高中數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)典型解答題 （教師版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁一輪難題復(fù)習(xí) 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)典型解答題1函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；若已知f(x)的定義域為a，b，則f(g(x)的定義域為不等式ag(x)b的解集；反之，已知f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為函數(shù)yg(x)(xa，b)的值域(2)常見函數(shù)的值域一次函數(shù)ykxb(k0)的值域為R；二次函數(shù)yax2bxc(a0)：當(dāng)a0時，值域為eq blcrc)(avs4alco1(f(4acb2,4a)，)，當(dāng)a0eq f(fx1fx

2、2,x1x2)0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0eq f(fx1fx2,x1x2)0，左移),sdo5(h0，上移),sdo5(k0，下移)yf(x)k，簡記為“上加下減”(2)伸縮變換yf(x)eq o(,sup7(01，縮)yf(x)，yf(x)eq o(,sup7(0A1，伸)yAf(x)(3)對稱變換yf(x)eq o(,sup7(x軸)yf(x)，yf(x)eq o(,sup7(y軸)yf(x)，yf(x)eq o(,sup7(原點(diǎn))yf(x)6準(zhǔn)確記憶指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：yax(a0，且a1)恒過(0,1)點(diǎn)；ylogax(a0，且

3、a1)恒過(1,0)點(diǎn)(2)單調(diào)性：當(dāng)a1時，yax在R上單調(diào)遞增；ylogax在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0a1時，yax在R上單調(diào)遞減；ylogax在(0，)上單調(diào)遞減7函數(shù)與方程(1)零點(diǎn)定義：x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)f(x0)0(x0,0)為f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)(2)確定函數(shù)零點(diǎn)的三種常用方法解方程判定法：解方程f(x)0；零點(diǎn)存在性定理法：根據(jù)連續(xù)函數(shù)yf(x)滿足f(a)f(b)0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f(x)0(或f(x)0)在該區(qū)間上存在解集；若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集13利用導(dǎo)數(shù)研

4、究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟確定函數(shù)的定義域；解方程f(x)0；判斷f(x)在方程f(x)0的根x0附近兩側(cè)的符號變化：若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)；若不變號，則x0不是極值點(diǎn)(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最值的一般步驟求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；比較函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值14.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法(1)通過最值(極值)判斷零點(diǎn)個數(shù)的方法借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)或者通過

5、零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)根據(jù)條件構(gòu)造某個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法15.與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方

6、法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理：16.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)g(x)的基本方法(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)ming(x)max；(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)0.17.含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為的最值處理；參變分離法，將不等式等價變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.例題1已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸（1）求

7、函數(shù)的解析式；（2）在中，角、所對的邊分別為、，且，若角滿足，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)恰有個零點(diǎn)，求常數(shù)與的值【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，結(jié)合直線為一條對稱軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；（2）由得出，再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出，利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出，由條件得出，于此可計算出的取值范圍；（3）令，得，換元得出，得出方程，設(shè)該方程的兩根為、，由韋達(dá)定理得出，分（ii）、

8、；（ii），；（iii），三種情況討論，計算出關(guān)于的方程在一個周期區(qū)間上的實根個數(shù)，結(jié)合已知條件得出與的值.【詳解】（1）由三角函數(shù)的周期公式可得，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，得，由于，則，因此，；（2），由三角形的內(nèi)角和定理得，.，且，.，由，得，由銳角三角函數(shù)的定義得，由正弦定理得，且，.，因此，的取值范圍是；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，令，可得，令，得，則關(guān)于的二次方程必有兩不等實根、，則，則、異號，（i）當(dāng)且時，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個根，從而方程在也有偶數(shù)個根，不合乎題意

9、；（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有個根，由于方程在區(qū)間上只有一個根，在區(qū)間上無實解，方程在區(qū)間上無實數(shù)解，在區(qū)間上有兩個根，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根，在區(qū)間上有個根，不合乎題意；（iii）當(dāng)時，則，當(dāng)時，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個根，由于，則方程在上有個根，由于方程在區(qū)間上無實數(shù)根，在區(qū)間上只有一個實數(shù)根，方程在區(qū)間上有兩個實數(shù)解，在區(qū)間上無實數(shù)解，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個根，在區(qū)間上有個根，此時，得.綜上所述：，.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的解析式，以及三角形中的取值范圍問題，以及三角函數(shù)零

10、點(diǎn)個數(shù)問題，同時也涉及了復(fù)合函數(shù)方程解的個數(shù)問題，考查分類討論思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.例題2如圖 所示，一條直角走廊寬為，（1）若位于水平地面上的一根鐵棒在此直角走廊內(nèi)，且，試求鐵棒的長；（2）若一根鐵棒能水平地通過此直角走廊，求此鐵棒的最大長度；（3）現(xiàn)有一輛轉(zhuǎn)動靈活的平板車，其平板面是矩形，它的寬為如圖2.平板車若想順利通過直角走廊，其長度不能超過多少米？【答案】（1），.（2）（3）【解析】【分析】（1）在圖1中，過點(diǎn)作，的垂線，垂直分別為，則，在，中，分別求解，再相加，即可.（2）由（1）可知，令，則，判斷單調(diào)性，再求最小值，即可.（3）延長分別交，于，設(shè)，則.由（1）可知，

11、在，中分別計算，則，即，令，則，判斷單調(diào)性，再求最小值，即可【詳解】（1）在圖1中，過點(diǎn)作，的垂線，垂直分別為，則，.在中在中則即，.（2）由（1）可知，.令，則即當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.則即時若一根鐵棒能水平地通過此直角走廊，則需此鐵棒的最大長度為（3）延長分別交，于，設(shè)，則.由（1）可知，在中，在中，則令，則即，.當(dāng)時單調(diào)遞減.則即時.平板車若想順利通過直角走廊，其長度不能超過【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，以及判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值.屬于難題.例題3若定義在上，且不恒為零的函數(shù)滿足：對于任意實數(shù)和，總有恒成立，則稱為“類余弦型”函數(shù).（1）已知為“類余弦型”函數(shù)，且，求和的值；（2

12、）證明：函數(shù)為偶函數(shù)；（3）若為“類余弦型”函數(shù)，且對于任意非零實數(shù)，總有，設(shè)有理數(shù)、滿足，判斷和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3），理由見解析.【解析】【分析】（1）令，可求出的值，令可求出的值；（2）令，代入題中等式得出，可證明出函數(shù)為偶函數(shù)；（3）令，證明出，即可說明對任意、且，有，然后設(shè)，、是非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，利用偶函數(shù)和前面的結(jié)論，即可得出和的大小關(guān)系.【詳解】（1）令，則有，.令，則有，所以，；（2）令，可得，由于函數(shù)的定義域為，因此，函數(shù)為偶函數(shù)；（3）時，所以，令，即對任意的正整數(shù)有，則，所以，對于任意正整數(shù)，成立，對任意的、且，則有成立，、為有理數(shù)，所以可設(shè)，其中、為非負(fù)整數(shù)，、為正整數(shù)，則，令，則、為正整數(shù)，所以，即，函數(shù)為偶函數(shù)，.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查抽象函數(shù)的奇偶性，考查解決抽象函數(shù)的常用方法賦值法，考查不等式的證明方法遞推法，屬于難題.例題4已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，設(shè)，求的解析式及定義域；（2）當(dāng)，時，求的最小值；（3）設(shè)，當(dāng)時，對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），其定義域為；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題意可得，而，于是可得的解析式及定義域；（2）當(dāng)時，利用函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可求得；（3）由題意可求得設(shè)，