專升本試題及解答

1、2015年四川理工學(xué)院專升本高等數(shù)學(xué)考試題（理工類）一、選擇題（每題3分，共15分）1、極限lim(xx3x1)x1（D）（A）1（B）e（C）（D）e2【知識點(diǎn)】第二個重要極限。)22e2。解析：lim(xx3x1)x1lim(1x2x1x12、函數(shù)f(x)x在x0處（D）（A）f(0)1（B）f(0)1（C）f(0)1（D）f(0)不存在【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的定義。解析：f(0)limx0 xx1,x01,x0，即f(0)不存在。與直線yt的夾角為（A）z2t33、直線xt6x1y5z8121（A）（B）（C）（D）3462?！局R點(diǎn)】直線間的夾角公式（方向向量的夾角）解析：由參數(shù)方程yt得對稱

2、式方程：z2t3xt6x6yz3112；于是，cos1221411141，即。234、設(shè)Ix3f(x2)dx(a0)，則（D）a0 xf(x)dx（B）Iaxf(x)dx（C）Ixf(x)dx（D）I1axf(x)dx（A）Ia201a202020【知識點(diǎn)】湊微分法。解析：Ia0 x3f(x2)dx1ax2f(x2)dx21atf(t)dt。2020dy5、設(shè)f(x,y)連續(xù)，交換二次積分1001yf(x,y)dx的次序是（C）dx（A）11x00f(x,y)dy（B）01ydx1f(x,y)dy0dxf(x,y)dy（D）dx（C）11x211x2f(x,y)dy0000dx【知識點(diǎn)】交換二

3、次積分次序。解析：新積分區(qū)域D:0 x1;0y1x2，所以，I二、填空題：（每題3分，共15分）11x200f(x,y)dy。6、函數(shù)zarcsin2xln(1x2y2)的定義域是?！綝(x,y)0 x2y21,11x】2212x1x解析：定義域?yàn)椋?。0 x2y21【知識點(diǎn)】二元函數(shù)的定義域。1101x2y217、ex1【dx。2(x11)ex1c】【知識點(diǎn)】換元法、分部積分法。解析：令x1t，dx2tdt。于是，ex1dx2tetdt2(t1)etc2(x11)ex1c。8、判定級數(shù)n11nn!收斂還是發(fā)散，答：；【收斂】解析：limun1lim【知識點(diǎn)】比值審斂法。nn!n(1(n1)!

4、)lim01。nun(n1)(n1)n!n(n1)(1n!)n9、微分方程xydx(x21)dy0的通解。【ycx21【知識點(diǎn)】可分離變量微分方程。】解析：dyyx1dxlnyln(x21)cyx212cx21。【10、曲面x22y23z236在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面。(x1)4(y2)9(z3)0】【知識點(diǎn)】曲面的切平面方程。解析：令F(x,y,z)x22y23z236，F(xiàn)2x，F(xiàn)4y，F(xiàn)6z；xyzr過點(diǎn)(1,2,3)的切平面方程的法向量n2,8,18，故，切平面方程為：2(x1)8(y2)18(z3)0，即x4y9z36。三、解答題（每小題8分，共56分）11、求極限limx0sin

5、2x11x。sin2x1112、已知函數(shù)yf(x)由方程確定，求yasin3t【知識點(diǎn)】等價(jià)替換。1sin2x解析：limlim21。x0 x0 xxxacos3td2ydx2【知識點(diǎn)】參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)。解析：dydxtant，d2ysec2t1dx23acos2tsint3acos4tsint。13、由元素法的思想寫出：由X型區(qū)域0axb，0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積公式，然后計(jì)算由ysinx，0 x與x軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積。【知識點(diǎn)】元素法（微元法）。解析：在區(qū)間a,b任取小區(qū)間x,xdx，面積元素dAf(x)dx，而dA繞y軸旋轉(zhuǎn)而成圓環(huán)（周長2x），其體積元素dV2x

6、f(x)dx；（展開為長方體）于是，平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積為：Vb2xf(x)dx2bxf(x)dx。aa0由此公式得：V2yxsinxdx2xcosxsinx202。2z14、設(shè)zf(x,xy)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。xy【知識點(diǎn)】二階偏導(dǎo)數(shù)（抽象函數(shù)）。xz解析：fyf；122zxyxffxyf。1222215、求曲線積分I2xydxx2dy，其中L:x2y22ab21,y0取逆時(shí)針方向。解析：因QL?！局R點(diǎn)】曲線積分（曲線積分與路徑無關(guān)）P2x，所以，曲線積分與路徑無關(guān)。xy取直線段（x軸上）：y0，于是，I2xydxx2dya0dx0。La16、計(jì)算xy(xy)dx

7、dy，其中D由yx、xy0和x1所圍成區(qū)域。D【知識點(diǎn)】直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算。解析：積分區(qū)域D:0 x1;xyx。xy(xy)dxdydxD0(x2yxy2)dy1x4dx1xx220315。17、求函數(shù)zx2xyy22xy的極值?！局R點(diǎn)】二元函數(shù)的極值。fy解析：令xf2xy20 x2y10得駐點(diǎn)(1,0)；又f2;f1;f2，xxxyyy在點(diǎn)(1,0)處，B2AC1430，且A20，故，函數(shù)的極小值為f(1,0)1。四、證明題：（每題7分，共14分）18、證明：設(shè)f(x)在1,3上連續(xù)可導(dǎo)，f(3)21f(x)dx，則(1,3)，使f()0?！局R點(diǎn)】積分中值定理、羅爾定理。證明：由f(x)在1,3上連續(xù)可導(dǎo)知，f(x)在1,2上連續(xù)，由積分中值定理，x(1,2)，使f(x)0021f(x)dx2112f(x)dx；又f(3)21f(x)dx，即f(x)f(3)，由題設(shè)知f(x)在x,31,3上連續(xù)可導(dǎo)，00由羅爾定理，(x,3)（即(1,3)），使f()0。019、證明：當(dāng)x0時(shí)，有l(wèi)n(1x)arctanx1x?！局R點(diǎn)】單調(diào)性判定定理。證明：令f(x)(1x)ln(1x)arctanx，則f(0)0，又1