7.2利用窗函數(shù)法設計fir濾波器

1、7.2 利用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器吉布斯效應截斷效應矩形窗截斷效應的影響：吉布斯效應 吉布斯效應直接影響濾波器的性能，通帶內(nèi)的波動影響濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波動影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿足技術要求。 如何減少吉布斯效應的影響，設計滿足要求的FIR濾波器？幾種常用的窗函數(shù)：窗函數(shù)1.矩形窗(Rectangle Window)時域波形幅度頻譜矩形(Rectangle)窗2.三角形窗(Bartlett Window)時域波形幅度頻譜三角形(Bartlett)窗3.漢寧(Hanning)窗升余弦窗時域波形幅度頻譜漢寧(Hanning)窗4.哈明(Hamming)窗改進的升余弦窗

2、時域波形幅度頻譜哈明(Hamming)窗5.布萊克曼(Blackman)窗時域波形幅度頻譜布萊克曼(Blackman)窗矩形窗布萊克曼窗漢寧窗三角形窗哈明窗常用窗函數(shù)的幅度特性矩形窗布萊克曼窗漢寧窗三角形窗哈明窗理想低通加窗后的幅度特性6.凱塞貝塞爾窗(KaiserBasel Window)凱塞貝塞爾窗(KaiserBasel Window)時域波形幅度頻譜凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響 六種窗函數(shù)的基本參數(shù) 用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟：例7.2.1解：用理想低通作為逼近濾波器，則用漢寧窗設計：用布萊克曼窗設計：矩形窗布萊克曼窗漢寧窗MATLAB信號處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)，

3、下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式： wn=boxcar(N)列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w(n)wn=bartlett(N) 列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w(n)wn=hanning(N) 列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w(n)wn=hamming(N) 列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w(n)wn=blackman(N) 列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w(n)wn=kaiser(N, beta) 列向量wn中返回長度為N的凱塞貝塞爾窗函數(shù)w(n)用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟如下：(1) 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標要求，選擇窗函數(shù)的類型，并

4、估計窗口長度N。先按照阻帶衰減選擇窗函數(shù)類型。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。然后根據(jù)過渡帶寬度估計窗口長度N。待求濾波器的過渡帶寬度Bt近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，且近似與窗口長度N成反比，NA/Bt，A取決于窗口類型，例如，矩形窗的A=4，哈明窗的A=8等，參數(shù)A的近似和精確取值參考表7.2.2。 7.2.3 用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟(2) 構(gòu)造希望逼近的頻率響應函數(shù)Hd(ej)，即 對所謂的“標準窗函數(shù)法”，就是選擇Hd(ej)為線性相位理想濾波器（理想低通、理想高通、理想帶通、理想帶阻）。以低通濾波器為例，Hdg()應滿足：理想濾波器的截止頻率c近似位

5、于最終設計的FIRDF的過渡帶的中心頻率點，幅度函數(shù)衰減一半（約-6 dB）。所以如果設計指標給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率p和s， 一般取(3) 計算hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd(ej)，那么單位脈沖響應用下式求出：如果Hd(ej)較復雜，或者不能用封閉公式表示，則不能用上式求出hd(n)。我們可以對Hd(ej)從=0到=2采樣M點，采樣值為，k=0 ,1, 2, , M-1，進行M點IDFT(IFFT)，得到： 根據(jù)頻域采樣理論，hdM(n)與hd(n)應滿足如下關系：因此，如果M選得較大，可以保證在窗口內(nèi)hdM(n)有效逼近hd(n)。 線性相位理想低通濾波器作為Hd(

6、ej)，由求出單位脈沖響應hd(n)：為保證線性相位特性， =(N1)/2。(4) 加窗得到設計結(jié)果：h(n)=hd(n)w(n)。【例7.2.1】 用窗函數(shù)法設計線性相位高通FIRDF，要求通帶截止頻率p=/2 rad，阻帶截止頻率s=/4 rad，通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=40 dB。解 (1） 選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度N。已知阻帶最小衰減 s=40 dB，由表（7.2.2）可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求，我們選擇漢寧窗。本例中過渡帶寬度Btps=/4， 漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt=6.2/N，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得N24.8。對高通濾波器N必須取

7、奇數(shù)，取N=25。有（2） 構(gòu)造Hd(ej):式中（3） 求出hd(n):將=12代入得 (n-12)對應全通濾波器，是截止頻率為3/8的理想低通濾波器的單位脈沖響應，二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應。這就是求理想高通濾波器的單位脈沖響應的另一個公式。 （4） 加窗:7.2.4 窗函數(shù)法的MATLAB設計函數(shù)簡介實際設計時一般用MATLAB工具箱函數(shù)?？烧{(diào)用工具箱函數(shù)fir1實現(xiàn)窗函數(shù)法設計步驟（2）（4）的解題過程。(1) fir1是用窗函數(shù)法設計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標準窗函數(shù)法設計。這里的所謂“標準”，是指在設計低通、高通、帶通和帶

8、阻FIR濾波器時，Hd(ej)分別表示相應的線性相位理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻率響應函數(shù)。因而將所設計的濾波器的頻率響應稱為標準頻率響應。Fir1的調(diào)用格式及功能： hn=fir1(M, wc)，返回6 dB截止頻率為wc的M階（單位脈沖響應h(n)長度N=M+1）FIR低通（wc為標量）濾波器系數(shù)向量hn，默認選用哈明窗。濾波器單位脈沖響應h(n)與向量hn的關系為h(n)=hn(n+1) n=0, 1, 2, , 而且滿足線性相位條件: h(n)=h(N1n)。其中wc為對歸一化的數(shù)字頻率，0wc1。當wc=wcl, wcu時，得到的是帶通濾波器，其-6 dB通帶為wclwcu。

9、 hn=fir1(M, wc, ftype)，可設計高通和帶阻FIR濾波器。當ftype=high時，設計高通FIR濾波器；當ftype=stop，且wc=wcl, wcu時，設計帶阻FIR濾波器。 應當注意，在設計高通和帶阻FIR濾波器時，階數(shù)M只能取偶數(shù)（h(n)長度N=M+1為奇數(shù)）。不過，當用戶將M設置為奇數(shù)時，fir1會自動對M加1。 hn=fir1(M, wc, window)，可以指定窗函數(shù)向量window。如果缺省window參數(shù)，則fir1默認為哈明窗。例如:hn=fir1(M, wc, bartlett(M+1)，使用Bartlett窗設計；hn =fir1(M, wc,

10、blackman(M+1)，使用blackman窗設計；hn=fir1(M, wc, ftype, window)，通過選擇wc、ftype和window參數(shù)（含義同上），可以設計各種加窗濾波器。(2) fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設計函數(shù)，用fir2設計時，可以指定任意形狀的Hd(ej)，它實質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設計函數(shù)。主要用于設計幅度特性形狀特殊的濾波器（如數(shù)字微分器和多帶濾波器等）。用help命令查閱其調(diào)用格式及調(diào)用參數(shù)的含義。例7.2.1 的設計程序ep721.m如下: ep721.m: 例7.2.1 用窗函數(shù)法設計線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp=pi/2;

11、ws=pi/4;Bt=wp-ws; 計算過渡帶寬度N0=ceil(6.2*pi/Bt); 根據(jù)表7.2.2漢寧窗計算所需h(n)長度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整數(shù)N=N0+mod(N0+1, 2); 確保h(n)長度N是奇數(shù)wc=(wp+ws)/2/pi; 計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關于歸一化)hn=fir1(N-1, wc, high, hanning(N); 調(diào)用fir1計算高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)略去繪圖部分運行程序得到h(n)的25個值:h(n)= 0.0004 0.0006 0.0028 0.0071 0.0000 0.0185 0.0210 0.0165 0

12、.0624 0.0355 0.10610.2898 0.6249 0.2898 0.1061 0.0355 0.0624 0.0165 0.0210 0.0185 0.0000 0.0071 0.00280.00060.0004高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)及損耗函數(shù)如圖7.2.9所示。高通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線【例7.2.2】 對模擬信號進行低通濾波處理，要求通帶0f 1.5kHz內(nèi)衰減小于1 dB， 阻帶2.5kHzf 上衰減大于40 dB。希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波，采樣頻率Fs=10 kHz。用窗函數(shù)法設計滿足要求的FIR數(shù)字低通濾

13、波器，求出h(n)，并畫出損耗函數(shù)曲線。為了降低運算量，希望濾波器階數(shù)盡量低。解 （1） 確定相應的數(shù)字濾波器指標: 通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為 阻帶最小衰減為 s =40dB（2） 用窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字低通濾波器，為了降低階數(shù)選擇凱塞窗。計算凱塞窗的控制參數(shù)為指標要求過渡帶寬度Bt=s-p=0.2，根據(jù)式（7.2.17）計算濾波器階數(shù)為取滿足要求的最小整數(shù)M=23。所以h(n)長度為N=M+1=24。但是，如果用漢寧窗，h(n)長度為N=40。理想低通濾波器的通帶截止頻率c=(s+p)/2=0.4，得到:式中，w(n)是長度為24（ =3.395）的凱塞窗函數(shù)。實現(xiàn)本例設計的MATL

14、AB程序為ep722.m。ep722.m: 例7.2.2 用凱塞窗函數(shù)設計線性相位低通FIR數(shù)字濾波器 fp=1500;fs=2500;rs=40; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs; Bt=ws-wp; %計算過渡帶寬度 alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21); %根據(jù)(7.2.16)式計算kaiser窗的控制參數(shù) M=ceil(rs-8)/2.285/Bt); %根據(jù)(7.2.17)式計算kaiser窗所需階數(shù)M wc=(wp+ws)/2/pi; %計算理想高通濾波器通帶截止頻率(關于歸一化） hn=fir1(M,wc,kaise

15、r(N+1,alph); %調(diào)用kaiser計算低通FIRDF的h(n) 以下繪圖部分省去運行程序得到h(n)的24個值:h(n)=0.00390.00410.00620.01470.00000.02860.0242 0.03320.07550.00000.1966 0.37240.37240.1966 0.00000.07550.0332 0.0242 0.02860.00000.0147 0.00620.00410.0039低通FIR數(shù)字濾波器的h(n)波形及損耗函數(shù)曲線【例7.2.3】 窗函數(shù)法設計一個線性相位FIR帶阻濾波器。要求通帶下截止頻率lp =0.2，阻帶下截止頻率ls=0.35，阻通帶上截止頻率us=0.65，通帶上截止頻率up=0.8， 通帶最大衰減 p=1 dB，阻帶最小衰減 s=60 dB。解 本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設計。因為阻帶最小衰減 s=60 dB，所以選擇布萊克曼窗，再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度N，布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt=12/N，所以解之得N=80。調(diào)用參數(shù)設計程序為ep723.m，參數(shù)計算也由程序完成。ep723.m: 例7.2.3 用窗函數(shù)法設計線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.