機(jī)電系統(tǒng)檢測(cè)與控制第二章機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

1、機(jī)電系統(tǒng)檢測(cè)與控制Measurement and Control in Mechatronics System 機(jī)械系統(tǒng)是機(jī)電一體化系統(tǒng)的最根本要素，主要用于執(zhí)行機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和支承部件，以完成規(guī)定的動(dòng)作，傳遞功率，運(yùn)動(dòng)和信息，支承連接相關(guān)部件等。機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，除考慮一般機(jī)械設(shè)計(jì)要求外，還必須考慮機(jī)械結(jié)構(gòu)因素與整個(gè)伺服系統(tǒng)的性能參數(shù)，電氣參數(shù)的匹配，以獲得良好的伺服性能。第二章 機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述2.2 機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型第二章 機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立 在機(jī)電一體化系統(tǒng)的分析中，質(zhì)量，彈簧，阻尼這三個(gè)理想的機(jī)械元件代表了機(jī)械系統(tǒng)各組成局部的本質(zhì)。另外，

2、機(jī)械系統(tǒng)中的負(fù)載，驅(qū)動(dòng)力，間隙，死區(qū)等因素也直接影響機(jī)械系統(tǒng)的性能。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述一、質(zhì)量和慣量的轉(zhuǎn)化 質(zhì)量m：指儲(chǔ)有直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的部件屬性。 力質(zhì)量系統(tǒng)mxF(t)2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J：表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的部件屬性。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于部件相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的幾何位置和部件的密度。質(zhì)量和慣量轉(zhuǎn)化的原那么：轉(zhuǎn)化前后系統(tǒng)瞬時(shí)動(dòng)能保持不變。即：2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述轉(zhuǎn)動(dòng)元件的瞬時(shí)動(dòng)能為： 移動(dòng)元件的瞬時(shí)動(dòng)能為：式中 m化轉(zhuǎn)化質(zhì)量(等效質(zhì)量)； J化 轉(zhuǎn)化慣量(等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述機(jī)床傳動(dòng)機(jī)構(gòu)示意圖1 、2、3、4

3、齒輪5絲杠 6工作臺(tái)等效質(zhì)量 齒輪1 、2、3、4及絲杠5和工作臺(tái)6，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1，J2， J3， J4 ，J5，工作臺(tái)6的質(zhì)量為m6，各齒輪的齒數(shù)為Z1，Z2，Z3，Z4，絲杠5螺距為12mm，求工作臺(tái)6的轉(zhuǎn)化質(zhì)量。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述機(jī)床傳動(dòng)機(jī)構(gòu)示意圖1 、2、3、4齒輪5絲杠 6工作臺(tái)2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述二、彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)化 軸向彈性系數(shù)k 表示位移彈簧的位能。力彈簧系統(tǒng)F(t)kX(t)2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述扭力彈簧系數(shù)或扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)k表示旋轉(zhuǎn)彈簧的位能。轉(zhuǎn)矩扭力彈簧系統(tǒng)T(t)(t)k2.1 機(jī)

4、械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)化 旋轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)化：式中 k化轉(zhuǎn)化彈性系數(shù)； kj各構(gòu)件的彈性系數(shù)； ij各構(gòu)件到被研究元件間的傳動(dòng)比。 此式是對(duì)旋轉(zhuǎn)傳動(dòng)系統(tǒng)而言的，如果是移動(dòng)系統(tǒng)那么需要變換。 2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述移動(dòng)系統(tǒng)彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)化：串聯(lián)彈簧的等效數(shù)學(xué)表達(dá)式為：并聯(lián)彈簧的等效其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述三、阻尼系數(shù)的轉(zhuǎn)化 機(jī)械系統(tǒng)在工作過(guò)程中，相互運(yùn)動(dòng)的元件間存在著阻力，并以不同的形式表現(xiàn)出來(lái)。如摩擦阻力、流體的阻力以及負(fù)載阻力。這些在建立物理模型時(shí)都需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為與速度有關(guān)的粘滯阻尼力。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理

5、量的描述(一)直線運(yùn)動(dòng)的摩擦FFFF 1靜摩擦 2動(dòng)摩擦 3粘滯摩擦2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述(二)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的摩擦 直線運(yùn)動(dòng)的三種摩擦均適用于轉(zhuǎn)動(dòng)。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述 (三)阻力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為當(dāng)量粘滯阻尼系數(shù) 上邊講的系統(tǒng)中存在的阻力性質(zhì)是不相同的，但系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中都要消耗能量是共同的。在數(shù)學(xué)模型的建立中，只有與構(gòu)件運(yùn)動(dòng)速度成正比的阻力才是可行的。所以，利用摩擦阻力與粘滯阻力所消耗的功相等這一根本原那么來(lái)求取轉(zhuǎn)化粘滯阻尼系數(shù)。2.1 機(jī)械系統(tǒng)建模中根本物理量的描述微分方程及其線性近似拉氏變換及其反變換傳遞函數(shù)系統(tǒng)方框圖2.2 機(jī)電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立一、列寫(xiě)微分方程

6、的一般步驟：(1)要先明確輸入和輸出變量；(2)利用對(duì)系統(tǒng)的分析，找出各元部件之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系: 微分方程組；(3)消去中間變量，得到輸入、輸出變量間的微分方程；(4)寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)式：即與輸入變量有關(guān)的項(xiàng)放在等號(hào)的右邊，與輸出變量有關(guān)的項(xiàng)放在等號(hào)左邊。并按求導(dǎo)次數(shù)依次降低的順序排列。2.2.1 微分方程及其線性近似例1：求組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)力學(xué)模型的微 分方程。fi(t)xo(t)kfM由牛頓第二定律得：二階線性定常非齊次微分方程！2.2.1 微分方程及其線性近似例2：求求擺錘的扭轉(zhuǎn)力矩與扭轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。由牛頓第二定律得：2.2.1 微分方程及其線性近似一、拉氏變換的定義：(1)當(dāng) t 0時(shí)， x(

7、t)在每個(gè)有限區(qū)間上分段連續(xù)；對(duì)于函數(shù) x(t)，如果滿(mǎn)足以下條件：(2) 存在，其中s=+j為復(fù)變量。為原函數(shù)為象函數(shù)2.2.2 拉氏變換及其反變換二、典型函數(shù)的拉氏變換1、單位階躍函數(shù): 1(t)=1, (t0)2、單位斜坡函數(shù): t1(t)0t1(t)10tt1(t)452.2.2 拉氏變換及其反變換二、典型函數(shù)的拉氏變換(t)在a0時(shí)t-a/21/aa/20, (t0);, (t=0); 且有(t)=4、指數(shù)函數(shù): e-at 1(t)3、單位脈沖函數(shù): (t)2.2.2 拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的根本性質(zhì)和定理1、線性性質(zhì)：t例：0 x(t)4522.2.2 拉氏變換及其反變換三

8、、拉氏變換的根本性質(zhì)和定理2、微分性質(zhì)：假設(shè)系統(tǒng)處于零初始條件下：那么有2.2.2 拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的根本性質(zhì)和定理例：在零初始條件下求輸出的拉氏變換。解：對(duì)上方程在零初始條件下求拉氏變換得：利用拉氏反變換便可得到輸出的原函數(shù)。2.2.2 拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的根本性質(zhì)和定理3、積分性質(zhì)（在零初始條件下）：4、延時(shí)定理：0t1( t -)1例：x(t)t045222.2.2 拉氏變換及其反變換三、拉氏變換的根本性質(zhì)和定理5、終值定理：證明)(lim)(lim0ssXtxst=2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換采用局部分式展開(kāi)法求拉氏反變換： x(t) X(s)

9、 X(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=LX(s)-12.2.2 拉氏變換及其反變換1、只含不同單極點(diǎn)的式中：四、拉氏反變換2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換1、只含不同單極點(diǎn)的情況：例1例2解：解：2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換通過(guò)配方化成正弦、余弦象函數(shù)的形式再求反變換2、含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換2、含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況：例2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換3、含重極點(diǎn)的情況：S - p1S=-p1為r 重極點(diǎn)展開(kāi)為r 個(gè)分式2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例13、含重極點(diǎn)的情況：2.2.2

10、 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例23、含重極點(diǎn)的情況：2.2.2 拉氏變換及其反變換四、拉氏反變換例23、含重極點(diǎn)的情況：2.2.2 拉氏變換及其反變換 線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 一、傳遞函數(shù)的定義 即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：式中:C(s)為系統(tǒng)的輸出量，R(s)為輸入量，mn。a0、a1、 an 及b0、b1、 、bm 均為實(shí)數(shù), 其數(shù)值由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)決定。 2.2.3 傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的定義 若線性定常系統(tǒng)的微分方程一般形式為：G(s)R(s)C(s)即為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。C（s）=G（s）R（S）2.2.3 傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描

11、述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量或變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。亦：描述能系統(tǒng)性能的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)字、圖像表達(dá)式數(shù)學(xué)模型有三種描述 微分方程 傳遞函數(shù) 系統(tǒng)方框圖 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種形式，也是一種表示輸入輸出的模型形式。 它表示了系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。它僅能表示輸入輸出關(guān)系，而無(wú)法表示出系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。一、傳遞函數(shù)的定義 2.2.3 傳遞函數(shù) 比例(或放大)環(huán)節(jié)：G(s)=K (理想)積分環(huán)節(jié)：G(s)=1/s (理想)微分環(huán)節(jié)：G(s)= s (一階)慣性環(huán)節(jié)：G(s)= 1/ (T s+ 1) 一階微分環(huán)節(jié)： G(s)= s + 1 (二階)振蕩環(huán)節(jié)：G(s)=

12、1/ (T2 s2 +2Ts +1) 二階微分環(huán)節(jié)： G(s)= 2 s2 + 2s + 1 二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 1. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.2.3 傳遞函數(shù) 機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)：M(t)(t)fJ 此系統(tǒng)由慣性負(fù)載和粘性摩擦阻尼器構(gòu)成，負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J，粘性摩擦系數(shù)為 f，作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩為M(t)。 根據(jù)牛頓定律可得：二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 2. 典型機(jī)電元部件傳遞函數(shù)中的典型環(huán)節(jié)2.2.3 傳遞函數(shù)經(jīng)拉氏變換得角速度的傳遞函數(shù)：則減速器轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)為可見(jiàn)負(fù)載轉(zhuǎn)矩M2折算到輸入端的折算值為：由機(jī)械原理知，在不考慮功率損耗時(shí)有M1M2（減速比： ） 減速器：Z1Z21M12M2二、

13、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 2. 典型機(jī)電元部件傳遞函數(shù)中的典型環(huán)節(jié)2.2.3 傳遞函數(shù)軸：軸：軸：M21M32齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)：設(shè)輸入為轉(zhuǎn)矩M1，輸出為轉(zhuǎn)角1 。J3, f3M1J1, f11軸J2, f22M2軸3M3軸Z1Z2Z3Z4且在不考慮功率損耗時(shí)有:二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 2. 典型機(jī)電元部件傳遞函數(shù)中的典型環(huán)節(jié)2.2.3 傳遞函數(shù)M11fJ軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)：設(shè)輸入為轉(zhuǎn)矩M1，輸出為轉(zhuǎn)角1 。J3, f3M1J1, f11軸J2, f22M2軸3M3軸Z1Z2Z3Z4二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 2. 典型機(jī)電元部件傳遞函數(shù)中的典型環(huán)節(jié)2.2.3 傳遞函數(shù)一、系統(tǒng)方框圖 方框圖模型是控制系統(tǒng)的

14、又一種數(shù)學(xué)模型。特點(diǎn)：具有圖示模型的直觀，能說(shuō)明系統(tǒng)個(gè)元件的功能及信號(hào)的流向。方框圖具有數(shù)學(xué)性質(zhì)，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算和等效變換，是計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有力工具，應(yīng)用非常普遍。 系統(tǒng)方框圖與原理圖是不一致的！2.2.4 系統(tǒng)方框圖一、系統(tǒng)方框圖組成A(s)B(s)C(s)= A(s) B(s)A(s)A(s)A(s)信號(hào)線：表示信號(hào)傳遞通路 與方向。 方框：表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。 方框中寫(xiě)入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 比較點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算。引出點(diǎn)：表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。同一位 置引出的信號(hào)數(shù)值和性質(zhì)完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)系統(tǒng)方框圖表示符號(hào)的“三要素2.2.4 系統(tǒng)方框圖二、系統(tǒng)方框圖的繪制對(duì)各元件的微分方程進(jìn)行拉氏變換，并做出各元件的方框圖表示。2.按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各元件的方框圖連接起來(lái)，可得系統(tǒng)的方框圖。3.繪制系統(tǒng)方框圖的步驟建立控制系統(tǒng)各元件的微分方程。注意分清各元件的輸入和輸出，同時(shí)考慮相鄰元件之間的負(fù)載效應(yīng)。1.2.2.4 系統(tǒng)方框圖例1：試建立圖示機(jī)械系統(tǒng)的方框圖(或結(jié)構(gòu)圖)。J1J2T2T1ok2fik11解：二、系統(tǒng)方框圖的繪制2.2.4 系統(tǒng)方框圖1(s)k1i(s)T1(s)T2(s)1(s)o(s)k2T2(s)o(s)例1：