處為零，則該面內(nèi)必無凈電荷。處處為零，則該面內(nèi)必無凈電荷。2.如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E處處為零。處處為零。如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上E不一定為零不一定為零。3.如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。處處不為零，則該面內(nèi)必有電荷。如果高斯面上如果高斯面上E處處不為零處處不為零,則該面內(nèi)不一定有電荷。則該面內(nèi)不一定有電荷。4.高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，則高斯面上各點的場強一高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，則高斯面上各點的場強一定為零。定為零。高斯面內(nèi)

60、的電荷代數(shù)和為零時高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，則高斯面上的場，則高斯面上的場 強不一定處強不一定處處為零。處為零。 )s(isoqSdE內(nèi)內(nèi) 1(11-15)典型帶電體的電場分布典型帶電體的電場分布 無限大均勻帶電平面無限大均勻帶電平面 kE220 均勻帶電球面均勻帶電球面 220out4rkqrqE0inErER靜電場力作功的特點靜電場力作功的特點qbaE0Aq ElrrqE3040304q qrlr1. 點電荷點電荷的靜電場的靜電場l0204q qrr0204abiiq qArrbarrqq11400點電荷場力作功與具體路徑無關(guān)！點電荷場力作功與具體路徑無關(guān)！2. 一般一般電荷分布電荷分布