現(xiàn)代控制理論4

1、 第4章 穩(wěn)定性分析與李雅普諾夫方法 1經(jīng)典控制中的穩(wěn)定性:李亞普諾夫穩(wěn)定性:適用于線性時(shí)不變系統(tǒng)（方法很多、成熟）適用于各類系統(tǒng): 線性，非線性，時(shí)變，時(shí)不變2344.1 李亞普諾夫穩(wěn)定性定義一、范數(shù) 定義：狀態(tài)空間中兩個(gè)向量的距離5幾何含義0 x1 xe1xe1 0 x1xe2 x26二、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)（1）定義 系統(tǒng)狀態(tài)不隨時(shí)間發(fā)生變化（2）求解： f(xe,t)=0（3）特點(diǎn) 線性定常系統(tǒng)：A為非奇異矩陣時(shí)，有唯一的平衡狀態(tài)。Xe=0 A為奇異矩陣時(shí)，平衡狀態(tài)不唯一， 非線性系統(tǒng)：可能有多個(gè)平衡狀態(tài)（4）平衡點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn) 平衡點(diǎn)不唯一 坐標(biāo)原點(diǎn)唯一7三、李亞普諾夫穩(wěn)定性定義穩(wěn)定性分類穩(wěn)

2、定 漸近穩(wěn)定 大范圍漸近穩(wěn)定 不穩(wěn)定 關(guān)鍵：穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定（收斂于xe）、大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定(所有x0收斂于xe)、一致穩(wěn)定(與t0無關(guān))。嚴(yán)格定義幾何含義物理含義幾個(gè)注意問題81 穩(wěn)定（1）定義 對(duì)于給定的系統(tǒng)，如任意給定實(shí)數(shù)0，都存在另一實(shí)數(shù)(,t0) 0，使當(dāng)|x0-xe| 時(shí)，從任意初態(tài)出發(fā)的解(t, x0,t0) 都能滿足 | (t, x0,t0) -xe| 那么系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。（2）幾何含義xex092 不穩(wěn)定 （1）定義 對(duì)于給定的系統(tǒng)，如任意給定實(shí)數(shù)0，都存在另一實(shí)數(shù)(,t) 0，使當(dāng)|x0-xe| 時(shí)，總存在一個(gè)初始狀態(tài)x0，使得 | (t, x0,t0) -xe| 那么

3、系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。（2）幾何含義 （3）物理含義xex010比較 xex0 xex0 xex0113 應(yīng)注意的幾個(gè)問題對(duì)線性系統(tǒng)來講，任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)都可以通過坐標(biāo)變化轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。因此分析坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表意義。對(duì)非線性系統(tǒng)來講，如果具有多個(gè)平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性有可能不同。因此應(yīng)對(duì)每個(gè)平衡狀態(tài)分別進(jìn)行分析。穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定有很大的區(qū)別。經(jīng)典控制理論中，只有漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。對(duì)線性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么也一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。124-2 李雅普諾夫第一法134.3 李亞普諾夫第二方法一、二次型函數(shù)的基本概念 1定義：標(biāo)量函數(shù)的各

4、項(xiàng)最高次數(shù)不超過2次 2表達(dá)式：143矩陣表達(dá)15二、標(biāo)量函數(shù)的定號(hào)性1 定號(hào)性的定義當(dāng)x =0時(shí)，v(x)=0；當(dāng)x 0時(shí)，如果v(x)0 ，那么v(x)為正定； 如果v(x)0 ，那么v(x)為正半定；如果v(x)0 （賽爾維斯特準(zhǔn)則）正半定: A的各階主子式行列式大于或等于零，k0負(fù)定： A的各階主子式行列式正、負(fù)交替出現(xiàn)，即當(dāng)k=1,3,n-1,時(shí)，k0負(fù)半定：A的各階主子式行列式符號(hào)交替出現(xiàn)，即當(dāng)k=1,3,n-1,時(shí)，k0當(dāng)k=2,4,n,時(shí)，k017三、李氏函數(shù)起源：能量系統(tǒng)定義：與二次型函數(shù)、標(biāo)量函數(shù)的區(qū)別18四、李氏第二法穩(wěn)判如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的能量函數(shù)滿足：能量

5、函數(shù)正定；能量函數(shù)導(dǎo)數(shù)負(fù)定。則，在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。194-3 李雅普諾夫第二法例題4-4 非線性方程,分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性那么平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.負(fù)定解: 求平衡狀態(tài)xe 唯一平衡狀態(tài)在原點(diǎn) 選擇正定的v(x)204-3 李雅普諾夫第二法例題4-4 非線性方程平衡點(diǎn)狀態(tài)軌跡21幾種情況xex0224-3 李雅普諾夫第二法例題4-5 系統(tǒng)狀態(tài)方程,分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定?.半負(fù)定平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的.解: 求平衡狀態(tài)xe 唯一平衡狀態(tài)在原點(diǎn) 選擇正定的v(x)234-3 李雅普諾夫第二法例題4-5 系統(tǒng)狀態(tài)方程,分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性另選不恒等于零

6、平衡狀態(tài)xe大范圍漸進(jìn)近穩(wěn)定的.244-3 李雅普諾夫第二法對(duì)李雅普諾夫函數(shù)的討論沒有一般的方法找到李雅普諾夫函數(shù);是穩(wěn)定的充分條件，不是必要條件；李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的,但不影響結(jié)論;最簡單的形式是二次型;主要用于復(fù)雜問題,非線性系統(tǒng),時(shí)變系統(tǒng).254-4 李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是: 對(duì)任意給定的正實(shí)對(duì)稱矩陣Q,必存在正定的實(shí)對(duì)稱矩陣P,滿足李雅普諾夫方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)的漸進(jìn)近穩(wěn)定判據(jù)是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)并且26判斷步驟Step 1:確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)Step 2:確定Q和P的形式Step 3:根據(jù) 計(jì)算P矩陣的各元素Step 4:判斷P的正定性，如果P為正定，那