清華大學(xué)計算固體力學(xué)第十次課件接觸-碰撞

1、非線性有限元第10-碰撞 計算固體力學(xué)1第10章 接觸-碰撞引言接觸界面方程 摩擦模型 弱形式 有限元離散 顯式方法 21 引言 在制造加工過程的仿真中包括接觸和碰撞。例如，在薄金屬板的成型中，模具和工件之間接觸面的模擬；汽車碰撞和擠壓成型的模擬，都需要有接觸滑移界面。接觸問題的失效形式是相互作用的接觸面發(fā)生破壞。 對于接觸-碰撞，將展示Lagrangian網(wǎng)格的控制方程和有限元程序。在接觸中，物體的控制方程與前面介紹的方程是一致的，但在接觸界面上，需要增加動力學(xué)和運動學(xué)的條件。 關(guān)鍵條件是不可侵徹性條件：即兩個物體不能互相侵入的條件，不可侵徹性不能表示為一個簡單的方程，所以，發(fā)展了幾種簡單的

2、方法。其中兩個基于最近點映射的形式： 1）顯式動態(tài)問題適用的率形式； 2）主要適用于隱式方法的平衡解答。 此外，經(jīng)典的Coulomb摩擦模型和界面本構(gòu)模型。31 引言 給出控制方程的弱形式，處理接觸界面約束的4種方法：1 Lagrange乘子法，2 罰方法，3 增廣的Lagrangian法，4 攝動的Lagrangian法。 由Lagrange乘子法，在接觸問題的離散化中，在接觸界面上乘子必須是近似的。乘子必須滿足法向面力是壓力的約束。 在罰方法中，面力不等式源于Heaviside分步函數(shù)，該函數(shù)被嵌入在罰力之中。4 1 引言 接觸-碰撞問題是屬于最困難的非線性問題之一，因為在接觸-碰撞問題中

3、的響應(yīng)是不平滑的。 當發(fā)生瞬時接觸時，垂直于接觸界面的速度是瞬時不連續(xù)的。對于Coulomb摩擦模型，當出現(xiàn)粘性滑移行為時，沿著界面的切向速度是不連續(xù)的。 接觸-碰撞問題的這些特性給離散方程的時間積分帶來了明顯的困難，削弱了Newton算法的功能。 因此，選擇適當?shù)姆椒ê退惴ㄊ侵陵P(guān)重要的，并且在獲得強健的求解程序中，規(guī)則化的技術(shù)是非常有用的。52 接觸界面方程模擬接觸-碰撞問題的標記 接觸界面包含兩個物體表面的交界。 接觸界面包括兩個物體處于接觸的兩個物理表面，它們是重合的，在數(shù)值計算中，兩個表面一般不重合，分為主控和從屬表面。接觸界面是時間的函數(shù)，確定它是接觸-碰撞問題解答的重要部分。 在通

4、用有限元軟件中，接觸算法能夠處理多個物體的相互作用，然而多個物體的接觸包含成對物體的相互作用。因此，從考慮兩個物體的問題入手。62 接觸界面方程 在主控接觸表面的每一點建立局部坐標系統(tǒng)，可以構(gòu)造相切于主控物體表面的單位矢量：物體A的法線給出為 在接觸界面上有即兩個物體的法線方向相反。以局部分量的形式表示速度場 在三維問題中希臘字母下角標的取值范圍為2；當問題是二維時，接觸表面成為一條線，取值為1。 72 接觸界面方程 物體由標準場方程控制：質(zhì)量、動量和能量的守恒，應(yīng)變度量，以及本構(gòu)方程。接觸增加了條件： 1 在界面上，兩個物體不可相互侵入和面力滿足動量守恒； 2 橫跨接觸界面的法向面力不能為拉

5、力。 按照要求分類： 1 對于位移和速度的要求作為運動學(xué)條件， 2 對于面力的要求作為動力學(xué)條件。 8不可侵徹性條件2 接觸界面方程一對物體的不可侵徹性條件可以表示為交集為零 例如，如果物體在旋轉(zhuǎn)中，對于P 點接觸Q 點是可能的，而一個不同的相對運動可能導(dǎo)致P 點與S 點接觸。結(jié)論是，除了以一般的形式，找不到其它的方程表示P 點沒有侵入物體A 的事實。 兩個物體不允許重疊，這可以視為一個協(xié)調(diào)條件。對于大位移問題，不可侵徹性條件是高度非線性的，并且一般不能以位移的形式表示為一個代數(shù)方程或者微分方程。其困難源于在一個任意運動中，不可能預(yù)先估計到兩個物體的哪些點將發(fā)生接觸。9不可侵徹性條件運動學(xué)2

6、接觸界面方程 由于以位移的形式表示交集為零的公式是不可能的，所以，在接觸過程的每一階段中以率形式或者增量形式表示不可侵徹性方程是很方便的。其率形式應(yīng)用到物體A和B上發(fā)生接觸的部分，即是位于接觸表面上的那些點 兩個物體的相互侵徹速率 利用 點乘 得到上兩式 并且利用法線是正交于與平面相切的單位矢量的事實。 10不可侵徹性條件2 接觸界面方程 對于在接觸表面上的任意點，不可侵徹性條件限制了相互侵徹速率成為負值，表示當兩個物體發(fā)生接觸時，它們或者必須保持接觸 或者脫離 。 對于接觸區(qū)域上的所有點當滿足上式時，精確滿足不可侵徹性條件。然而，公式與交集為零不是等價的。在大多數(shù)數(shù)值方法中，僅在瞬時時刻注意

7、到該式，對于接近分離而沒有接觸的點，相互侵徹是可能的。該式僅適用于處于接觸的成對點。11不可侵徹性條件2 接觸界面方程 上面強化公式將不連續(xù)性引入速度時間歷史中。在接觸之前，法向速度是不相等的，而在隨后發(fā)生碰撞，法向速度分量必須滿足公式。在時間上的這些不連續(xù)性使得離散方程的時間積分變得很復(fù)雜。 間隙率是相互侵徹率的負數(shù)。 相對切向速度給出為12動力學(xué)面力條件2 接觸界面方程 橫跨接觸界面，面力必須服從動量平衡。由于界面上沒有質(zhì)量，這就要求兩個物體上面力的合力為零： 在法線方向上，不考慮在接觸表面之間的任何粘性，法向面力不能是拉力。其條件表示為 這個條件要求 為正數(shù)，物體B上的面力在A的單位法線

8、上的投影， 它指向物體B。對應(yīng)于物體A和B，注意到上面的表達式是不對稱的。為了定義法向面力，選擇其中一個物體的法向，并且物體法向面力的符號將取決于選擇的這個法向。 13定義切向面力為面力條件2 接觸界面方程切向面力投影到主控接觸表面上的面力合力，由動量平衡要求當應(yīng)用接觸的無摩擦模型時，切向面力為零 在前面建立接觸界面方程中，盡管選擇了其中一個物體為主控物體，當兩個接觸表面是重合時，且滿足公式 ，對于物體，這些方程是對稱的。因此，選擇哪個物體作為主控物體是沒有關(guān)系的。但是，當兩個表面不重合時，如在大多數(shù)數(shù)值求解中，則主控物體的選擇會改變結(jié)果。14單一接觸條件2 接觸界面方程由法向面力不是拉力的條

9、件 由不可侵徹性條件得到單一接觸條件 當物體發(fā)生接觸并且保持接觸時， 而當接觸停止 ，并且法向面力消失 ，乘積總是為零。 這個方程也可以表示為接觸力的法向分量不工作的事實。 15相互侵徹度量2 接觸界面方程 在物體B上的點P侵入到物體A的內(nèi)部，定義為至物體A的表面上任意點的最小距離。在用坐標 表示點P到物體A表面上的任意點之間的距離給出為 圖示物體B上的點P已經(jīng)侵入物體A。尋找相互侵徹的度量，它表示為 在物體A上的點Q是最接近于物體B上的點P：它是點P在A上的正交映射。16相互侵徹度量2 接觸界面方程相互侵徹量 為上式的最小值，并且考慮到僅當P在物體A內(nèi)部時才是非零的。通過檢驗法線到物體A在

10、上的投影，可以檢驗后面的條件：當投影是負值時，點P是在物體A的內(nèi)部，因此有相互侵徹，否則P不在A的內(nèi)部，沒有相互侵徹。所以，相互侵徹的定義是 令相互侵徹度量對坐標求導(dǎo)數(shù)取值為零，求出 最小值。172 接觸界面方程 考慮發(fā)生部分侵徹的兩個表面。主控物體是9節(jié)點等參單元，所以表面A 的3個節(jié)點是二次映射定義： 從屬物體B的表面為一條水平線，給出為例子10.1在例子中的相互侵徹已經(jīng)被夸大了。注意到沿著界面有 對于在表面B上的點P，找到相互侵徹。求點Q 正交投影的最小值 182 接觸界面方程例子10.1取最小化給出為數(shù)值求解上式的根為r0.2451，因此Q點位置為， 對于在表面B上的點P，找到相互侵徹

11、。求點Q 正交投影的最小值 192 接觸界面方程 當兩個物體是不光滑或者不是局部地凸狀時，這種定義相互侵徹的方法將會遇到困難。如在圖示情況下， 的最小值是不唯一的：這里有兩個點為P的正交投影。在這種情況下，難以建立一種方法，能夠唯一地定義相互侵徹的度量。通過一個有轉(zhuǎn)折表面的侵徹，說明正交映射點求解的不唯一性。 相互侵徹度量202 接觸界面方程 在ABAQUS/Standard和/Explicit中的接觸模擬功能具有明顯的差異。 在/Standard中的接觸模擬或者是基于表面（surface）或者是基于接觸單元（contact element）。因此，必須在模型的各個部件上創(chuàng)建可能發(fā)生接觸的表面

12、。然后，必須判斷哪一對表面可能發(fā)生彼此接觸，稱之為接觸對。最后，必須定義控制各接觸面之間相互作用的本構(gòu)模型。這些接觸面相互作用的定義包括如摩擦行為等。 在/Explicit中的接觸模擬可以利用通用（“自動”）接觸算法或者接觸對算法。通常定義一個接觸模擬只需簡單地指定所采用的接觸算法和將會發(fā)生接觸作用的表面。在某些情況下，當默認的接觸設(shè)置不滿足需要時，可以指定接觸模擬的其它形式；例如，考慮摩擦的相互作用力學(xué)模型。21 在電子工業(yè)中，為了評估產(chǎn)品的耐久性，仿真分析正代替跌落試驗。電子產(chǎn)品跌落模擬 通用接觸算法(general contact)22Global ModelLCD Submodel電子

13、產(chǎn)品跌落模擬 非線性有限元的應(yīng)用232 接觸界面方程 在/Standard和/Explicit中的力學(xué)接觸算法具有本質(zhì)的區(qū)別，體現(xiàn)在如何定義接觸條件：1 /Standard在施加接觸約束時采用嚴格主從權(quán)重：約束從屬表面節(jié)點不能侵入主控表面。而主控表面上的節(jié)點原則上可以侵入從屬表面。/Explicit包括這個公式，但是典型地默認應(yīng)用平衡主從權(quán)重。242 /St和/Ex都提供了有限滑動接觸公式。在/St中的二維有限滑動公式要求主控表面是光滑的；而在/Ex的主控表面是由面元構(gòu)成的，除非是解析剛性表面，其主控表面可以是光滑的。3 /St和/Ex都提供了小滑移接觸公式。在/St中的小滑移公式根據(jù)從屬節(jié)點

14、的當前位置向主控節(jié)點傳遞載荷。/Ex總是通過固定點傳遞載荷。4 /Ex在接觸邏輯中可以考慮殼和膜的當前厚度和中面偏移，/St不能。 /Ex通用接觸算法的許多優(yōu)勢在/St中不具備。由于上述的差異，所以在/St分析中定義的接觸不能導(dǎo)入/Ex中，反之亦然。2 接觸界面方程253 摩擦模型 一般將切向面力的模型稱之為摩擦模型?；旧嫌腥N形式的摩擦模型：1 Coulomb摩擦模型，它是基于經(jīng)典摩擦理論的模型。2 界面本構(gòu)方程，由方程給出切向力，類似于材料本構(gòu)方程。3 粗糙潤滑模型，模擬界面的物理特性，常用于微觀尺度。摩擦能量消耗，本構(gòu)問題磨損材料損耗，本構(gòu)問題263 摩擦模型 在Coulomb摩擦模型

15、應(yīng)用于連續(xù)體中，它應(yīng)用在接觸界面的每一點，如果A和B是在x處接觸，則Coulomb摩擦模型 是一個變量，由動量方程的解答確定。兩個物體在一點處接觸的條件意味著法向力 ，因此，兩個表達式的右端項恒正。 條件(a)作為粘著條件：當在一點處的切向面力是小于臨界值時，不允許相對切向運動，即兩個物體為粘著的。 條件(b)對應(yīng)于滑動條件，該方程的第二部分表示切向摩擦的方向必須是與相對切向速度的方向相反。273 摩擦模型Coulomb摩擦模型 Coulomb摩擦更類似于剛塑性材料本構(gòu)。如果將切向速度理解為應(yīng)變，將切向面力理解為應(yīng)力，則上式中的a)式可以理解為屈服函數(shù)。當屈服準則不滿足時，切向速度將為零；一旦

16、滿足了屈服準則，則切向速度沿著由b)式確定的方向。這些特征平行于剛塑性材料模型。 283 摩擦模型界面本構(gòu)方程 界面行為的本構(gòu)模型源于凸凹不平導(dǎo)致的表面粗糙度，發(fā)生在微觀尺度上即使是最光滑的表面。在滑動中，摩擦是由粗糙部分的相互作用生成的。最初的滑動引起了這些粗糙部分的彈性變形，所以，真正的粘著條件不會自然產(chǎn)生，是所觀察到行為的理想化。在滑動過程中，伴隨著粗糙部分的彈性變形是粗糙表面的研磨。粗糙的彈性變形是可逆的，而研磨是不可逆的，因此，自然地將初始滑動歸屬于彈性特性，而后面的滑動歸屬于塑性特性，屬于非關(guān)聯(lián)塑性。29摩擦滑移屈服表面 Mohr-Coulomb本構(gòu)模型 滑移方向（塑性流動）是水平

17、的（沿Q 的方向）而不是垂直屈服面。這是非關(guān)聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的行為，M-C準則具有普適性。它應(yīng)用于模擬顆粒狀的土壤和巖石。 M-C準則是基于這樣的概念，即當任意面上的切應(yīng)力和平均法向應(yīng)力達到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服 c是內(nèi)聚力，通過 定義內(nèi)摩擦角。 3 摩擦模型303 摩擦模型界面本構(gòu)方程對于Coulomb類型性能的屈服函數(shù)，對應(yīng)于Coulomb摩擦條件： 在二維情況下，屈服函數(shù)包括以斜率為 的兩條斜線。 在三維情況下，屈服函數(shù)是一個圓錐。 314 弱形式 對于Lagrangian網(wǎng)格，建立動量方程和接觸界面條件的弱形式。當接觸表面是作為L格式處理時，這一形式也

18、適用于ALE網(wǎng)格。為了簡單，從無摩擦接觸開始，后面介紹切向面力的處理。將下面的公式限制在面力或者位移邊界的情況，進而描述相應(yīng)的所有面力或者速度分量。接觸表面既不是面力也不是位移邊界。物體A的全部邊界為 注意到 在接觸問題中，奇異性發(fā)生在邊界，如赫茲接觸(1881)。然而與斷裂力學(xué)不同的是，奇異性沒有顯示任何的工程意義，因為表面粗糙度的存在抵消了在應(yīng)力中出現(xiàn)的更接近奇異性的行為。 32 自然變分原理是對原物理問題的微分方程和邊界條件建立對應(yīng)的泛函，再使泛函取駐值得到問題的解答，但是其未知場函數(shù)需要滿足一定的附加條件。而廣義變分原理（或稱約束變分方程）不需要事先滿足附加條件，采用lagrange乘

19、子法和罰函數(shù)法將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個修正泛函，將問題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值。稱為無附加條件的變分原理。 對于罰函數(shù)方法，將罰參數(shù)取正值，對修正泛函得到的近似解只是近似地滿足附加條件，罰參數(shù)值越大，附加條件的滿足程度就越好。而在實際計算中，罰函數(shù)只能取有限值，所以利用罰函數(shù)求解只能得到近似解。4 弱形式334 弱形式Lagrange乘子弱形式強加接觸約束的通常方法是借助于Lagrange乘子。 令Lagrange乘子試函數(shù)為 相應(yīng)的變分函數(shù)為 弱形式為其中侵徹率變分為 這個弱形式不等式是等價于動量方程、面力邊界條件、內(nèi)部連續(xù)條件（廣義的動量平衡）和接觸界面條件：不可侵徹性、法向面力的動

20、量平衡和無摩擦條件。Lagrange乘子場僅要求為C-1連續(xù)，因為它的導(dǎo)數(shù)并不出現(xiàn)在弱形式中。要求法向界面力是壓力，這是對Lagrange乘子在試空間的一種限制。 虛功率為344 弱形式Lagrange乘子弱形式 比較Hu-Washizu變分原理，借助于Lagrange乘子，上面的方法是在弱形式中附加約束的標準方法。與Hu-W形式的唯一區(qū)別是約束為一個不等式。利用高斯積分關(guān)系，通過積分證明 從弱不等式可以推導(dǎo)出強形式，但是，必須考慮關(guān)于變分函數(shù)的不等式。一旦變分函數(shù)是不受約束時，對于與變分函數(shù)相乘的項的符號則沒有限制，并且由密度原理該項必須為零。 從上式中的前兩個積分得到 即在物體A和B上，滿

21、足動量方程和自然邊界條件。 Lagrange乘子強形式35從上式聯(lián)立消去 得到關(guān)于法向面力的動量平衡條件： 4 弱形式Lagrange乘子強形式 在接觸表面被積函數(shù)的所有項中，除最后一項外，變分函數(shù)是任意的，因此獲得了等式， 由上式被積函數(shù)最后一項的變分函數(shù)為負值 推論 必然是非正的，即弱不等式表示不可侵徹條件 364 弱形式 在罰方法中，以沿接觸表面施加不可侵徹性約束作為罰法向面力。對比于Lagrange乘子法，罰方法允許一些相互侵徹。然而，它更容易編程并且廣泛應(yīng)用。考慮兩種形式的罰方法：1 罰數(shù)正比于相互侵徹率 的平方； 2 罰數(shù)為相互侵徹及其率的任意函數(shù)。 在非線性問題的應(yīng)用中，第二種方

22、法是更有用的，因為速度相關(guān)罰數(shù)允許更多的相互侵徹。 在罰方法中，變分和試函數(shù)與在Lagrange乘子法中的項完全相同。對于罰方法，弱形式到強形式的等價性可以表述如下如果 其中 率相關(guān)的罰方法（penalty） 侵徹脫離 374 弱形式率相關(guān)的罰方法（penalty） 罰參數(shù) 可以是空間坐標的函數(shù)。相應(yīng)于罰方法的弱形式不是一個不等式；由式中出現(xiàn)的Heaviside分步函數(shù)引入了接觸問題的非連續(xù)性質(zhì)。這種弱形式并不意味著不可侵徹條件，在罰方法中，它僅僅近似地得到滿足。類似L方法，證明弱形式包含著強形式，得到 不像L乘子弱形式，罰弱形式?jīng)]有強制橫跨接觸界面速度的連續(xù)性；事實上，橫跨界面的速度將是不連

23、續(xù)的?？梢詮墓街械玫讲贿B續(xù)的量級，給出 在相關(guān)法向速度分量中的不連續(xù)反比于罰參數(shù)，隨罰增加而減小。 384 弱形式接觸約束方法 對于任何節(jié)點和單元之間的縫隙，g為正，不存在接觸；g為負值或者為零，存在接觸的節(jié)點對（單元對），施加約束條件。 通過簡單地用乘子乘以上式給出的縫隙條件，給出Lagrange乘子的方法。接觸縫隙條件 視為作用在每個節(jié)點上的一個“力”以防止侵徹。 39 在罰函數(shù)方法中，最終縫隙值將不是零，而是一個小量，取決于所選擇的參數(shù)值。罰函數(shù)方法的優(yōu)點是可以根據(jù)判別,能夠給出一個可接受結(jié)果的實際需要的參數(shù)值，進行適當?shù)恼{(diào)整。實際上，在一個復(fù)雜的問題中，這不是簡單的工作，特別是對于涉

24、及梁、板、或殼單元與實體單元之間的接觸問題。 4 弱形式罰函數(shù)方法 一種能夠避免Lagrange乘子求解困難的方法是罰函數(shù)。罰方法是在接觸節(jié)點之間附加一個剛度為beta的非線性彈簧。 404 弱形式攝動的Lagrangian弱形式(Perturbed)其中 上式被積函數(shù)的第二項為Lagrange乘子弱形式的攝動；由于 是大數(shù)， 很小。 增廣的Lagrangian弱形式(Augmented) 是求解過程待定的正參數(shù)，被積函數(shù)第二項為侵徹率的高階項。 通過在弱形式中附加上強化切向面力連續(xù)性的一項，所有上面的公式可以修改以便處理界面摩擦。 415 有限元離散 對于接觸-碰撞問題的所有方法（罰方法、L

25、agrange乘子法等），在弱形式的表述中包括標準虛功率和接觸界面變分的貢獻合成。當在無接觸狀態(tài)時，可以精確地離散標準虛功率，因此，這里關(guān)注各種接觸界面弱形式的離散化。 應(yīng)用Lagrangian網(wǎng)格，包括UL和TL格式。在TL格式中，必須以變形表面的形式施加接觸界面條件。離散化也適用于ALE格式，只要在接觸表面的節(jié)點為L節(jié)點。它們不能直接應(yīng)用到Eulerian格式，因為假設(shè)已經(jīng)有了描述接觸表面的參考坐標系。這個坐標系不能在一個E網(wǎng)格中定義。在L網(wǎng)格中，接觸表面對應(yīng)于網(wǎng)格邊界的一個子集。 425 有限元離散 Lagrange乘子法橫跨接觸界面，兩個物體的速度不一定必須是連續(xù)的，可以C0連續(xù)；相互

26、侵徹條件源于弱形式的離散化。注意到速度場的近似也定義了位移場的近似。試函數(shù)的空間定義如下 由于是L網(wǎng)格，以材料坐標表示速度場的有限元近似，也可寫成單元坐標的形式，因為這兩組坐標是等價的。速度場為 如果物體A和B的節(jié)點編號不同，兩個速度場可寫成為一個表達式：435 有限元離散 Lagrange乘子法在接觸表面上Lagrange乘子場是C-1形狀函數(shù) 變分函數(shù)為 弱形式為 r為殘數(shù)，以節(jié)點速度的形式可以表示相互侵徹率： 可以消除在物體A和B的節(jié)點之間的區(qū)別，將上式表示為445 有限元離散 Lagrange乘子法利用形狀函數(shù)，給出法向分量和速度的乘積的近似和侵徹率 將離散弱形式寫成為 因為是不等式，

27、所以控制方程的提取必須小心。對于那些沒在接觸界面上的節(jié)點，可以直接地從第一個求和項中提取方程，由于節(jié)點速度的變分為任意的，得到標準的節(jié)點運動方程：在第一個求和項中的余下部分重新以接觸界面的局部坐標系寫成，并組合第二個求和項，給出 455 有限元離散 Lagrange乘子法 由于切向節(jié)點速度是沒有約束的，對于節(jié)點速度的系數(shù)，弱不等式服從一個等式 上面的運動方程和接觸界面條件，加之應(yīng)變位移方程和本構(gòu)方程，對于半離散模型組成了方程的完備系統(tǒng)。對于沒有在接觸界面上的節(jié)點運動方程是與沒有約束的情況一樣的。 以矩陣形式寫出運動方程，通過組合這種形式與內(nèi)部、外部和慣性的功率的矩陣形式，給出 考慮到變分項的任

28、意性，得到運動方程和相互侵徹條件 (為作用在每個節(jié)點上一個防止侵徹的“力”) 465 有限元離散 Lagrange乘子網(wǎng)格 構(gòu)造Lagrange乘子網(wǎng)格具有一定的難度。一般說來，兩個接觸物體的節(jié)點是不重合的，如左圖所示。因此，有必要建立一種方法處理不相鄰的節(jié)點。 一種可能性表示在左圖中，選擇Lagrange乘子場中的節(jié)點為主控物體的接觸節(jié)點。當一個物體比另一個的網(wǎng)格更加細劃時，這種簡單的方法是無效的。Lagrange乘子的粗網(wǎng)格則導(dǎo)致相互侵徹。 另一種方法是無論在物體A或B上出現(xiàn)一個節(jié)點，則放置Lagrange乘子節(jié)點，如右圖所示。這種方法的不足之處是當物體A和B上的節(jié)點接近時，一些L乘子單元

29、非常小。這可能導(dǎo)致方程的病態(tài)條件。在三維情況下，這種方法是不可行的。475 有限元離散 Lagrange乘子網(wǎng)格 對于一般性的應(yīng)用，Lagrange乘子必須單獨構(gòu)造網(wǎng)格，這種網(wǎng)格獨立于其它任何網(wǎng)格，但是，至少細劃到二者之中較為細劃的那個網(wǎng)格程度。 Lagrange乘子法的主要缺點是對于L乘子網(wǎng)格的需要。像在簡單二維例子中看到的，這可能引入了復(fù)雜性。在三維問題中，這個工作是更為復(fù)雜的。當接觸界面變化時，網(wǎng)格必須隨著時間變化。在罰方法中，沒有必要建立附加的網(wǎng)格。 與罰方法比較，Lagrange乘子法的優(yōu)點是沒有用戶設(shè)定的參數(shù)，并且當節(jié)點相鄰時，接觸約束幾乎精確得到滿足。當節(jié)點不相鄰時，可能會稍微的

30、違背不可侵徹性，但是不會像罰方法那么明顯。然而，對于高速碰撞，L乘子法常常導(dǎo)致非常不平順的結(jié)果，因此，L乘子法更適合于靜態(tài)和低速接觸問題。 485 有限元離散 例10.2 一維接觸-碰撞有限元方程接觸條件 當兩個節(jié)點發(fā)生接觸時，節(jié)點1的速度必須小于或等于節(jié)點2的速度。如果兩個節(jié)點速度相等，節(jié)點保持接觸狀態(tài)。運動方程為： 左端最后一項是在節(jié)點1和2之間由接觸引起的節(jié)點力。這些力大小相等且方向相反，當Lagrange乘子為零時消失。除了在發(fā)生接觸的節(jié)點，運動方程與無約束的有限元方程是一致的。 采用Lagrange乘子法495 有限元離散 對于取單位面積的對角化質(zhì)量矩陣，方程可以寫成為其中 ，第四個

31、方程為不可侵徹性條件 其中，kI 為單元 I 的剛度。在無接觸的裝配剛度矩陣中，即左上角的33矩陣是奇異的，而當應(yīng)用附加的接觸界面條件，完整的44矩陣成為非奇異的。通過組合G矩陣（E10.2.2）與裝配剛度得到關(guān)于小位移彈性靜力學(xué)的方程： 例10.2 一維接觸-碰撞有限元方程505 有限元離散 例10.3 二維問題 采用4節(jié)點四邊形單元模擬發(fā)生接觸的兩個物體。以物體A上邊界坐標的形式（單元坐標投影到接觸線上）寫出在接觸線上的速度場為： 單位法線為其中515 有限元離散 例10.3 二維問題由公式（10.5.17）給出矩陣：G矩陣（10.5.19）給出為 由一個線性場近似Lagrange乘子：

32、上面的矩陣類似于桿的一致質(zhì)量矩陣：在節(jié)點1處的接觸導(dǎo)致在節(jié)點2處的力，反之亦然。接觸節(jié)點力是嚴格地沿著y方向；由于矩陣的奇數(shù)列為零，所有接觸節(jié)點力的x方向分量為零，接觸界面是無摩擦的。52 在碰撞接觸中，罰方法發(fā)揮了類似的作用。在Lagrange乘子法中，在接觸界面處發(fā)生碰撞的時刻，速度在時間上是不連續(xù)的，如圖所示。這些不連續(xù)性在物體中傳播，并且導(dǎo)致不可忽視的振蕩。罰方法可以考慮作為接觸界面條件的規(guī)則化：它平順了不連續(xù)的速度，并且保持了動量守恒。通過允許兩個物體的部分重疊，它僅放松了一個條件，即不可侵徹性條件。這是為了平滑結(jié)果所付出的一個小的代價。 5 有限元離散 在規(guī)則化的過程中，使得難以處理的解答，即由于解答引起的不連續(xù)性或奇異性，經(jīng)過人為