壓桿的穩(wěn)定性驗算

1、.wd.wd.wd.建筑力學(xué)行動導(dǎo)向教學(xué)案例教案提綱課程名稱 建筑力學(xué)課程性質(zhì)必修課、選修課 工程名稱模塊七 壓桿穩(wěn)定性授課方式理論課 、實驗課 、實訓(xùn)課 教學(xué)時數(shù)6課時授課時間教學(xué)目的1會用歐拉公式計算壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力。2能用折減系數(shù)法對壓桿進展穩(wěn)定計算。教學(xué)內(nèi)容1理解壓桿失穩(wěn)和臨界力的概念； 2掌握壓桿的臨界力計算； 3能用折減系數(shù)法計算壓桿的穩(wěn)定問題。教學(xué)重點壓桿的臨界力計算；折減系數(shù)法計算壓桿的穩(wěn)定問題。教學(xué)難點歐拉公式的推導(dǎo)消耗材料A4紙張3張操作工具直尺、鉛筆、橡皮；計算器成果要求進展壓桿的穩(wěn)定性計算學(xué)生任選綜合訓(xùn)練工程其一教學(xué)過程一、信息獲取教師主講1. 壓桿的臨界力計算2

2、折減系數(shù)法計算壓桿的穩(wěn)定問題 二、制定方案分組討論1.失穩(wěn)破壞的特點；2.壓桿失穩(wěn)的原因3.穩(wěn)定性計算4.提高穩(wěn)定性的措施。三、做出決定教師主持全班討論1. 分組介紹壓桿實驗設(shè)計方案2. 提問、討論、教師點評：介紹失穩(wěn)破壞的特點；壓桿失穩(wěn)的原因；穩(wěn)定性計算；提高穩(wěn)定性的措施。四、實施操作分組實驗1. 根據(jù)討論結(jié)果確定壓桿穩(wěn)定性實驗方案；2.先利用兩種方法分別驗算壓桿穩(wěn)定性；3. 利用萬能試驗機進展壓桿試驗三種柔度：； 五、檢驗校正教師主持分組發(fā)言1. 列舉知識和能力缺陷、列出理論與實際差異、列舉提高壓桿穩(wěn)定性措施。2. 寫出實驗改進措施；3. 寫出小組協(xié)作體會與個人心得。六、總結(jié)評價1.小組自

3、評本組學(xué)生自我模糊評定2. 構(gòu)造功能評定全班學(xué)生討論后議定3. 小組間互評并寫出對方優(yōu)缺點全班學(xué)生討論后議定4. 任務(wù)完成等級評定教師依據(jù)一定標準進展評定5. 團隊協(xié)作水平評定教師、組長評定模塊七 壓桿穩(wěn)定性7.1壓桿穩(wěn)定的概念圖7-1為了說明問題，取如圖7-2 (a)所示的等直細長桿，在其兩端施加軸向壓力F，使桿在直線狀態(tài)下處于平衡，此時，如果給桿以微小的側(cè)向干擾力，使桿發(fā)生微小的彎曲，然后撤去干擾力，那么當(dāng)桿承受的軸向壓力數(shù)值不同時，其結(jié)果也截然不同。當(dāng)桿承受的軸向壓力數(shù)值F小于某一數(shù)值時，在撤去干擾力以后，桿能自動恢復(fù)到原有的直線平衡狀態(tài)而保持平衡，如圖7-2 (a)、(b)所示，這種原

4、有的直線平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定的平衡；當(dāng)桿承受的軸向壓力數(shù)值F逐漸增大到某一數(shù)值時，即使撤去干擾力，桿仍然處于微彎形狀，不能自動恢復(fù)到原有的直線平衡狀態(tài)，如圖7-2 (c)、(d)所示，那么原有的直線平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的平衡。如果力F繼續(xù)增大，那么桿繼續(xù)彎曲，產(chǎn)生顯著的變形，甚至發(fā)生突然破壞。上述現(xiàn)象說明，在軸向壓力F由小逐漸增大的過程中，壓桿由穩(wěn)定的平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡，這種現(xiàn)象稱為壓桿喪失穩(wěn)定性或者壓桿失穩(wěn)。顯然壓桿是否失穩(wěn)取決于軸向壓力的數(shù)值，壓桿由直線狀態(tài)的穩(wěn)定的平衡過渡到不穩(wěn)定的平衡時所對應(yīng)的軸向壓力，稱為壓桿的臨界壓力或臨界力，用表示當(dāng)壓桿所受的軸向 圖7-2壓力F小于時，桿件就能夠保持

5、穩(wěn)定的平衡，這種性能稱為壓桿具有穩(wěn)定性；而當(dāng)壓桿所受的軸向壓力F等于或者大于時，桿件就不能保持穩(wěn)定的平衡而失穩(wěn)。壓桿經(jīng)常被應(yīng)用于各種工程實際中，例如腳手架立桿和基坑支護的支撐桿，均承受壓力，此時必須考慮其穩(wěn)定性，以免引起壓桿失穩(wěn)破壞。7.2臨界力和臨界應(yīng)力7.2.1細長壓桿臨界力計算公式歐拉公式圖7-2圖7-1從上面的討論可知，壓桿在臨界力作用下，其直線狀態(tài)的平衡將由穩(wěn)定的平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡，此時，即使撤去側(cè)向干擾力，壓桿仍然將保持在微彎狀態(tài)下的平衡。當(dāng)然，如果壓力超過這個臨界力，彎曲變形將明顯增大。所以，使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小的軸向壓力，即為壓桿的臨界壓力。下面介紹不同約束條件

6、下壓桿的臨界力計算公式。一、兩端鉸支細長桿的臨界力計算公式歐拉公式設(shè)兩端鉸支長度為z的細長桿，在軸向壓力的作用下保持微彎平衡狀態(tài)，如圖7-3所示。桿在小變形時其撓曲線近似微分方程為：在圖7-3所示的坐標系中，坐標z處橫截面上的彎矩為：將式(b代入式(a)，得圖7-3進一步推導(dǎo)(過程從略)，可得臨界力為：公式7-1上式即為兩端鉸支細長桿的臨界壓力計算公式，稱為歐拉公式。從歐拉公式可以看出，細長壓桿的臨界力與壓桿的彎曲剛度成正比，而與桿長的平方成反比。二、其他約束情況下細長壓桿的臨界力桿端為其他約束的細長壓桿，其臨界力計算公式可參考前面的方法導(dǎo)出，也可以采用類比的方法得到。經(jīng)歷說明，具有一樣撓曲線

7、形狀的壓桿，其臨界力計算公式也一樣。于是，可將兩端鉸支約束壓桿的撓曲線形狀取為 基本情況，而將其他桿端約束條件下壓桿的撓曲線形狀與之進展比照，從而得到相應(yīng)桿端約束條件下壓桿臨界力的計算公式。為此，可將歐拉公式寫成統(tǒng)一的形式：公式7-2表7-1 壓桿長度系數(shù)【例7.2-1】如圖7-4所示，一端固定另一端自由的細長壓桿，其桿長2m，截面形狀為矩形，20mm、h=45mm，材料的彈性模量E=200GPa。試計算該壓桿的臨界力。假設(shè)把截面改為=30mm，而保持長度不變，那么該壓桿的臨界力又為多大?解 (1)計算截面的慣性矩由前述可知，該壓桿必在彎曲剛度最小的xy平面內(nèi)失穩(wěn)，故公式(4-53)的慣性矩應(yīng)

8、以最小慣性矩代入，即圖7-4(2)計算臨界力查表4-12得2，因此臨界力為：(3)當(dāng)截面改為=30mm時壓桿的慣性矩為：代入歐拉公式，可得：從以上兩種情況分析，其橫截面面積相等，支承條件也一樣，但是，計算得到的臨界力后者大于前者?？梢娫诓牧嫌昧恳粯拥臈l件下，選擇恰當(dāng)?shù)慕孛嫘问娇梢蕴岣呒氶L壓桿的臨界力。7.2.2歐拉公式的適用范圍一、臨界應(yīng)力和柔度公式7-3前面導(dǎo)出了計算壓桿臨界力的歐拉公式，當(dāng)壓桿在臨界力作用下處于直線狀態(tài)的平衡時，其橫截面上的壓應(yīng)力等于臨界力除以橫截面面積A，稱為臨界應(yīng)力，用表示，即上式為計算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式，式中稱為壓桿的柔度(或稱長細比)。柔度是一個無量綱的量，其大

9、小與壓桿的長度系數(shù)、桿長及慣性半徑有關(guān)。由于壓桿的長度系數(shù)決定于壓桿的支承情況，慣性半徑?jīng)Q定于截面的形狀與尺寸，所以，從物理意義上看，柔度綜合地反映了壓桿的長度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對臨界力的影響。從式(7-3)還可以看出，如果壓桿的柔度值越大，那么其臨界應(yīng)力越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。二、歐拉公式的適用范圍歐拉公式是根據(jù)撓曲線近似微分方程導(dǎo)出的，而應(yīng)用此微分方程時，材料必須服從虎克定理。因此，歐拉公式的適用范圍應(yīng)當(dāng)是壓桿的臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限，即：有假設(shè)設(shè)為壓桿的臨界應(yīng)力到達材料的比例極限時的柔度值，那么：7-47-5故歐拉公式的適用范圍為上式說明，當(dāng)壓桿的柔度不小于時，才可以應(yīng)

10、用歐拉公式計算臨界力或臨界應(yīng)力。這類壓桿稱為大柔度桿或細長桿，歐拉公式只適用于大柔度桿。從式(4-55)可知，的值取決于材料性質(zhì)，不同的材料都有自己的E值和值，所以，不同材料制成的壓桿，其也不同。例如Q235鋼，= 200MPa，E=200GPa，由式(7-4)即可求得，=100?！纠?.2-2】Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示a為正視圖b為俯視圖，在AB兩處為銷釘連接。假設(shè)L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。解： 圖7-57.3中長桿的臨界力計算經(jīng)歷公式、臨界應(yīng)力總圖7.3.1中長桿的臨界力計算經(jīng)歷公式上面指出，

11、歐拉公式只適用于大柔度桿，即臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限(處于彈性穩(wěn)定狀態(tài))。當(dāng)臨界應(yīng)力超過比例極限時，材料處于彈塑性階段，此類壓桿的穩(wěn)定屬于彈塑性穩(wěn)定(非彈性穩(wěn)定)問題，此時，歐拉公式不再適用。對這類壓桿各國大都采用經(jīng)歷公式計算臨界力或者臨界應(yīng)力，經(jīng)歷公式是在試驗和實踐資料的根基上，經(jīng)過分析、歸納而得到的。各國采用的經(jīng)歷公式多以本國的試驗為依據(jù)，因此計算不盡一樣。我國比較常用的經(jīng)歷公式有直線公式和拋物線公式等，本書只介紹直線公式，其表達式為7-6式中a和b一一與材料有關(guān)的常數(shù)，其單位為MPa。一些常用材料的a、b值可見表7-2。表7-2 幾種常用材料的a、b值材 料aMPabMPaQ235鋼

12、235MPa3041.1210062硅鋼353MPa510MPa5773.7410060鉻鉬鋼9805.2955O硬 鋁3722.1450O鑄 鐵331.91.453松 木39.2O19959O應(yīng)當(dāng)指出，經(jīng)歷公式(7-6)也有其適用范圍，它要求臨界應(yīng)力不超過材料的受壓極限應(yīng)力。這是因為當(dāng)臨界應(yīng)力到達材料的受壓極限應(yīng)力時，壓桿已因為強度缺乏而破壞。因此，對于由塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不允許超過材料的屈服應(yīng)力，即：7-7或 令 得： 式中臨界應(yīng)力等于材料的屈服點應(yīng)力時壓桿的柔度值。與一樣，它也是一個與材料的性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。因此，直線經(jīng)歷公式的適用范圍為：計算時，一般把柔度值介于與之間的壓桿稱

13、為中長桿或中柔度桿，而把柔度小于的壓桿稱為短粗桿或小柔度桿。對于柔度小于的短粗桿或小柔度桿，其破壞那么是因為材料的抗壓強度缺乏而造成的，如果將這類壓桿也按照穩(wěn)定問題進展處理，那么對塑性材料制成的壓桿來說，可取臨界應(yīng)力。7.3.2臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿按照其柔度的不同，可以分為三類，并分別由不同的計算公式計算其臨界應(yīng)力。當(dāng)時，壓桿為細長桿(大柔度桿)，其臨界應(yīng)力用歐拉公式(7-3)來計算；當(dāng)時，壓桿為中長桿(中柔度桿)，其臨界應(yīng)力用經(jīng)歷公式(7-6)來計算；時，壓桿為短粗桿(小柔度桿)，其臨界應(yīng)力等于桿受壓時的極限應(yīng)力。如果把壓桿的臨界應(yīng) 圖7-6 力根據(jù)其柔度不同而分別計算的情況，用一個簡

14、圖來表示，該圖形就稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。圖7-6即為某塑性材料的臨界應(yīng)力總圖。圖4-133【例7.3-1】圖7-7所示為兩端鉸支的圓形截面受壓桿，用Q235鋼制成，材料的彈性模量E=200GPa，屈服點應(yīng)力=235MPa，直徑d=40mm，試分別計算下面三種情況下壓桿的臨界力：(1)桿長1.2m；(2)桿長0.8m；(3)桿長0.5m。解 (1)計算桿長1.2m時的臨界力。兩端鉸支時1慣性半徑柔度所以是大柔度桿，應(yīng)用歐拉公式計算臨界力(2)計算桿長0.8m時的臨界力因為，所以該桿為中長桿，應(yīng)用直線經(jīng)歷公式來計算臨界力。查表7-2，Q235鋼a=304MPa，b=1.12MPa(3)計算桿長0

15、.5m時的臨界力壓桿為短粗桿(小柔度桿)，其臨界力為7.4壓桿的穩(wěn)定計算7.4.1壓桿穩(wěn)定實用計算公式當(dāng)壓桿中的應(yīng)力到達(或超過)其臨界應(yīng)力時，壓桿會喪失穩(wěn)定。所以，正常工作的壓桿，其橫截面上的應(yīng)力應(yīng)小于臨界應(yīng)力。在工程中，為了保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，還必須考慮一定的安全儲藏，這就要求橫截面上的應(yīng)力，不能超過壓桿的臨界應(yīng)力的許用值，即：a為臨界應(yīng)力的許用值，其值為b式中穩(wěn)定安全系數(shù)。穩(wěn)定安全系數(shù)一般都大于強度計算時的安全系數(shù)，這是因為在確定穩(wěn)定安全系數(shù)時，除了應(yīng)遵循確定安全系數(shù)的一般原那么以外，還必須考慮實際壓桿并非理想的軸向壓桿這一情況。例如，在制造過程中，桿件不可防止地存在微小的彎曲(即

16、存在初曲率)；另外，外力的作用線也不可能絕對準確地與桿件的軸線相重合(即存在初偏心)等等，這些因素都應(yīng)在穩(wěn)定安全系數(shù)中加以考慮。c為了計算上的方便，將臨界應(yīng)力的許用值，寫成如下形式：從上式可知，值為d式中強度計算時的許用應(yīng)力；折減系數(shù)，其值小于l。將式(c)代人式(a)，可得公式7-8上式即為壓桿需要滿足的穩(wěn)定條件。由于折減系數(shù)可按的值直接從表7-3中查到，因此，按式(7-8)的穩(wěn)定條件進展壓桿的穩(wěn)定計算，十分方便。因此，該方法也稱為實用計算方法。 應(yīng)當(dāng)指出，在穩(wěn)定計算中，壓桿的橫截面面積A均采用毛截面面積計算，即當(dāng)壓桿在局部有橫截面削弱(如鉆孔、開口等)時，可予不考慮。因為壓桿的穩(wěn)定性取決于

17、整個桿件的彎曲剛度，而局部的截面削弱對整個桿件的整體剛度來說，影響甚微。但是，對截面的削弱處，那么應(yīng)當(dāng)進展強度驗算。表7-3 折減系數(shù)表Q235鋼16錳鋼木材Q235鋼16錳鋼木材0102030405060708090lOO1.000O.995 o.981o.958o.927o.888o.842o.789o.731o.669o.6041.000 O.993o.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.668O.5750.4700.3700.300110120130140150160170

18、1801902000.5360.4460.4010.3490.3060.2720.243O2180.1970.1800.386：0.3250.2790.242 0.213O188O168O1510.136O124O.2480.2080.178 O.53 0.133 0.117 0.104 0.093 0.083 0.0757.4.2實用計算公式應(yīng)用應(yīng)用壓桿的穩(wěn)定條件，可以對以下三個方面的問題進展計算：(1)穩(wěn)定校核即壓桿的幾何尺寸、所用材料、支承條件以及承受的壓力，驗算是否滿足式(7-8)的穩(wěn)定件。這類問題，一般應(yīng)首先計算出壓桿的長細比，根據(jù)查出相應(yīng)的折減系數(shù)，再按照式(7-8)進展校核。(2

19、)計算穩(wěn)定時的許用荷載即壓桿的幾何尺寸、所用材料及支承條件，按穩(wěn)定條件計算其能夠承受的許用荷載F值。這類問題，一般也要首先計算出壓桿的長細比，根據(jù)查出相應(yīng)的折減系數(shù)，再按照下式進展計算。(3)進展截面設(shè)計即壓桿的長度、所用材料、支承條件以及承受的壓力F，按照穩(wěn)定條件計算壓桿所需的截面尺寸。這類問題，一般采用“試算法。這是因為在穩(wěn)定條件(7-8)中，折減系數(shù)是根據(jù)壓桿的長細比查表得到的，而在壓桿的截面尺寸尚未確定之前，壓桿的長細比不能確定，所以也就不能確定折減系數(shù)。因此，只能采用試算法。首先假定一折減系數(shù)值 (0與1之間)，由穩(wěn)定條件計算所需要的截面面積A，然后計算出壓桿的長細比，根據(jù)壓桿的長細

20、比查表得到折減系數(shù)，再按照式(7-8)驗算是否滿足穩(wěn)定條件。如果不滿足穩(wěn)定條件，那么應(yīng)重新假定折減系數(shù)值，重復(fù)上述過程，直到滿足穩(wěn)定條件為止。【例7.4-1】如圖7-8所示支架，BD桿為正方形截面的木桿，其長度2m，截面邊長a=O.1m，木材的許用應(yīng)力MPa，試從滿足BD桿的穩(wěn)定條件考慮，計算該支架能承受的最大荷載。圖7-8解 (1)計算BD桿的長細比(2)求BD桿能承受的最大壓力根據(jù)長細比查表，得徹0.470，那么BD桿能承受的最大壓力為(3)根據(jù)外力F與BD桿所承受壓力之間的關(guān)系，求出該支架能承受的最大荷載。 考慮AC的平衡，可得從而可求得因此，該支架能承受的最大荷載為7.5提高壓桿穩(wěn)定性的措施要提高壓桿的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于提高壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力。而壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力，與壓桿的長度、橫截面形狀及大小、支承條件以及壓桿所用材料等有關(guān)。因此，可以從以下幾個方面考慮：一、合理選擇材料歐拉公式告訴我們，大柔度桿的臨界應(yīng)力，與材料的彈性模量成正比。所以選擇彈性模量較高的材料，就可以提高大柔度桿的臨界應(yīng)力，也就提高了其穩(wěn)定性。但是，對于鋼材而言，各種鋼的彈性