量化專題報告：BL模型的泛化擴(kuò)展熵池模型之理論篇

1、內(nèi)容目錄 HYPERLINK l _TOC_250021 什么是熵池（Entropy Pooling）模型 3 HYPERLINK l _TOC_250020 完全自由觀點(diǎn) 3 HYPERLINK l _TOC_250019 貝葉斯更新的一般化 5 HYPERLINK l _TOC_250018 相對熵最小化的意義 7 HYPERLINK l _TOC_250017 模型解析解與數(shù)值求解 8 HYPERLINK l _TOC_250016 熵池模型 vs BlackLitterman 模型 10 HYPERLINK l _TOC_250015 觀點(diǎn)融合 10 HYPERLINK l _TOC_

2、250014 2.1.1.均值 11中位數(shù)、VaR、分位數(shù) 11 HYPERLINK l _TOC_250013 波動率 11 HYPERLINK l _TOC_250012 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù) 12 HYPERLINK l _TOC_250011 資產(chǎn)排序 12 HYPERLINK l _TOC_250010 邊緣分布 13 HYPERLINK l _TOC_250009 信心水平 13 HYPERLINK l _TOC_250008 解析解對比 15 HYPERLINK l _TOC_250007 熵池模型的應(yīng)用實例 16 HYPERLINK l _TOC_250006 資產(chǎn)配臵場景下的熵池

3、模型優(yōu)點(diǎn) 16 HYPERLINK l _TOC_250005 熵池模型下觀點(diǎn)融合的實際效果 17 HYPERLINK l _TOC_250004 總結(jié)與展望 19 HYPERLINK l _TOC_250003 熵池模型的優(yōu)點(diǎn)總結(jié) 19 HYPERLINK l _TOC_250002 熵池模型拓展與應(yīng)用場景展望 20 HYPERLINK l _TOC_250001 參考文獻(xiàn) 20 HYPERLINK l _TOC_250000 風(fēng)險提示 21圖表目錄圖表 1：BlackLitterman 模型計算過程 3圖表 2：BL 模型觀點(diǎn)表達(dá)系統(tǒng) 4圖表 3：各類模型對比 5圖表 4：熵池模型示意圖

4、6圖表 5：分布所代表熵的上下限 7圖表 6：情景表達(dá)法示意圖 9圖表 7：離散優(yōu)化過程示意圖 9圖表 8：熵池模型情景表達(dá)法示意圖 10圖表 9：國盛金工量化 FOF 配臵體系構(gòu)架 16圖表 10：熵池模型數(shù)值實驗結(jié)果 17圖表 11：示例資產(chǎn)類別與代理指數(shù) 18圖表 12：10 年期國債利率預(yù)測信號表現(xiàn) 18圖表 13：資產(chǎn)配臵模型回測結(jié)果 18圖表 14：概率優(yōu)化模型回測凈值曲線 19圖表 15：資產(chǎn)配臵測試歷史倉位 19什么是熵池（Entropy Pooling）模型完全自由觀點(diǎn)在資產(chǎn)配臵領(lǐng)域，均值方差模型雖然在數(shù)學(xué)上十分優(yōu)雅，但它在投資實務(wù)中并不能直接使用。這是因為它給出的最佳投資組

5、合對該模型的核心輸入即資產(chǎn)的期望收益率非常敏感，而期望收益率很難準(zhǔn)確預(yù)測，往往需要靠多個模型多位專家提供更多的判斷來提高精度，均值方差模型缺少一個觀點(diǎn)融合的模塊。為解決這個問題，高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 在 1992 年提出了后來業(yè)界聞名的 Black-Litterman 模型（以下簡稱 BL 模型）。該模型以市場均衡假設(shè)反推出的資產(chǎn)收益率為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合投資者對不同資產(chǎn)收益率的主觀判斷，最終通過貝葉斯收縮估計的方式確定資產(chǎn)的收益率分布，并計算最佳的投資組合配臵。這為之前僅通過歷史估計來確定資產(chǎn)收益率分布的方式拓展了進(jìn)步空間。圖表 1：BlackL

6、itterman 模型計算過程資料來源：“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL”， 國盛證券研究所BL 模型對于觀點(diǎn)的融合主要依賴模型當(dāng)中的“觀點(diǎn)矩陣 P-觀點(diǎn)超額收益 Q-觀點(diǎn)信心矩陣”系統(tǒng)。觀點(diǎn)矩陣 P 中的每一列確定一種觀點(diǎn)對應(yīng)的資產(chǎn)，如若觀點(diǎn)針對某資產(chǎn) i的絕對收益，那么相應(yīng)觀點(diǎn)矩陣 P 中的列可表示為第 i 個元素為 1 的單位向量，如果觀點(diǎn)針對某兩類資產(chǎn) i，j 的相對收益，比如做多 i 資產(chǎn)，做空 j 資產(chǎn)未來可獲得一定收益，那么相應(yīng)觀點(diǎn)矩陣 P 中的列可表示為第 i 個元素為 1，第 j 個元素為-1，其余元素為 0

7、 的向量。相應(yīng)的觀點(diǎn)超額收益 Q 的每個元素則為對應(yīng)的觀點(diǎn)收益率，相應(yīng)的觀點(diǎn)信心矩陣 為對角陣且對應(yīng)每個元素為觀點(diǎn)的信心水平。圖表 2：BL 模型觀點(diǎn)表達(dá)系統(tǒng)資料來源：國盛證券研究所可以看到，雖然 BL 模型已然能夠通過貝葉斯方法將相應(yīng)的資產(chǎn)絕對收益和相對收益觀點(diǎn)融入到所估計的均值方差中，但是觀點(diǎn)的靈活性較弱，必須為確定的收益率期望觀點(diǎn)。對于收益率中位數(shù)、收益率范圍、收益率排序、波動率、相關(guān)性、尾部分布、非線性特征等等觀點(diǎn) BL 模型無法融合，而實際投資過程中產(chǎn)生的觀點(diǎn)有很多都是諸如判定方向或者大致區(qū)間的形式，同時對波動率、相關(guān)性等的判斷也有很大的意義。除此之外 BL模型是在正態(tài)分布的框架下的

8、，而我們知道正態(tài)分布僅是一種便于計算的近似，與實際分布的尖峰厚尾有偏特性有較大差別，容易導(dǎo)致對尾部風(fēng)險的欠估計。針對 BL 模型的問題，眾多學(xué)者提出了相應(yīng)的解決方案：Edward Qian、Stephen Gorman在 2001 年提出了新的模型（以下簡稱 QG 模型），將針對波動率和相關(guān)性的觀點(diǎn)設(shè)計到了模型中，Robert Almgren、Neil Chriss 在 2004 年提出了將收益率排序觀點(diǎn)進(jìn)行融合的模型（以下簡稱 AC 模型），Jacques Pezier 在 2007 年提出了在最小區(qū)別原則（Least discrimination）下的相對熵模型（以下簡稱 P 模型），而本

9、報告將介紹由前 KKR 首席風(fēng)險官 Attilio Meucci 提出的熵池（Entropy Pooling）模型（以下簡稱 EP 模型），EP 模型以簡潔優(yōu)雅的設(shè)計解決了上述模型提到的所有問題，能夠融入幾乎任何形式的觀點(diǎn)，同時先驗分布可以是任意分布，計算方便快捷，可謂集大成者。Attilio Meucci 之前在 2006年和 2009 年也分別提出過另外兩個模型（以下簡稱 COP 模型和 M 模型）對部分問題進(jìn)行過探討，相應(yīng)文獻(xiàn)詳見文末。圖表 3：各類模型對比BL 模型AC 模型QG 模型P 模型M 模型COP 模型EP 模型1992200420012007200920062010正態(tài)分布

10、&線性觀點(diǎn)情景分析相關(guān)性分析非線性定價外部因子：宏觀等不完全觀點(diǎn)非正態(tài)市場多用戶輸入非線性觀點(diǎn)快速復(fù)雜定價排序型觀點(diǎn)資料來源：“Fully Flexible Views: Theory and Practice”，國盛證券研究所貝葉斯更新的一般化EP 模型所考察的對象并不局限于資產(chǎn)的收益率分布，而是泛化成任意風(fēng)險因子的分布。假設(shè)一組證券由 N 維的風(fēng)險因子決定，那么必然存在一個確定性的函數(shù)將風(fēng)險因子與當(dāng)前可得的信息映射到每個證券未來的價格 +。+ (,)比如假設(shè)這組證券是期權(quán)，風(fēng)險因子代表了所有標(biāo)的資產(chǎn)的價格和隱含波動率變化，那么函數(shù)就可表示為一個由“deltas”、“vegas”、“gamm

11、as”、“vannas”、“volgas”等等系數(shù)組成的二階泰勒展開式。也可以包含和證券價格僅有統(tǒng)計相關(guān)性的外部變量（包括宏觀因子等）?？傊?，EP 模型當(dāng)中的并不局限于資產(chǎn)的收益率。在此基礎(chǔ)上，首先假設(shè)存在一個類似 BL 模型中先驗分布的參考模型。所謂的參考模型就是風(fēng)險因子的先驗聯(lián)合分布，可以用概率密度函數(shù)來表示： 而我們需要解決的問題即為最優(yōu)化證券的權(quán)重配臵，使得在投資限制下滿意度函數(shù)最大化。滿意度函數(shù)可以理解為由投資者所確定的效用函數(shù)： argmax*(; )+EP 模型最重要的泛化擴(kuò)展在于投資者觀點(diǎn)可以表達(dá)在風(fēng)險因子的一組廣義函數(shù)上：1(), , ()，而不僅僅是風(fēng)險因子上。這些廣義函數(shù)

12、并不一定需要線性，投資者甚至可以直接在證券定價函數(shù) () = (, )上表達(dá)觀點(diǎn)。這些廣義函數(shù)組成了一個 K 維的隨機(jī)向量，其先驗聯(lián)合分布可由參考模型計算得到： () 當(dāng)然所謂的觀點(diǎn)一定是不同于參考模型的，因而在上表達(dá)的觀點(diǎn)會使得服從一個由觀點(diǎn)更新后的分布： 對兩個分布包含的結(jié)構(gòu)進(jìn)行量化，EP 模型采用了信息論中的香農(nóng)熵：H() = ,ln ()-對于兩個分布的差異，EP 模型采用相對熵即 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）進(jìn)行描述，從而后驗分布即為在滿足投資者觀點(diǎn)下與參考模型結(jié)構(gòu)最為接近的分布：( , ) ()ln () ln ()d argmin*(, )

13、+公式中的 代表了滿足投資者觀點(diǎn)的所有分布。最后類似 BL 模型，投資者對觀點(diǎn)的 信心需要體現(xiàn)在后驗分布中，假設(shè)投資者對其觀點(diǎn)持 100%的信心，那么后驗分布就是，否則的話后驗分布需要向參考模型收縮： (1 ) + ,c ,0,1-若存在著多個不同信心的觀點(diǎn)，也可通過對 100%信心的后驗分布進(jìn)行信心加權(quán)的方式進(jìn)行融合，比如假設(shè)有S名專家分別對各自的()輸入了他們的觀點(diǎn)，那么我們可以得到S個 100%信心后驗分布() , = 1, , 。最終后驗分布即為：=1 ()此過程被稱為“觀點(diǎn)池化”（Opinion-Pooling），因此 EP 模型概括的來說就是將以相對參考模型熵最小的后驗分布（觀點(diǎn)）

14、匯集的模型。“Pooling”一般翻譯為“池化”，但其意義更接近于“匯集”。圖表 4：熵池模型示意圖資料來源：國盛證券研究所從模型的輸入輸出來看，模型本質(zhì)是通過觀點(diǎn)信息更新了分布，與 BL 模型作用相同，但是相對熵最小化更新的方法相比貝葉斯更新更為一般化。在 Ariel Caticha 與 Adom Giffin 在 2006 年的論文“Updating Probabilit ies”中證明了貝葉斯更新只是相對熵最小化更新的一種特殊形式，兩種方法是相洽的。如今相對熵最小化的方法已經(jīng)被應(yīng)用到了除傳統(tǒng)熱力學(xué)、信息論以外的各個領(lǐng)域，特別是機(jī)器學(xué)習(xí)和金融工程。相對熵最小化的意義為了便于讀者直觀理解，本

15、報告在此簡單闡述為什么要用熵來度量一個分布的結(jié)構(gòu)。在信息論中，熵的本質(zhì)是一個宏觀態(tài)所對應(yīng)的微觀態(tài)的不確定性。舉一個簡單例子來說明，擲三次硬幣可能出現(xiàn)三次都是正面，也可能出現(xiàn)一正二反，三次都是正面的可能性只有一種，而一正二反的可能性有三種：正反反、反正反、反反正，因此這里一正二反這個宏觀態(tài)的熵（微觀態(tài)不確定性）要高于三次正面。對于熵的度量，可以以拋硬幣這樣的二元等概率事件作為參照物來計算，如果某一宏觀態(tài)對應(yīng) 8 個微觀態(tài)，那么這相當(dāng)于拋擲三次硬幣產(chǎn)生的可能微觀態(tài)23 = 8，因此計算上可以用對數(shù)來度量熵：3 = log2 8，單位為比特（bit）。當(dāng)然度量熵的底數(shù)也可以是自然常數(shù) e，此時熵的單

16、位被稱作納特（nat）。對于一個完整的分布，可以通過將分布中每個宏觀態(tài)的熵按照概率加權(quán)得到分布的熵，這就是香農(nóng)熵的概念。 ln 1/一個 100%可能的宏觀態(tài)熵為 0，而多個宏觀態(tài)均勻分布的熵最大，其余分布介于兩者之間。所以確定性越高的分布熵越小，當(dāng)一個分布僅指向一個宏觀態(tài)時，這個分布蘊(yùn)含了需要了解這個系統(tǒng)的所有信息，不再需要獲取別的信息來對系統(tǒng)減熵。舉個簡單的例子：如果我們知道所有的投資者明天的所有操作，那么明天股市的漲跌就是確定的，否則只能用一個不確定的概率分布來描述，信息越多此概率分布的確定性越強(qiáng)熵越小。信息（正確的觀點(diǎn)）與熵數(shù)量相等，方向相反，信息的作用就是減熵。圖表 5：分布所代表熵

17、的上下限資料來源：國盛證券研究所而 EP 模型提出的相對熵最小化本質(zhì)就是在觀點(diǎn)約束下選擇增加多余信息最少的后驗分布，其遵循的是“最大熵原理”。最大熵原理是 1957 年由美國統(tǒng)計學(xué)家、物理學(xué)家 E.T.Jaynes 提出的，觀點(diǎn)將帶來新的信息量，因而后驗分布的熵一定小于先驗分布，而滿足觀點(diǎn)約束的后驗分布有無窮多個，“最大熵原理”是指在這些分布中選擇熵最大，最具有不確定性的那一個，盡量不加入多余假設(shè)和結(jié)構(gòu)。就像上圖的例子中，在四個宏觀態(tài)均勻分布下，如果我給出“宏觀態(tài) 1 有一半概率是真的”的觀點(diǎn)后，其余三個宏觀態(tài)最好保持均勻分布，而不是主觀的給予額外的結(jié)構(gòu)。( ,) ()ln () ln ()d

18、 = ()ln1/() ln 1/ ()d模型解析解與數(shù)值求解模型在正態(tài)分布下具有和 BL 模型類似的解析解，假設(shè)風(fēng)險因子滿足一個多元正態(tài)分布： (, )投資者觀點(diǎn)通過風(fēng)險因子的線性組合表達(dá)在均值向量和協(xié)方差矩陣上：: *+ *+ 那么通過推導(dǎo)可得到 100%信心后驗分布仍為正態(tài)分布： (, )其中， + ()1 ( ) + ()1 ()1 ()1 )當(dāng) = 時公式與 QG 模型一致。當(dāng)然如果分布并非正態(tài)或者觀點(diǎn)的形式更為復(fù)雜，則 EP 模型難以獲得解析解，所幸的是 EP 模型的數(shù)值解法非常簡潔，大部分情況下僅涉及到線性約束（也可以非線性）下的優(yōu)化問題，計算十分方便快速，這也是 EP 模型的另

19、一個優(yōu)雅的地方。要構(gòu)造 EP 模型的數(shù)值解法，首先需要將參考模型用情景（Scenarios）的方式進(jìn)行表達(dá)。假設(shè)參考模型來自個歷史樣本點(diǎn)，那么可以將參考模型表達(dá)為 N維的情景集，其中的每一行代表了一個情景，每一列代表了一個風(fēng)險因子的邊緣分布；假設(shè)參考模型來自一個聯(lián)合分布表達(dá)式（具有解析式），那么通過隨機(jī)模擬樣本點(diǎn)我們同樣可以構(gòu)建一個 N維的情景集，模擬分布逼近原始分布的精度隨著的增大而提升。我們給這個情景賦予相等的初始權(quán)重=1, = 1/。圖表 6：情景表達(dá)法示意圖資料來源：國盛證券研究所通過定價公式： + (, )，我們可以將風(fēng)險因子的個情景映射到證券組（假設(shè)有 M 個證券）的個價格。: M

20、與: 1 可進(jìn)一步輸入到風(fēng)險管理模型或者資產(chǎn)配臵組合優(yōu)化模型中。在本報告的 2.1.章節(jié)中我們將詳細(xì)列出 EP 模型能夠融合的觀點(diǎn)類型和表達(dá)式，本小節(jié)中暫時按下不表，只是說明這些觀點(diǎn)都可以表達(dá)為如下形式： 比如假設(shè)我們想對風(fēng)險因子的期望表達(dá)確定性觀點(diǎn)，那么可以令 = , = 。優(yōu)化問題可以寫成如下離散形式： argmin*(, )+ = argmin (ln() ln() =1其中限制條件 可以轉(zhuǎn)化為梯度和 Hessian 矩陣表達(dá)式。圖表 7：離散優(yōu)化過程示意圖資料來源：國盛證券研究所優(yōu)化目標(biāo)的拉格朗日函數(shù)可以寫為：(, , ) (ln() ln() + ( ) + ( )通過對拉格朗日函數(shù)

21、求一階導(dǎo)可以求得關(guān)于, 的表達(dá)式：(, ) = ln() 代入后可獲得拉格朗日函數(shù)的對偶函數(shù)：(, ) (, ), , )通過求解對偶函數(shù)即可獲得 EP 模型的數(shù)值解：(, ) argmax*(, )+, = (,)可以看到模型的優(yōu)化最終針對的是, ，其數(shù)量與觀點(diǎn)數(shù)量一致，而并非數(shù)量龐大的概率分布變量，這保證了優(yōu)化的可行性和速度。100%信心后驗分布計算完后即可通過“觀點(diǎn)池化”直接獲得信心加權(quán)后驗分布： (1 ) + 從以上過程可以看到，EP 模型的數(shù)值求解僅僅調(diào)整了每個情景背后的相對概率，對情景本身并未進(jìn)行任何改變，因而避免了重新定價的冗余計算。當(dāng)定價公式 + (, )計算較為復(fù)雜的時候，E

22、P 模型能夠更為快速高效的獲得證券在后驗分布下的定價結(jié)果，對延遲要求較高的交易模型或者極為復(fù)雜的定價模型有著獨(dú)特的優(yōu)勢。圖表 8：熵池模型情景表達(dá)法示意圖資料來源：“Historical scenarios with fully flexible probabilities”，國盛證券研究所熵池模型 vs BlackLitterman 模型觀點(diǎn)融合EP 模型相對 BL 模型的第一大優(yōu)勢就在于觀點(diǎn)融合的泛化。BL 模型只能對于資產(chǎn)未來期望收益率發(fā)表等式約束的觀點(diǎn)，但是 EP 模型不僅觀點(diǎn)的對象更泛化，觀點(diǎn)的表達(dá)方式也更泛化：EP 模型BL 模型觀點(diǎn)對象：一階矩、分位數(shù)：均值、中位數(shù)、分位數(shù)、Va

23、R高階矩：波動率、協(xié)方差非線性：相關(guān)系數(shù)、尾部相關(guān)性、CVaR完全信息：邊緣分布、聯(lián)合分布、Copula觀點(diǎn)對象： 一階矩：均值觀點(diǎn)形式：等式約束、不等式約束、排序、觀點(diǎn)形式：等式約束本小節(jié)我們將列舉部分 EP 模型下的觀點(diǎn)如何表述成對于分布概率的線性約束條件： 均值對于均值的觀點(diǎn)：可以如下表達(dá)：()= , =1 ()=首先定義排序函數(shù)()，代表某個風(fēng)險因子中的第 i 個次序統(tǒng)計量：(), :,定義序號集合： : argmax(), )=1則 n-分位數(shù)的觀點(diǎn)可以表達(dá)為：波動率對于波動率的觀點(diǎn)：()= ,2 (,) = 2=1=1 ,2 =2 + 2=1參照協(xié)方差公式：非線性約束可以表達(dá)為：c

24、ov(, )= , , , =線性約束可以表達(dá)為：=1=1=1 , , = + =1可以表達(dá)為：corr(, )= , = + =1資產(chǎn)排序?qū)τ谫Y產(chǎn)排序的觀點(diǎn)：可以如下表達(dá)：(1) (2) () (,1 ,2) 0=1 (,1 ,) 0 =1邊緣分布對于邊緣分布需要整體調(diào)整的情況，可以用各階矩匹配的方式進(jìn)行觀點(diǎn)的表達(dá)： , = (,)=1 ()2 = . 2 /=1, ()3 = . 3 /,=1,其他形式的觀點(diǎn)可以相應(yīng)類推或參考報告文獻(xiàn)。信心水平BL 模型主要通過刻度系數(shù)和信心矩陣來確定具體觀點(diǎn)信心水平。有關(guān) BL 模型的這兩個參數(shù)的確定我們例舉文獻(xiàn)如下：1、“Global portfoli

25、o optimization” Black F, Litterman R. , 1992在 Black 和 Litterman 的原始報告中，他們認(rèn)為刻畫了資產(chǎn)均衡收益均值的不確定性，它是正比于資產(chǎn)均衡收益協(xié)方差矩陣的，而由于收益均值的不確定性遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于收益觀點(diǎn)的不確定性，因此他們認(rèn)為應(yīng)當(dāng)相當(dāng)接近于 0；2、“Using the Black-Litterman Global Asset Allocation Model”Bevan and Winkelmann， 1998在這篇報告中，作者認(rèn)為信息比率 IR 可以衡量主觀觀點(diǎn)所包含的信息量，他們認(rèn)為從統(tǒng)計意義上來說，超過 2 的 IR 代表了超額

26、收益達(dá)到了 2 倍的標(biāo)準(zhǔn)差之外，因此是很難發(fā)生的，所以的設(shè)臵應(yīng)該使得 IR 小于 2，使得最后得到的權(quán)重不會過于極端。3、“The Intuition Behind Black-Litterman Model” He and Litterman, 1999在這篇報告中，作者認(rèn)為應(yīng)該與觀點(diǎn)信心矩陣結(jié)合來設(shè)臵，可以首先假定一個，然后校準(zhǔn)觀點(diǎn)的信心水平，使得/ = 。舉個例子，假設(shè) = 0.025，那么觀點(diǎn)信心矩陣可以設(shè)臵為：(11 ) 0 = 0()這樣的設(shè)臵下的值并不關(guān)鍵，關(guān)鍵在于比率/，只要比率確定了不論為何值，后驗的預(yù)期收益向量不變。4 、“ A demystification of the

27、 BlackLitterman model: Managing quantitative and traditional portfolio construction” Satchell and Scowcroft, 2000在這篇報告中，作者認(rèn)為是刻度因子，因此經(jīng)常設(shè)定為 1。觀點(diǎn)的權(quán)重完全由觀點(diǎn)信心矩陣來確定。5、“A STEP-BY-STEP GUIDE TO THE BLACK-LITTERMAN MODEL” Idzorek, 2002這是較為經(jīng)典的一篇報告，在 He and Litterman（1999）的基礎(chǔ)上，作者認(rèn)為觀點(diǎn)信心除了還受到其他因素的影響。作者提出了一種可以結(jié)合直觀

28、的 0%-100%的主觀信心的參數(shù)確定法。在此參數(shù)確定法下是一個無關(guān)緊要的標(biāo)量，在設(shè)定完之后可以在此基礎(chǔ)上設(shè)臵，的大小不影響最終計算的后驗預(yù)期收益率向量。此方法的具體步驟如下： = 0代表著第 k 個觀點(diǎn)是完全確定的，投資者對此觀點(diǎn)的信心為 100%，從而可以計算在 k 觀點(diǎn)信心 100%時的預(yù)期收益率向量：E,100% = + ()1 ( )計算 k 觀點(diǎn)信心 100%時優(yōu)化得到的最終資產(chǎn)權(quán)重：, 100% = ()1 ,100%計算 k 觀點(diǎn)信心 100%時最終資產(chǎn)權(quán)重偏離市場均衡資產(chǎn)權(quán)重的程度：, 100% = ,100% 利用投資者觀點(diǎn)水平調(diào)整偏離：Tilt = ,100% 其中是一個

29、N 1 的向量，向量中觀點(diǎn) k 涉及的資產(chǎn)上等于投資者信心水平，觀點(diǎn) k 不涉及的資產(chǎn)上等于 0。計算目標(biāo)權(quán)重向量：,% = + 優(yōu)化,%和的離差平方和，從而獲得的估計：其中：min (,% )2 = ,-1 ,()1 + 1-1,()1 + 1-重復(fù)步驟 I 至 VI，直到計算出所有的。以上論文僅是討論刻度系數(shù)和信心矩陣的部分論文，從這部分論文中我們已經(jīng)可以看出 BL 模型在信心水平確定上的不直觀性和參數(shù)關(guān)系間的復(fù)雜性，學(xué)術(shù)界對其的爭論也較多且并未統(tǒng)一。從實證角度來說，由于觀點(diǎn)融合模型的回測建立在觀點(diǎn)模型和配臵模型的基礎(chǔ)上，各家在說明各自方法的時候并不是建立在一個公認(rèn)的觀點(diǎn)模型和配臵模型的基

30、礎(chǔ)上，因而更加難以互相說服。相比 BL 模型，EP 模型在信心水平的確定上更為直觀，我們可以用信心水平直接對各個觀點(diǎn)集給出的后驗分布進(jìn)行加權(quán)。EP 模型中的信心水平可以設(shè)臵為觀點(diǎn)在歷史上的勝率，或者也可以類比采用 Grino ld 和Kahn 在主動投資組合管理中提到的主動管理基本定律的方式：IR IC 其中 IC 即歷史觀點(diǎn)與實際情況的相關(guān)系數(shù)，而 Breath 就是歷史產(chǎn)生過的觀點(diǎn)數(shù)。如果有多個信心不同的觀點(diǎn)，可以通過“機(jī)制轉(zhuǎn)換（Regime Switch）”的方式理解加權(quán)后的分布。具體的來說，當(dāng)只有一個信心水平為 c 的觀點(diǎn)時，則機(jī)制轉(zhuǎn)換下的更新后風(fēng)險因子可以表示為： = 1() + (

31、)其中1與分別是0,1上互不重疊且長度等于 1-c 和c 的區(qū)間上的示性函數(shù)，而 U 則為一個在0,1上均勻分布的隨機(jī)變量。在此假設(shè)下，最終后驗分布即為： (1 ) + 當(dāng)存在兩個或以上信心水平不同的觀點(diǎn)時，可以按照觀點(diǎn)集的“冪集（Power Set）”的方式將信心水平映射成一個概率分布，比如當(dāng)我們有 3 個信心水平不同的觀點(diǎn)時：= () + *1+()*1+ + *2+()*2+ + *3+ ()*3+ + *1,2+()*1,2+ *1,3+()*1,3+ + *2,3+()*2,3+ + *1,2,3+()*1,2,3+ + *1+ *1+ + *2+ *2+ + *3+ *3+ + *

32、1,2+ *1,2+ + *1,3+ *1,3+ + *2,3+ *2,3+ + *1,2,3+ *1,2,3+假設(shè)三個觀點(diǎn)的信心水平分別為：1 =70%、2 =80%、3 =90%，同時假設(shè)信心水平之間具有包含關(guān)系（Attilio Meucci 在論文中的假設(shè)）如下：*1,2,3+ = min( | *1 ,2,3+) = 70%*1,2+ = min( | *1 ,2+) *1,2,3+ = 0%*1,3+ = min( | *1 ,3+) *1,2,3+ = 0%*2,3+ = min( | *2,3+) *1,2,3+ = 10%*1+ = min( | *1+) *1,2+ *1,3

33、+ *1,2,3+ = 0%*2+ = min( | *2+) *1,2+ *2,3+ *1,2,3+ = 0%*3+ = min( | *3+) *1,3+ *2,3+ *1,2,3+ = 10% = 1 = 10%2*1,2,3+從而最終的后驗分布即為： 10% + 10%*3+ + 10%*2,3+ + 70%*1,2,3+值得注意的是，論文中的包含關(guān)系假設(shè)僅是一種簡單的處理，如果有較為明確的觀點(diǎn)間相關(guān)性信息，可以直接調(diào)整相應(yīng)冪集的概率，這又是 EP 模型相對 BL 模型的一個優(yōu)勢。 BL 模型的觀點(diǎn)信心矩陣是對角陣，是不考慮觀點(diǎn)之間的相關(guān)性的，一旦需要考慮到觀點(diǎn)之間的相關(guān)性，從而給觀點(diǎn)

34、信心矩陣的非對角線元素賦值，將又是一個難題。而 EP模型在歷史觀點(diǎn)頻率相同的情況下，可以直接按照幾個觀點(diǎn)是否同時正確的情況給相應(yīng)冪集賦予概率即可，非常直觀。解析解對比在不考慮信心水平的情況下，即假設(shè)各觀點(diǎn)的信心都相同且為 100%時，那么 BL 模型和EP 模型的解析解分別可以表達(dá)為如下形式：BL：,- = ,1 + -1 ,1 + -,- = ,1 + -1EP：,- = + ()1 ( ) ,- = + ()1 ()1 ()1)從公式中可以看出，在 BL 模型中只要表達(dá)了觀點(diǎn)，不論觀點(diǎn)與先驗分布是否一致，都會使得協(xié)方差矩陣中相應(yīng)的資產(chǎn)波動率減小，也就是說不確定性下降。但是如果觀點(diǎn)與先驗分布

35、一致，本質(zhì)代表的是觀點(diǎn)并未帶來任何減熵的信息，從而分布不應(yīng)該變化，資產(chǎn)的波動率也不應(yīng)減小。而在 EP 模型中，如果觀點(diǎn)與先驗分布一致，后驗分布就等于先驗分布，不會有變化。因此從這個角度來說，EP 模型也比 BL 模型更加合理。熵池模型的應(yīng)用實例資產(chǎn)配臵場景下的熵池模型優(yōu)點(diǎn)熵池模型主要解決觀點(diǎn)融合問題，在整體資產(chǎn)配臵框架中起到承上啟下的作用。在觀點(diǎn)融合問題解決后，不斷拓展觀點(diǎn)端各類模型（客觀亦或主觀）的預(yù)測精度和預(yù)測廣度，將給資產(chǎn)配臵帶來源源不斷的正向作用，好比 Alpha 端之于選股模型。圖表 9：國盛金工量化FOF 配臵體系構(gòu)架資料來源：國盛證券研究所在我們之前的報告宏觀邏輯的量化驗證：中國

36、利率先行指標(biāo)體系構(gòu)建當(dāng)中，我們通過簡單分布平移的方式融合新觀點(diǎn)，其主要過程為：1、將利率預(yù)測的信號通過久期公式轉(zhuǎn)化為國債收益率期望預(yù)期 .國債/（日級別）；2、將每一個國債歷史收益率（日級別）加上均值調(diào)整項：預(yù)期 .國債/ 歷史 .國債/。經(jīng)過此調(diào)整后的國債收益率分布均值將變?yōu)槔誓Ｐ皖A(yù)測下的均值，從而為資產(chǎn)配臵模型帶來一定的 Alpha。這樣調(diào)整的好處在于不會改變國債收益率分布的方差、偏度、峰度等高階矩特征，使得其邊緣分布形狀不變。而這樣的調(diào)整也有壞處：1、分布平移使得尾部發(fā)生了變化，比如預(yù)測均值高于歷史均值，則會導(dǎo)致左尾減?。ㄗ顗那闆r變好），風(fēng)險被低估，預(yù)測目標(biāo)（均值）與最終調(diào)整結(jié)果（均值

37、+尾部）不匹配；2、 簡單分布平移僅針對所預(yù)測的資產(chǎn)，對于與其有相關(guān)性的資產(chǎn)無法同時調(diào)整，比如當(dāng)股債同步時，提高債券的收益率均值理論上應(yīng)同樣提高股票收益率均值，如果沒有相應(yīng)的外部股票模型發(fā)出觀點(diǎn)，簡單分布平移難以對股票作出合適調(diào)整。而熵池模型則不存在這兩個問題，首先 EP 模型情景集不變，因此后驗分布中尾部范圍不會變化，僅是尾部發(fā)生的概率可能被調(diào)整。而針對第二個問題，我們以一個數(shù)值實驗來說明。首先構(gòu)造兩個均值皆為 0 的資產(chǎn)收益率分布，其相關(guān)系數(shù)設(shè)為 0.6。針對第一個資產(chǎn)給予觀點(diǎn)：(1) = 1圖表 10：熵池模型數(shù)值實驗結(jié)果資料來源：國盛證券研究所通過 EP 模型計算后得到的后驗分布中資產(chǎn)

38、 1 的均值達(dá)到了觀點(diǎn)的要求為 1，而資產(chǎn) 2的均值達(dá)到了 0.6。也就是說 EP 模型能自動根據(jù)相關(guān)性調(diào)整所有資產(chǎn)的分布，當(dāng)一個資產(chǎn)的均值被調(diào)高后，與其正相關(guān)的其他資產(chǎn)均值也會被適當(dāng)調(diào)高。在整體資產(chǎn)分布較為復(fù)雜，觀點(diǎn)多樣化的情形下，EP 模型以最大熵原理對分布進(jìn)行整體的調(diào)整，比簡單分布平移或者主觀臆斷調(diào)整更為科學(xué)便捷。熵池模型下觀點(diǎn)融合的實際效果在本報告中，我們繼續(xù)沿用宏觀邏輯的量化驗證：中國利率先行指標(biāo)體系構(gòu)建中的資產(chǎn)配臵模型：概率優(yōu)化模型，以及 10 年期國債收益率預(yù)測模型。選用如下資產(chǎn)進(jìn)行資產(chǎn)配臵模擬測試：圖表 11：示例資產(chǎn)類別與代理指數(shù)資產(chǎn)類別代理指數(shù)A 股大市值滬深 300 指數(shù)

39、美股標(biāo)普 500 指數(shù)A 股中小市值中證 500 指數(shù)港股恒生指數(shù)黃金SGE 黃金 9999 指數(shù)債券中債-國債總財富(7-10 年)指數(shù)資料來源：國盛證券研究所我們將優(yōu)化函數(shù)設(shè)臵為以下風(fēng)險目標(biāo)：考慮雙邊 0.5%的換手費(fèi)用下，未來 1 個月收益小于 1%或者最大回撤超過-0.6%的概率。并通過蒙特卡洛優(yōu)化算法以月頻為調(diào)倉周期最小化此風(fēng)險目標(biāo)以求出最優(yōu)的資產(chǎn)配臵比例。min ( 1% + 0.5% | | , 0.6%)+112 +11對于輸入的資產(chǎn)收益率分布，我們分別采用歷史分布、簡單平移分布和 EP 完全信心分布進(jìn)行回測，后兩者將利用同樣的利率預(yù)測信號調(diào)整歷史分布。所輸入的 10 年期國債

40、收益率預(yù)測信號的歷史月度方向勝率為 69%，信號通過與中債-國債總財富(7-10 年)指數(shù)的歷史久期的組合即可計算出其未來預(yù)期收益率。圖表 12：10 年期國債利率預(yù)測信號表現(xiàn)資料來源：Wind，國盛證券研究所模型 2008 年 1 月至 2020 年 1 月回測結(jié)果如下：圖表 13：資產(chǎn)配臵模型回測結(jié)果總收益年化收益最大回撤夏普率原始策略96.45%5.92%-12.35%0.91簡單分布平移策略104.68%6.29%-15.66%0.86EP 完全信心策略172.15%8.90%-13.77%1.19資料來源：Wind，國盛證券研究所圖表 14：概率優(yōu)化模型回測凈值曲線資料來源：Wind

41、，國盛證券研究所從回測結(jié)果來看，EP 模型對利率預(yù)測信號的利用效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于簡單分布平移，簡單分布平移中的許多看似細(xì)枝末節(jié)的問題對最終的配臵結(jié)果造成了很大的影響。EP 模型利用利率預(yù)測信號通過最大熵原理對整體分布進(jìn)行全局的調(diào)整，使得后驗分布對未來更具有預(yù)測能力。圖表 15：資產(chǎn)配臵測試歷史倉位資料來源：Wind，國盛證券研究所總結(jié)與展望熵池模型的優(yōu)點(diǎn)總結(jié)EP 模型在解決觀點(diǎn)融合和分布更新的場景下，其無論是從泛化能力還是從調(diào)整精度來說都要優(yōu)于傳統(tǒng)方法，當(dāng)前已有瑞典北歐斯安銀行（SEB，北歐最大的金融集團(tuán)之一）、安本標(biāo)準(zhǔn)（Aberdeen Standard，英國最大的主動式資產(chǎn)管理公司）等機(jī)構(gòu)開始使

42、用。相關(guān)論文也在 2010 年以后不斷有發(fā)表，對模型進(jìn)行不斷的測試與修正，因此本報告希望國內(nèi)也能有更多機(jī)構(gòu)投資者了解到此模型，并在投資實踐中受益。熵池模型的最主要的優(yōu)點(diǎn)可以歸納為如下幾點(diǎn)：1、可融合幾乎任意形式的觀點(diǎn)（線性與非線性、等式與非等式）；2、可對任意分布進(jìn)行觀點(diǎn)融合；3、可以冪集映射的方式融入觀點(diǎn)間的相關(guān)性；4、觀點(diǎn)的影響具有整體性，會對相關(guān)資產(chǎn)做全局調(diào)整；5、利用最大熵原理避免不必要的假設(shè)和結(jié)構(gòu)；6、情景表達(dá)法下無需重定價，計算速度更快。熵池模型拓展與應(yīng)用場景展望當(dāng)資產(chǎn)配臵研究達(dá)到一定程度后，自然而然需要將觀點(diǎn)邏輯與量化模型進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合。以安本標(biāo)準(zhǔn)為例，其在大類資產(chǎn)判斷上構(gòu)建了許

43、多的情景，他們認(rèn)為資產(chǎn)收益率之所以有肥尾特性，主要是因為市場并不只有一種狀態(tài)，通過分析市場的不同狀態(tài)，構(gòu)建出未來可能的情景，就可以對資產(chǎn)組合進(jìn)行壓力測試，這將有助于提高資產(chǎn)配臵的穩(wěn)健性和應(yīng)對風(fēng)險的能力。其中，熵池模型就扮演著觀點(diǎn)邏輯與風(fēng)險模型有機(jī)結(jié)合的角色。因此，對于熵池模型，我們未來的一個展望就在于可以應(yīng)用在壓力測試上。關(guān)于熵池模型本身，其實仍有較多的擴(kuò)展空間，首先其應(yīng)用的范圍不局限于資產(chǎn)配臵場景，對于因子擇時、行業(yè)配臵、衍生品定價、衍生品做市等，都具有應(yīng)用前景，在今后的報告中，我們將對其中的部分場景展開研究。熵池模型從理論層面也有擴(kuò)展空間，包括極端觀點(diǎn)的融合、路徑分布代替樣本點(diǎn)的分布、因子模型下的表達(dá)等值得我們未來去探索。參考文獻(xiàn)Almgren, R., & Chriss, N. (2007). Optimal portfolios from ordering informat ion. In Forecasting Expected Returns in the Financial Markets (pp. 55 -100). Academic Pre