夫瑯禾費單縫衍射光強分布MATLAB分析畢業(yè)設(shè)計論文

1、畢業(yè)設(shè)計（論文）衍射為人們所熟悉的現(xiàn)象，對于光的這種特殊現(xiàn)象在很多方面有著應(yīng)用。在光的衍射的基礎(chǔ)上，介紹了什么是夫瑯禾費衍射，幾種實現(xiàn)夫瑯禾費衍射 的方法和原理及光強分布特點，以基爾霍夫積分定理為基礎(chǔ)，利用衍射公式的近 似對基爾霍夫衍射公式進行了推導(dǎo)，從理論上得出了夫瑯禾費單縫衍射的光強公 式，利用Matlab軟件進行了光強分布的圖樣仿真，并用實驗采集到的圖樣對理論 和仿真的結(jié)論進行了驗證，采用對觀察屏上各點的光強進行計算的方法，對衍射 條紋分析對比研究，重點研究了夫瑯禾費單縫衍射光強分布以及衍射的條紋分析， 計算結(jié)果與實驗結(jié)果得到了很好的吻合。關(guān)鍵詞：夫瑯禾費單縫衍射；光強分布；衍射條紋；對

2、比分析AbstractDiffraction to people familiar with the phenomenon, the light of this unique phe nomenon has applicati ons in many areas.In the diffraction of light on the basis of what is on the Fraunhofer diffraction, the realization of several Fraunhofer diffraction methods and principles and distribu

3、tion of light intensity to Kirchhoff integral theorem based on the formula used diffraction Kirchhoff diffractio n similar to the formula derived from the theory that the Fraun hofer single-slit diffraction of light formula, using the Matlab software Light simulation of the design and use of the ima

4、ges collected on theory Simulation and the conclusions were verified by on-screen to observe the strong points of light to the method of calculation, the diffract ion frin ges of comparative study, focused on the Fraun hofer sin gle-slit diffractio n in ten sity distributio n and diffractio n an aly

5、sis of the fringe The results with the experime ntal results have bee n very good an astomosis.Key words： Fraunhofer single-slit diffraction ; light distribution ； diffraction fringes ;comparative an alysis畢業(yè)設(shè)計（論文） II目錄 TOC o 1-5 h z 第1章概述1 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 1.1光的衍射1 HYPERLINK

6、 l bookmark8 o Current Document 1.2研究的內(nèi)容與目的2 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 第2章 夫瑯禾費衍射原理 3 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 2.1惠更斯一菲涅耳原理3 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 2.2夫瑯禾費衍射4 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 2.3實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法 5 HYPERLINK l bookmark18 o Cur

7、rent Document 2.4菲涅耳半波帶分析法7 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 2.5夫瑯禾費衍射光強圖樣特點 10 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 2.6本章小結(jié)12 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 第3章光強分布的推導(dǎo)13 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 3.1基爾霍夫積分定理 13 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 3.2基爾

8、霍夫衍射公式15 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 3.3基爾霍夫衍射公式的近似 17 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 3.4夫瑯禾費單縫衍射光強分布19 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 3.5本章小結(jié)20 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 第4章條紋分析21 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 4.1理論分析21 HYPERLINK l boo

9、kmark58 o Current Document 4.2仿真分析23 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 4.3實驗分析26 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 4.4對比分析28 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 4.5本章小結(jié)29結(jié) 論.錯誤！未定義書簽。 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 參考文獻30致 謝.錯誤！未定義書簽。畢業(yè)設(shè)計（論文） 畢業(yè)設(shè)計(論文) 1.1光的衍射1.1.1衍射特

10、點光波遇到障礙物以后會或多或少地偏離幾何光學(xué)傳播定律的現(xiàn)象。幾何光學(xué) 表明，光在均勻媒質(zhì)中按直線定律傳播，光在兩種媒質(zhì)的分界面按反射定律和折 射定律傳播。但是，光是一種電磁波，當(dāng)一束光通過有孔的屏障以后，其強度可 以波及到按直線傳播定律所劃定的幾何陰影區(qū)內(nèi)，也使得幾何照明區(qū)內(nèi)出現(xiàn)某些 暗斑或暗紋。光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn) 象。光的衍射，也可以叫做光的繞射，即光可以繞過障礙物，傳播到障礙物的幾 何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。(a)(b)圖1-1光的衍射現(xiàn)象如圖1-1所示，讓一個足夠

11、亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔刀，照射到屏 幕K上，并且逐漸改變圓孔的大小，就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓孔足夠大時，在屏幕上看到 一個均勻光斑，光斑的大小就是圓孔的幾何投影，如圖1-1 (a)所示；隨著圓孔逐漸減小，起初光斑也相應(yīng)的變小，而后光斑開始模糊，并且在圓斑外面產(chǎn)生若 干圍繞圓斑的同心圓環(huán)，當(dāng)使用單色光源時，這是一組明暗相見的同心環(huán)帶，如 圖1-1 (b)所示，當(dāng)使用白色光源時，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使圓孔變小，光斑及圓環(huán)不跟著變小，反而會增大起來，這就是光的衍射現(xiàn)象。衍射與干涉的關(guān)系干涉現(xiàn)象和衍射現(xiàn)象都是光具有波動性的重要特征，那么，它們有怎樣的區(qū) 別和聯(lián)系呢，簡單地說，干涉是若干光

12、束的疊加，更確切地講應(yīng)該是，當(dāng)參與疊 加的各束光本身的傳播行為可近似用幾何光學(xué)直線傳播的模型描寫時，這個疊加 問題是純干涉問題；若參與疊加的各束光本身的傳播明顯地不符合幾何光學(xué)模型， 則應(yīng)該說，對每一束而言都存在著衍射，而各束光之間則存在干涉聯(lián)系。在一般 問題中，干涉和衍射兩者的作用是同時存在的。從本質(zhì)上說，干涉和衍射都是波 的相干疊加的結(jié)果，只是參與相干疊加的對象有所區(qū)別，干涉是有限幾束光疊加， 而衍射則是無窮多次波的相干疊加。其次，出現(xiàn)的干涉和衍射花樣都是明暗相間 的條紋，但在光強分布上有間距均勻與相對集中的不同。衍射的應(yīng)用光的衍射決定光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)；氣體或液體中的大量懸浮粒子對光的散

13、 射，衍射也起重要的作用。衍射應(yīng)用大致可以概括為以下四個方面：1、光譜分析：如衍射光柵光譜儀。2、 結(jié)構(gòu)分析：衍射圖樣對精細結(jié)構(gòu)有一種相當(dāng)敏感的放大”作用，故而利用圖 樣分析結(jié)構(gòu)，如X射線結(jié)構(gòu)學(xué)。3、成像:在相干光成像系統(tǒng)中，引進兩次衍射成像概念，由此發(fā)展成為空間濾 波技術(shù)和光學(xué)信息處理。光瞳衍射導(dǎo)出成像儀器的分辨本領(lǐng)。4、波陣面再現(xiàn)：一種全新的兩步無透鏡成像法，也稱為波陣面再現(xiàn)術(shù)，這是 全息術(shù)原理中的重要一步。1.2研究的內(nèi)容與目的通過衍射現(xiàn)象進一步了解夫瑯禾費衍射，首先從原理出發(fā)，掌握夫瑯禾費單 縫衍射的原理，利用三角公式和積分處理，通過對光強的計算和對其分布特點的理 論研究，從中找出光強

14、分布規(guī)律，再利用 matlab軟件描繪出其光強分布，最后通 過實驗采集的圖樣進行驗證，對比研究分析衍射條紋的特點。第2章夫瑯禾費衍射原理2.1惠更斯一菲涅耳原理最早成功地用波動理論解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅耳，他將惠更斯原理用光的干 涉理論加以補充，并予以發(fā)展圖2-1惠更斯原理惠更斯原理是描述波動傳播過程的一個重要原理，其主要內(nèi)容是：如圖2-1所示的波源S,在某一時刻所產(chǎn)生波的波陣面為 刀，則刀面上的每一點都可以看作 是一個次波源，它們發(fā)出球面次波，其后某一時刻的波陣面L即是該時刻這些球面次波的包跡面，波陣面的法線面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖?能夠很好地解釋光的直線傳播，光的反射和折射

15、方向，但不能說明衍射過程及其畢業(yè)設(shè)計（論文） 畢業(yè)設(shè)計(論文) 強度分布菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后，考慮到次波來自于同一光源，應(yīng)該相干， 因而波陣面匕上每一點的光振動應(yīng)該是在光源和該點之間任一波面上的各點發(fā)出 的次波場疊加的結(jié)果。這就是惠更斯一菲涅耳原理。利用惠更斯一菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻，任一波面 上的點都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點上的 光強分布，即是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結(jié)果。根據(jù)惠更斯一菲涅耳原理，圖 2-2所示的一個單色光源S對于空間任意點P 的作用，可以看作是S和P之間任一波面各點發(fā)出的次波在P點相干疊

16、加的結(jié) 果。假設(shè)波面二上任意點Q的光場復(fù)振幅為EQ，在Q點取一個面元，則d;. 面元上的次波源對P點光場的貢獻為dE P=CK 二 E Qikrer式中，C是比例系數(shù)r二QP, K二稱為傾斜因子，它是與元波面法線和 QP的夾角v (稱為衍射角)有關(guān)的量，按照菲涅耳的假設(shè)：當(dāng)v - 0時，K有最大值；(2-1)隨著二的增大，K迅速減??；當(dāng)二一二/2時K = 0。因此，途中波面“只有ZZ 范 圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻。所以P點的光場復(fù)振幅為EP=C E這就是惠更斯-菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表達式，稱為惠更斯-菲涅耳公式 當(dāng)S是點光源時，Q點的光場復(fù)振幅為A ikRE Q eR式中，R是光源到Q點的距離

17、。在這種情況下，(Q)可以從積分號中提出來，但 是由于K二的具體形式未知，不可能由(2-1)式確切地確定E P值。因此，從理 論上來講，這個原理是不夠完善的。2.2夫瑯禾費衍射在無成像的衍射系統(tǒng)中，通常按光源、衍射屏、接收屏幕三者之間距離的遠 近而將衍射分為兩類，一類是菲涅耳衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離 均為有限遠，或其中之一是有限遠的情形；另一類是夫瑯禾費衍射，指的是光源 和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠的情形。粗略地說，菲涅耳衍射是近場衍射， 光源0 ,觀察屏E （或二者之一）到衍射屏S的距離為有限的衍射，如圖2-3所示 夫瑯禾費衍射是遠場衍射，光源 0，觀察屏E到衍射屏S的距離

18、均為無窮遠的衍 射，如圖2-4所示。不過應(yīng)當(dāng)注意，在成像衍射系統(tǒng)中，像面的衍射場在一定條件 下也是夫瑯禾費衍射場，此時無論像面（接收屏位置）或光源位置，它們與衍射 屏的距離都可以是很近的。當(dāng)然，夫瑯禾費衍射是菲涅耳衍射的一個特例，其衍 射積分計算較為簡單，實驗上也不難實現(xiàn)，應(yīng)用價值又很大，故它一直是衍射問 題的研究重點。尤其是現(xiàn)代光學(xué)中傅里葉光學(xué)的興起，賦予夫瑯禾費衍射以新的 重要意義。圖2-3菲涅耳衍射2.3實現(xiàn)夫瑯禾費衍射的幾種方法無論是在實驗室中或者別的什么地方，都不可能將光源和衍射場放在無限遠， 實際接收夫瑯禾費衍射的裝置有以下四種：1、焦面接收裝置（以單縫衍射為例，下同）把點光源S放

19、在凸透鏡L,的前焦平面上，在凸透鏡L2的后焦平面上接收衍射 場，見圖2-52、遠場接收裝置當(dāng)滿足遠場條件時，狹縫前后也可以不用透鏡，而直接獲得夫瑯禾費衍射圖P2樣。遠場條件是： 光源離狹縫很遠，即R ,其中，R是光源到狹縫的距&P2離，T為狹縫寬度的一半； 接收場距狹縫足夠遠，即z 一，其中，z為衍扎P2射場距狹縫的距離。觀察點 P在z的條件下，只要求其滿足傍軸條件即可，A而這一般都是滿足的。圖2-6為遠場接收光路，假設(shè)一束平行光垂直入射到狹縫 上。3、象面接收裝置（一）衍射屏處于透鏡的后方，如圖2-7所示。S在光軸上，匕代表點光源的象面， s為S的象點。理論上已經(jīng)證明了三面上呈現(xiàn)的圖樣為夫瑯

20、禾費衍射圖樣，即屏 上任一點P的復(fù)振幅與角度的函數(shù)關(guān)系符合夫瑯禾費衍射的積分形式。PS圖2-8象面接收裝置（二）4、象面接收裝置（二）衍射屏處于透鏡的前方，如圖2-8所示。P,點是場點P的共軛點，S也在光 軸上。如果光路逆轉(zhuǎn)自右向左，S變?yōu)辄c光源，衍射屏便處于透鏡的后方了，匚面 上的衍射圖樣就同象面接收裝置（一） 匕面上的情況，z相應(yīng)地取代z,所以實際 呈現(xiàn)在圖2-8的匕面上的衍射圖樣可由物面上設(shè)想的共軛衍射圖樣導(dǎo)出， 二者為物 象關(guān)系。2.4菲涅耳半波帶分析法2.4.1夫瑯禾費單縫衍射的零級大點SQo圖2-9單縫衍射的零級極大如圖2-9,點光源S經(jīng)透鏡L1形成一束單色平行光垂直入射于單狹縫。

21、此狹縫的寬度為a,也就是說狹縫的兩側(cè)邊 A與B的距離AB二a。狹縫的長度垂直于圖 面。把此狹縫的寬度a分割成許多個（設(shè)為N個）窄條，每個窄條的寬度都等于 S二a / N 0當(dāng)單色平行光的波陣面到達此狹縫中時， 每個窄條可看成一個子波源， 它向各個方向發(fā)出子波。上述單縫后面放一個凸透鏡，此透鏡 L2的主軸垂直于單縫和屏，屏放在透鏡 的焦平面位置。從單縫發(fā)出的所有子波中、傳播方向與主軸平行的光線，被透鏡聚焦于主焦 點F （即主軸與屏的交點）。從單縫中任一點發(fā)出的上述光線、經(jīng)透鏡到 F點的光 程都相等，因此F點成為這些子波干涉加強的最強點，稱為零級極大點，如果S是一條與狹縫平行的直線光源，則在 Qo

22、處顯出一條與狹縫平行的零級亮紋。242 用菲涅耳半波帶法說明單縫衍射如圖2-10所示，在零級極大點Qo的旁邊有一個干涉相消的第一級極小點 Qi 現(xiàn)在要分析此極小點Qi應(yīng)滿足的條件。圖2-10單縫衍射的一級極小設(shè)上述Q點與透鏡的光心C的連線CQ與主軸成角。此角就是單縫發(fā)出 無數(shù)子波中、被透鏡會聚于 Qi點的那一組平行光線與主軸所成角度。此 S角稱為 此組平行光線的衍射角。此組平行光線的垂直平面 AD1與單縫AB的夾角也等于此 衍射角，即.BAD齢。上述衍射角為：i的平行光線，從ADi垂直面中任一點經(jīng)透鏡到屏上 Qi點的光 程都相等。因此，上述任何兩條平行光線的光程差 L，就等于它們從單縫AB到

23、垂直面ADi的光程差。這一組光程差 L中的最大光程差mi應(yīng)是單縫兩端B與A的光程差BDi按照干涉原理，兩個相干光疊加時，它們的光程差若為半波長，可得到干涉 相消的結(jié)果。已知上述一組平行光線在屏上 Qi點形成第一級極小，也就是說，這 一組平行光線整體在Qi點形成干涉相消。如果將這組平行光線平分成上下兩個半 組，當(dāng)這兩組的平均光程差為半波長時，可達到整組干涉相消的結(jié)果。具體說來， 可在單縫AB的中點作一垂直于圖面的直線，將單縫平分成A與門B上下兩部 分，同時也將上述平行光線分成上下兩組，這兩組平行光線到達Q1點的平均光程差、應(yīng)等于半波長，即.丄二？，于是這兩組平行光線一對一對地在 Q1形成干涉相

24、消。根據(jù)上述分析，可將屏上 Q點應(yīng)滿足的條件總結(jié)如下：BDi =.丄 mi = 2-L =22(2-2)BD asi n,=(2-3)QoQi = Xi = f t gi(2-4)QoQj = -Xi(2-5)此式的f是透鏡的焦距，Xi是以q0為原點的Qi位置坐標(biāo)。一 xi是負一級極Q-i 的坐標(biāo)。Qi與Q i對稱地分布在Q0的兩側(cè)。Q2 Qi QoQiQ圖2-ii表示在一級極小Q旁邊有二級極小Q2。此Q2點所對應(yīng)的平行光線的 衍射角i =2，所對應(yīng)的最大光程差為BD2 =爐丄m2 BDi o按照Q2點的特點，應(yīng)將單縫平分成四個部分，即 AA二Bi二BiB，并要求其中相鄰兩部分上述平行光線的平

25、均光程差都等于半波長，即厶L o因此,2從單縫中的AA與兩部分發(fā)出的上述平行光線在 Q2形成干涉相消；從叮JBi與 BB兩部分發(fā)出的平行光線也在 Q2形成干涉相消。因此，參照（2-2）至（2-5） 式, 可將此Q2成為二級極小的條件總結(jié)如下：$九BD2 =：L m2 = 4：丄丨=42 12BD? = a sin 2 2$、QoQ?二 x?二 ftg ：2QoQ_2 二-X2按上述例子可把夫瑯禾費單縫衍射屏上各級極小 Q 1、Q2、Q3的條件都寫下來：BD = （AL 人=2ki （AL ）= 扎BD = asin 0 = k/ QoQk, = x = ftg PQoQ 占k, =1,2如上所

26、述菲涅耳提出的簡單方法稱為半波帶法，具有如下特點：（1）將到達單縫的波陣面分割成面積相等的矩形窄條（窄條長度平行于狹縫），每個窄條稱為一個波帶，各個波帶含有相同數(shù)目的子波源。（2）要求相鄰波帶發(fā)出的子波會聚 到達屏上Q點的平均光程差都等于半波長。（3）如果分割成的波帶數(shù)恰為偶數(shù)2ki, 則此Q點便是此單縫衍射的第ki級極小位置。2.5夫瑯禾費衍射光強圖樣特點2.5.1圖樣特點觀察點和光源與障礙物的距離有限，在計算光程和疊加后的光強等問題時， 都難免遇到繁瑣的數(shù)學(xué)運算。夫瑯禾費在1821-1822年間研究了觀察點和光源距障 礙物都是無限遠（平行光束）時的衍射現(xiàn)象。在這種情況下，計算衍射圖樣中光

27、強的分布時，數(shù)學(xué)運算就比較簡單。所謂光源在無限遠，實際上就是把光源置于 第一個透鏡的焦平面上，得到平行光束；所謂觀察點在無限遠，實際上是在第二 個透鏡的焦平面上觀察衍射圖樣，在使用光學(xué)儀器的多數(shù)情況中，光束總是要透 過透鏡的。因而經(jīng)常會遇到這種衍射現(xiàn)象，而且由于透鏡的會聚，衍射圖樣的光 強將比菲涅耳衍射圖樣的光強大大增加。圖2-12為紅光單狹縫衍射圖樣，其特點是在中央有一條特別明亮的亮條紋， 兩側(cè)排列著一些強度較小的亮條紋，相鄰亮條紋之間有一條暗條紋，如以相鄰暗 條紋之間的間隔作為亮條紋的寬度，則兩側(cè)的亮條紋是等寬的，而中央亮條紋的 寬度為其他亮條紋的兩倍。圖2-12紅光單縫衍射圖樣FBB圖2

28、-13單縫衍射光路M.1x ： N2.5.2強度的計算現(xiàn)在我們用惠更新-菲涅耳原理來解釋上述現(xiàn)象。如圖2-13所示。為了清楚起 見，圖中狹縫的寬度BB已經(jīng)放大。平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平 面重合（垂直于圖面）。將縫的面積分為一組平行于縫長的窄帶，從每一條這樣的 窄帶發(fā)出次波。其振幅正比于窄帶的寬度 dx，設(shè)光波的初位相為零，b為縫BB的 寬度，A.b，而寬度dx的窄條上次波的振幅為A0dx b，則狹縫處各窄帶所發(fā)次波 的振動可用下式表示：dE0- cos tb這些次波都可認為是球面波，各自向前傳播?，F(xiàn)在，首先對其中沿圖面與原 入射方向成9角（稱為衍射角）的方向傳播的所有各次波進行

29、研究。在入射光束 的平面波面BB 上各次波的位相都相等，通過透鏡 L2后在焦平面FF上的同一點P 處疊加。要計算P點的合振幅，必須考慮到各次波的位相關(guān)系，這取決于由各窄 帶到P點的光程如何?，F(xiàn)在作平面BD垂直于衍射方向BD，根據(jù)BD面上各點的 位相分布情況即可決定在 P點相遇的各次波的位相關(guān)系。我們知道，從平面 BD 上各點沿衍射方向通過透鏡而達到 P點的光程都相等。這就只要算出從平面BB到 平面BD的各平行直線段之間的光程差就可以了。 MN為沿著衍射角9進行的任一 條路程，令BM =x，則MN =xsin二，這就是從M和從B兩點所發(fā)次波沿平行于 MN方向到達平面BD時的光程差。得BD面上N點

30、的光振動的表達式為dE 0 cos(xs in v -，t)b丸A d xi( xs i t) d E 0 eb其復(fù)振幅為:dE為簡化計算起見，上式中假設(shè)各次波到達 P點時有相同的振幅（不考慮振幅 與光程與反比的關(guān)系以及華僑因數(shù)）。根據(jù)惠更斯一菲涅耳原理，將上式對整個縫 寬（從x=0到x=b）積分。最后可得沿著衍射角9方向傳播的所有次波在觀察點 P疊加起來的合振幅：兀b sin( si n)A =代-：bsin.令u =（二bsi nr）/ ，通常稱（si nu ）/u為口的sine函數(shù)，并寫成si n cu，故P點的光強為Ip = 10 s in c2u(2_6)2.5.3衍射花樣的光強分布

31、當(dāng)光屏放置在透鏡 L2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強的分布可由（2-6）式?jīng)Q定。不同的衍射角9對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。首先來決定衍射花樣中光強最大值和最小值的位置。即求出滿足光強的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點：2d sin u、 2sin u（ucosusinu） 小（2）30du uu由此得si u二0j尸tg u分別解以上兩式，可得出所有的極值點。1、單縫衍射中央最大值的位置：由sinu =0，解得滿足u0二二bsin補 = 0的一些衍射方向，即sinv0 =0 （中間最大值的位置），也就是在焦點P0處，lp二A，光強為最大。這里，疊加的各 個次波位相差為零，所以振幅疊加互相加強。2、單縫

32、衍射最小值的位置：由sin u = 0，解得滿足uk = 2二bsinrk ，= 2k二的一些衍射方向，即sin耳=k k =1, 一2, _3（最小值位置）b時，Ap為零，屏上這些點是暗的。2.6 本章小結(jié)本章從惠更斯一菲涅耳原理出發(fā)解釋了夫瑯禾費衍射原理，介紹了4種可以在實驗室中實現(xiàn)的夫瑯禾費衍射的接收裝置，通過菲涅耳半波帶法說明了單縫衍射，并針對衍射圖樣的特點分析了夫瑯禾費單縫衍射的光強分布特點。第3章光強分布的推導(dǎo)3.1基爾霍夫積分定理假設(shè)有一個單色光波通過閉合曲線面工傳播，如圖3.1所示圖3-1積分曲面t時刻、空間P點處的光電場為E(p,t)= E(pejwt若P是無源點，該光場應(yīng)滿

33、足標(biāo)量波動方程:2一E-丄壬02-丄2c : t(3-1)(3-2)將（3-1）式代入，可得到2E k2 P = 0(3-3)式中，k二w.c，該式即為亥姆霍茲方程。假設(shè)另一個任意復(fù)函數(shù)G也滿足亥姆霍茲方程、2G k2G =0且在工面內(nèi)和工面上有連續(xù)的一、二階偏微商，作積分汨 -GE -L、L、- n: n(3-4)其中二表示在工面上每一點沿向外法線方向的偏微商，則由格林定理，有cn 2E E 2G dVV式中，V是工面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關(guān)系，得jjj（G2E E可 2Gdv =oV根據(jù)G所滿足的條件，可選取 G為球面波的波函數(shù)ikre(3-5)這個函數(shù)除了在r=0點外，處處解析（3

34、-4）式中的工應(yīng)選取圖3-1所示的復(fù)合曲面7 7 .，其中匕；是包圍P點半徑為小量的球面，該積分為(3-6)由（3-5）式，有 .(3-7)於 s -1 gGs -1J1 -k ;e rcosn,r - cosn,r ik -fn:rr r對于3 .面上的點cos n,r = -1，r - :，所以因此當(dāng)一0時，走砧二2：eIkE（1 7叩 、G -E d 3 = 4 n E . 一 一ik |i= -4 t（P材、en 衍丿& cn u ） 故有e(p)=14 二(3-8)這就是亥姆霍茲一基爾霍夫積分定理。它將 P點的光場與周圍任一閉合曲線 工上的光場聯(lián)系起來。3.2基爾霍夫衍射公式如圖3-

35、2所示，一個無限大的不透明平面屏，其有一開孔匕,用點光源S照明, 設(shè)匕的線度滿足 ： ： Min r,l ,其中Min r,l表示r、丨中較小的一個。圍繞P點做一個閉合曲面。該閉合曲面由三部分組成：開孔匕，不透明屏的部分背照面Zi，以P點為中心、R為半徑的大球的部分球面12 oP點的光場復(fù)振幅為廠 ikr 、 ed -E廣 ikr丫_cn rcn -時為零。通過上述討論可知，只需考慮對孔徑面的積分，即f ikr 、 e-E1 -|cos(n,lik -J(E(n/ ikr 、 e41 aIl丿 r丿4 ：r-f 1+ E(I )cos(n,r- ik ! irikrA rh川cos(n, I

36、)ik E(l )f ikr 、 ea*亠一 E(l ) cos(n, r ) ik 廣 ekr Y|471式l r丿 r力d6= -ikI - Cosn,l ；-cos n,r d、4 二二r=丄E(lQjCo也旦込(3-11)讓 I r靈 2其中略去法線微商中的1和1的項，因為它們比k要小得多。此式稱為菲涅耳r I基爾霍夫衍射公式。與惠更斯-菲涅耳公式(2-1)進行比較，可得E(Q)=E(I)=con,r)-cosn,1),c 一丄I2九將積分面元視為次波源的話，(3-11)式可解釋為：1、P點的光場是工上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波源的復(fù)振幅與入射波在該點的復(fù)振幅E（q成正比，與波長成反比;

37、2、因子-i表明次波源的振動相位超前于入射波 2 ；3、傾斜因子K 表示次波的振幅在各個方向上是不同的，其值在0與1之間3.3 基爾霍夫衍射公式的近似對于一些極簡單的衍射問題，也因為被積函數(shù)形式復(fù)雜而得不到解析形式的 積分結(jié)果。為此，必須根據(jù)實際條件進一步做近似處理。3.3.1傍軸近似在一般的光學(xué)系統(tǒng)中，對成像起主要作用的是那些與光學(xué)系統(tǒng)光軸夾角極小 的傍軸光線。對于傍軸光線，如圖3-3開孔的線度和觀察屏上的考察范圍都遠小于 開孔到觀察屏的距離。因此，下面的兩個近似條件都成立：1、cosn,r 1，于是 ； 1 ；2、r z1。于是，（3-11）可以化簡為E（p）=丄 uEgeikrd6（ 3

38、-12）上z1工指數(shù)中的r未用乙代替，這是因為指數(shù)中r所影響的是次波場的相位，r的微 小變化都會引起相位的很大變化。332距離近似1、根據(jù)衍射現(xiàn)象，離衍射孔不同距離處，衍射圖樣是不同的。一種是菲涅耳衍 射或近場衍射，指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠，或其中之一是 有限遠的情形；另一種是夫瑯禾費衍射或遠場衍射，指的是光源和接收屏與衍射 屏的距離均為無限遠的情形。菲涅耳近似 如圖3-3所示，設(shè)QP = r，則由幾何關(guān)系有r =斗么2 +(x X1 f +(y y1=乙+、2- X1 1 -Z1y -力彳Z1山2+4丿因為在指數(shù)上的相位因子決定了函數(shù)的周期性，每當(dāng)相位因子改變的項才可忽略。

39、=乙卄1(x-X1)2 +(y-y1)2】22Z11 X - X1 亠y 8Zi數(shù)函數(shù)反號，這種變化是不可忽略的，相位因子中只有遠小于 于是，當(dāng)Z1大到滿足(3-13)二時，指k 収一X1 y +(y-y1 Y Lax(3-14)8z3時，上式第三項及以后的各項都可略去，即為(3-15)2 2x y2Z1XX1yy1Z12 2X1 力這一近似稱為菲涅耳近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。在菲涅耳近似下，P點的光場復(fù)振幅為iikZ11=42Z1Ex,y Ex1,%e -1 d/%（ 3-16）1 二2、夫瑯禾費近似當(dāng)觀察屏離孔的距離很大，滿足(3-17)(3-18)X； * y； m

40、ax2乙2 2x y _ XX1 yy12z1Z1這一近似稱為夫瑯禾費近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫夫瑯禾費衍射。在夫瑯禾費近似下，P點的光場復(fù)振幅為2 2 ikzi ikULi-嚴(yán)枷1ie2 z-E x, ye 1 iiE(xi,yi)e 1 dxidyi(3-19)3.4夫瑯禾費單縫衍射光強分布如果只考慮單色平行光垂直入射到開孔平面上的的夫瑯禾費衍射，則通常采 用圖3-4所示的夫瑯禾費衍射裝置。單色點光源放置在透鏡的前焦平面上，所產(chǎn)生的平行光垂直入射開孔工，由開孔的衍射，在透鏡L2的后焦平面上可以觀察到開孔 工的夫瑯禾費衍射圖樣，后PPo若開孔面上有均勻的光場分布，令（為，力）=A二

41、常數(shù)。又因為透鏡貼近孔徑,f。所以后焦平面上的光場復(fù)振幅可為2 f (3-20)Z ik! f E（x, y ）=C JJe叫旳1, C-Le，f方向有亮暗變化的衍射圖樣。由（3-20）式，衍射屏上P對于夫瑯禾費單縫衍射，水平縫寬為a,垂直縫寬為b,則b 2 a，沿y方向的衍 射效應(yīng)不明顯，只在 點的光場復(fù)振幅為E(=C22ekxxfdxikxxiCf -f e ikx.a2 2Cf .S=ikrsinkxa ! sin i 0丿CaE2fkxasinkxa2fsin 二(3-21)0Ct式中 E0 = Ca是觀察屏中心點相應(yīng)P點的光強度為P）處光場復(fù)振幅。sin 工 2 a J(3-22)式

42、中，IE。_ kxa2f二a sin二門為衍射角在衍射理論中，通常稱si nJ.：2為單縫衍射因子，I。為中央明紋中心處光強度，:為單縫邊緣光線 與中心光線的相位差。根據(jù)（3-22）式可的單縫衍射的光強分布特征：1、在中央P點- o ,我們使為一很小的趨于零的角,對求極限,則 =1，I = Io，為中央主極大光強。a2、3、在- k二時k = 1、2I,振幅A = Ao = 0，光強I二0為暗紋的光強。ot_ -2= O.O47Io為一級次極大光強。4、當(dāng):2時，同理有 I Ao2 Sin 323兀/2 一o Sin 52=O.O16Io為二級次極大光強。_5 二 2當(dāng)： =5二2時，同理有1

43、2二A05、當(dāng)=7叮2時,同理有IAoSin 7： 22篤722 2 oo8Io為三級次極大光強。3.5本章小結(jié)本章主要利用三角公式和積分處理進行夫瑯禾費單縫衍射光強分布的推 導(dǎo)。從基爾霍夫積分定理出發(fā)，進行了基爾霍夫衍射公式的推導(dǎo)，其中主要利 用衍射公式的近似，最終推導(dǎo)出夫瑯禾費的單縫衍射的光強公式。畢業(yè)設(shè)計（論文） 畢業(yè)設(shè)計(論文) 第4章條紋分析4.1理論分析4.1.1光強分布的極值點當(dāng)光屏放置在透鏡 L2的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射花樣，光強的分布可由(3-22)式?jīng)Q定，也就是說，衍射光場在P點的強度大小主要由因子:或sin 2-廠 決定。不同的衍射角B對應(yīng)于光屏上不同的觀察點。1、當(dāng):

44、=0或v - 0時，該點光強度取最大值：l(P) = l(F0) max稱為主極大值；2、 當(dāng)：一 k二或asinv - k ,(k =1,2,3 )時，該點強度取極小值：I(P)3、相鄰兩個極小值之間存在一個極大值，由于因子sin 22：1，該極大值的強度總是小于主極大值，故稱之為次極大值。 求出滿足光強的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點：dsin2。2sin：卅 cos： -sin :da I a-0解得:-=tan：。對于這于是得到夫瑯禾費單縫衍射的次極大值位置滿足關(guān)系為： 超越方程其根為 =：1.43二，_2.46二，_3.47二對應(yīng)的si值為sin - -1.43 ,-2.46,_3.47aaa

45、4.1.2條紋的角寬度和線寬度1、暗紋的角寬度暗紋出現(xiàn)的位置在 以=血_2二,_3二，的地方，對應(yīng)的sin值為.、 九 2九 3禮sin 二=,a a a任何兩相鄰暗紋間的衍射角的差值為 .心二-，即暗紋是以P0點為中心等間隔左a右對稱分布的。2、亮紋的角寬度和線寬度以相鄰暗紋的焦距離作為亮紋的角寬度。在傍軸條件下，即很小時，暗紋的k7衍射角位置簡化為二：、sinv -，k =1,2,3。中央主極大明紋寬度由k=1的a暗紋的衍射角所確定，則主極大亮紋角寬度和線寬度分別為. ： - - ， w f 宀-（ 4-1）aa在兩相鄰暗紋間存在的次極明紋，其角寬度和線寬度分別為. f LX于，x = f

46、 : v（ 4-2）a 2a 24.1.3 條紋分布的影響因素從以上結(jié)論可以看出，夫瑯禾費單縫衍射圖樣的強度隨衍射角度按著函數(shù)關(guān) 系sin 2=2變化；相鄰暗條紋中心的角間距相等，因而所有次極大值亮紋的角寬 度相等，但主極大值亮紋的角寬度為次極大值的兩倍；相鄰次極大值亮紋中心不 等間距，隨著衍射級次的增大，相鄰次極大值亮紋中心的間距趨于恒定。由（4-1 ）和（4-2）式可以看出，條紋分布的影響因素有：1、狹縫的寬度對條紋分布的影響對于給定的波長，亮紋的寬度是與狹縫的寬度成反比的，在波前上對光束限 制越大，也就是縫寬越小的時候，衍射場越彌散，衍射圖樣鋪開的越寬；反之， 當(dāng)縫寬很大，光束幾乎自由傳

47、播時， 0 ,這表明衍射場基本上集中在沿直線 傳播的原方向上，在透鏡焦面上衍射圖樣收縮為幾何光學(xué)像點。2、入射光的波長對條紋分布的影響在保持縫寬不變的條件下，波長越長，衍射效應(yīng)越明顯；波長越短，衍射效 應(yīng)越可忽略；但是，實際中，由于波長的數(shù)量級比較小，所以對衍射條紋的影響 不是非常明顯。3、接收屏的距離對條紋分布的影響當(dāng)其他條件不變的情況下，若接收屏沿軸向向前移動時，接收屏上的條紋間 距變小，衍射圖樣展開范圍減?。蝗粞剌S向向后移動，接收屏上的條紋間距變大， 衍射圖樣展開范圍也增大。4.2仿真分析421 Matlab 仿真根據(jù)理論的推導(dǎo)，利用衍射積分法對單縫夫瑯禾費衍射進行Matlab仿真。衍射

48、積分法是由衍射積分算出接收屏上的光強分布，然后根據(jù)該分布調(diào)制色彩作圖，從而得到衍射圖案，如圖4-1所示:X 10 3-0.4-0.20.20.4圖4-1夫瑯禾費單縫衍射Matlab仿真圖夫瑯禾費單縫衍射的仿真程序 ：波長632.8nm,縫寬1mm，屏距1mlam=6328e-10;a=1e-3;D=1;ym=3*lam*D/a;ny=51;ys=li nspace(-ym ,ym,ny);n p=51;yp=li nspace(0,a ,n p);for i=1: nysin phi=ys(i)/D; alpha=2*pi*yp*s in phi/lam; sumcos=sum(cos(alp

49、ha);sums in=sum(s in( alpha);B(i,:)=(sumcosA2+sums in A2)/npA2;endN=255;Br=(B/max(B)*N; subplot(1,2,1) image(ym,ys,Br); colormap(gray(N); subplot(1,2,2) plot(B,ys);4.2.2 仿真分析1、狹縫的寬度對條紋分布的影響當(dāng)入射光波長為632.8nm,狹縫到接收屏的距離為 1m，狹縫的縫寬分別為0.5mm （外）,1mm （中），1.5mm （內(nèi)），進行仿真得到的仿真圖如圖4-2所示X-0.4-0200204圖4-2仿真不同縫寬條紋的對比圖

50、從圖中可以看出，當(dāng)縫寬改變時，條紋寬度隨著縫寬的增大而減小，反之亦 然?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬也與條紋 寬度成反比。2、接收屏的距離對條紋分布的影響圖4-3仿真不同屏距條紋的對比圖當(dāng)入射光波長為632.8nm,狹縫的縫寬為1mm，狹縫到接收屏的距離為分別 為0.5m （內(nèi)），1m （中），1.5m （外），仿真到的條紋對比圖如圖4-3所示。從圖中可以看出，當(dāng)屏距變大時，明顯觀察到的條紋的間距變大，圖案的展 開范圍也增大?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距與 條紋的間距成正比。3、入射光的波長對條紋分布的影響-1.5-10.500511.5

51、x 1D-0 4-0 20 20.42 5 50-0 5-1-1.5-2 5圖4-4仿真不同波長條紋的對比圖利用Matlab對狹縫寬度為1mm,屏距為1m，入射光波長分別為 500nm （內(nèi)），632.8nm （中），700nm （外）的夫瑯禾費單縫衍射進行衍射條紋仿真。仿 真結(jié)果如圖4-4所示。從圖中可以看到，波長越長，衍射效應(yīng)越明顯；波長越短，衍射效應(yīng)越可忽 略。而且波長的變化對衍射條紋的影響并不是很明顯。4.3實驗分析4.3.1實驗數(shù)據(jù)采集選取縫寬a二0.07mm的衍射采集曲線進行實驗分析，如圖4-5所示。這里不采 用分段測量法，而是在同一光強下讀取實驗數(shù)據(jù)。慢慢移動鼠標(biāo)，讀取衍射曲線

52、上幾個特殊點的X（ch）值、丫（A/D ）值、電壓值（局部視窗里），測得數(shù)據(jù)見表 4-1 :縫到CCD光敏面的垂直距離L: 264.5mm表4-1特殊點的數(shù)據(jù)采集情況表空間位置光強X（ ch）Y(A/D)電壓中央明紋133332107.83一級暗紋15671060.25一級明紋16271370.33二級暗紋1770310.07二級明紋1843440.10三級暗紋1915270.05三級明紋1995290.06圖4-5單縫衍射圖樣432 實驗分析上一節(jié)從理論上分析了夫瑯禾費單縫衍射條紋的一些影響因素，現(xiàn)在利用以上實驗采集和條紋仿真，與條紋理論分析的結(jié)論進行對比分析研究。1、狹縫的寬度對條紋分布的

53、影響當(dāng)入射光的波長為650nm,狹縫到接收屏的距離為50cm,狹縫的縫寬分別為0.0068mm （綠1），0.0118mm （紅2），0.0143mm （藍3），實驗采集到的條紋對比 圖如圖4-6所示圖4-6采集不同縫寬條紋的對比圖從圖中可以看到，曲線1的高度最高，曲線3的高度最低，而曲線的高度表 示為條紋的光強度，也就是說，光強的由強到弱順序為曲線1、曲線2、曲線3,這個順序恰為縫寬由小到大的順序；當(dāng)縫寬增大時，條紋的寬度卻減小?？梢缘?出結(jié)論：當(dāng)只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬與衍射光強成反比， 縫寬也與條紋寬度成反比。2、接收屏的距離對條紋分布的影響iMMMMSta| II11

54、 II 1ZI圖4-7采集不同屏距條紋的對比圖當(dāng)入射光的波長為650nm,狹縫的寬度為0.0143mm,狹縫到接收屏的距離分 別為50cm （綠1）, 70cm （藍2）, 90cm （紅3）,實驗采集到的條紋對比圖如圖 4-7 所示。從圖像中可以看到，曲線1所表示的條紋寬度在三條曲線里是最窄的，曲線3是三條曲線里最寬的，而且這三條曲線的展開范圍是按著屏距的增大而變大的?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng)只有屏距改變，其他條件不改變的情況下，屏距是與條紋寬度 成正比，條紋分布的圖樣也隨屏距的增大而變得稀疏，反之亦然。4.4對比分析4.4.1 數(shù)值對比分析根據(jù)采集完畢的數(shù)據(jù)計算出實驗值，并和理論值相比較。相對光強1/1?？梢杂肶 （A/D ）值相比得到，也可用電壓值相比得到。當(dāng)然誤差是會有的，但誤差很小，基本可以忽略。例如一級明紋的相對光強為：1370 33（丫值相比）: 0.04272 或 （電壓值相比）033、0.0421532107.83二的理論值計算參照公式-:-sin v - m ，其中m二1 , - 2，即可求得。a實驗值衍射角二的計算：從采集到的曲線數(shù)據(jù)中可計算出一級暗紋離中央主極 大中心的距離，這是原始數(shù)據(jù)，然后乘以CCD光敏元件的