中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練【以圓為基礎(chǔ)的綜合題三】專題解析

1、數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析中考數(shù)學(xué)綜合題專題訓(xùn)練【以圓為基礎(chǔ)的綜合題三】專題解析例1eqoac(,)如圖，以ABC的BC邊為直徑作O，分別交AC、AB于E、F兩點(diǎn)，過A作O的切線，切點(diǎn)為D，且點(diǎn)E、F為劣弧CD的三等分點(diǎn)（1）求證：ADBC；DA（2）求DAC的大小FEBOC（1）證明：連接BD、BE、OD、DF，設(shè)O的半徑為r，EC長為lBC是O的直徑，BEACE、F為劣弧CD的三等分點(diǎn)，ABECBEABC是等腰三角形，ABBC2r，AEEClE、F為劣弧CD的三等分點(diǎn)，DFEClAD、AC分別是O的切線和割線AD2AEAC，AD2lADFABD，DFABDAADABADFABD，DF

2、BD，得BD2rDBOFAECBD2OB2OD2，BOD90AD是O的切線，ADO90ADBC（2）解：BOD90，OBOD，DBO45DBFFBEEBC，ADBCDABABC30ABBC，BAC75DAC10542（成都某校自主招生）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（13，0），C（13，0），ABC的內(nèi)切圓的圓心是I（1，eqoac(,1)），求ABC的面積yAIBOCx解：設(shè)I切BC邊于點(diǎn)D，連接IB、IC、ID，則IDOD1B（13，0），C（13，0），BD3，DC23，BC223ID133，IBD30，ABC60tanIBDBD3yA1IBDOECx（2）求證：CG是O的切線；數(shù)學(xué)專題之

3、【以圓為基礎(chǔ)】精品解析過I作IEAC，交DC于E，則IEDACB2ICDEICECI，IEEC設(shè)IEx，則ECx，DE23x在eqoac(,Rt)IDE中，IE2ID2DE2x212(23x)2，解得x2IED30，ACB30，A9013AB2BC，AC2BC133SABC2ABAC8BC28(223)2323（3四川德陽）如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的O上一點(diǎn)，CHAB于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作O的切線交直線AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，連接AE并延長交BD于點(diǎn)F，直線CF交AB的延長線于G（1）求證：FCFB；DC（3）若FBFE2，求O的半徑FEAOHBG（1）證明：連接BCAB是O的直徑，BD是

4、切線，BDAB又CHAB，CHBDACEADF，AEHAFBCEAEEHDFAFFB點(diǎn)E為CH的中點(diǎn)，CEEHDFFBAB為O的直徑，ACBDCB90在eqoac(,Rt)BCD中，F(xiàn)是斜邊BD的中點(diǎn)FCFB（2）連接OCACKEOHDFBGOBOC，OCBOBCFCFB，F(xiàn)BCFCBBDAB，OBCFBC90OCBFCB90，即OCG90OC是半徑，CG是O的切線（3）過點(diǎn)F作FKCH于點(diǎn)KFBFC，F(xiàn)BFE，F(xiàn)CFECKEK，CE2EKCEEH，EH2EKFKCH，AHCH，F(xiàn)KAH2數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析AEEHAEHFEK，F(xiàn)EEK2FE2，AE2FE4，AFAEFE6在eq

5、oac(,Rt)AFB中，ABAF2FB2622242O的半徑為224（四川廣安）如圖，在ABC中，ABCACB，以AC為直徑的O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P在AB的延長線上，且CAB2BCP（1）求證：直線CP是O的切線5（2）若BC25，sinBCP5，求點(diǎn)B到AC的距離B（3）在第（2）的條件下，求ACP的周長PMNAOC（1）證明：連接ANABCACB，且ABACAC是O的直徑，ANBCCANBAN，BNCNCAB2BCP，CANBCPCANACN90，BCPACN90CP是O的切線（2）解：過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D1由（1）得BNCN2BC5PCNANBC，sinCANACB5又C

6、ANBCP，sinBCP5MCN5AC5，AC5N在eqoac(,Rt)CAN中，ANAC2CN225在CAN和CBD中ANCBDC90CANCBDACNBCDANAC255BDBC，BD25，BD4即點(diǎn)B到AC的距離為4（3）在eqoac(,Rt)BCD中，CDBC2BD22AODC3BDCP，BD，CP數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析ADACCD523AD4320CPACCP53在eqoac(,Rt)APC中，APAC2CP2253因此，ACP的周長為：ACCPAP205（四川瀘州）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB是O的直徑，C是AD的中點(diǎn)，弦CEAB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q

7、，連接BD（1）求證：P是線段AQ的中點(diǎn)；CD15（2）若O的半徑為5，AQ2，求弦CE的長PQ（1）證明：AB是O的直徑，弦CEAB，ACAE又C是AD的中點(diǎn)，ACCD，AECDABHOEACPCAP，PAPCAB是O的直徑，ACB90PCO90ACP，CQP90CAPPCQCQP，PCPQPAPQ，即P是AQ的中點(diǎn)（2）解：ACCD，CAQABC又ACQBCA，CAQCBA152ACAQ3BCAB104AC3在eqoac(,Rt)ABC中，tanABCBC4又AB10，AC6，BC8，根據(jù)直角三角形面積公式，得24ACBCABCH，6810CH，CH548又CHHE，CE2CH56（四川宜

8、賓）如圖，O1、O2相交于P、Q兩點(diǎn)，其中O1的半徑r12，O2的半徑r22過點(diǎn)Q作CDPQ，分別交O1和O2于點(diǎn)C、D，連接CP、DP，過點(diǎn)Q任作一直線AB交O1和O2于點(diǎn)A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延長線交于點(diǎn)E（1）求證：PA2；PB（2）若PQ2，試求E度數(shù)PAO1O24CQBD數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析cosCPQPQ，CPQ60sinPDQPQ，PDQ45（1）證明：CDPQ，PQCPQD90PC、PD分別是O1、O2的直徑在O1中，PABPCD在O2中，PBAPDCPC2r1PABPCD，PA2PBPDr2（2）解：在eqoac(,Rt)PCQ中，PC

9、2r14，PQ=21PC2在eqoac(,Rt)PDQ中，PD2r222，PQ22PD2CAQCPQ60，PBQPDQ45又PD是O2的直徑，PBD90ABE90PBQ45在EAB中，E180CAQABE757（四川資陽）如圖，在ABC中，ABAC，A30，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)B作BPDE，交O于點(diǎn)P，連接EP、CP、OP（1）求證：BDDC；（2）求BOP的度數(shù)；（3）求證：CP是O的切線AOPE（1）證明：連接ADBDCAB是直徑，ADB90ABAC，BDDC（2）解：AD是等腰三角形ABC底邊上的中線BADCAD，BDDEABDDEDC，DECDCE

10、ABC中，ABAC，A30OGDCEABC2(18030)751HDEC75，EDC180757530EBPDE，PBCEDC30BDCABPABCPBC753045OBOP，OBPOPB45BOP90（3）過點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H5P數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析則BHCBOP90，POCH1在eqoac(,Rt)AHC中，HAC30，CH2AC11又PO2AB2AC，POCH四邊形CHOP是平行四邊形又BOP90，四邊形CHOP是矩形OPC90，CP是O的切線8（四川某校自主招生）如圖，等腰RtABC的直角邊AB、AC分別與O相切于點(diǎn)E、D，AD3，DC5，直線FG與AC、BC分別交于點(diǎn)F

11、、G，且CFG60（1）求陰影部分的面積；（2）設(shè)點(diǎn)C到直線FG的距離為d，當(dāng)1d4時，試判斷直線ADFCFG與O的位置關(guān)系，并說明理由EOGB解：（1）連接OD、OE13則S陰影S正方形AEODS扇形EOD(3)24(3)234（2）設(shè)直線FG與O相切于點(diǎn)K，連接OF、OKCFG60，DFK120，DFO60ODOEAD3，DF1CFDCDF514過點(diǎn)C作CHFG于H，則CHCFsin6023當(dāng)1d23時，直線FG與O相離當(dāng)d23時，直線FG與O相切當(dāng)23d4時，直線FG與O相交AEBDFKOHGC|S1S2|9如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑分別為m、n（0mn）的兩圓O1和O2相交于P，Q

12、兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，1），兩圓同時與兩坐標(biāo)軸相切，O1與x軸、y軸分別切于點(diǎn)M、N，O2與x軸、y軸分別切于點(diǎn)R、H（1）求兩圓的圓心O1、O2所在直線的解析式；（2）求兩圓的圓心O1、O2之間的距離d；（3）令四邊形PO1QO2的面積為S1，四邊形RMO1O2的面積為S2試探究：是否存在一條經(jīng)過P、Q兩點(diǎn)、開口向下，且在x軸上截得的線段長為的拋物線？若存在，請求出2d此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由6yHO2數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析解：（1）由題意，O1（m，m），O2（n，n）設(shè)O1、O2所在直線的解析式為ykxbmkbmk1解得nkbnb0所求直線的解析式為yx（2）連接O1

13、P，O1（m，m），P（4，1）O1P2(m4)2(m1)22m210m17又O1P為O1的半徑，即O1PmO1P2m2，即2m210m17m2m210m170同理可得：n210n170yHO2m、n是一元二次方程x210 x170的兩個根mn10，mn17O1（m，m），O2（n，n）d2(mn)2(mn)22(mn)2QNO1P(mn)(mn)24mn101024172(mn)28mn210281764d8（3）連接PQ由相交兩圓的性質(zhì)，可知P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線O1O2對稱PQO1O2P（4，1），直線O1O2解析式為yx，Q（1，4）PQ(41)2(14)23211S12PQO1O2232

14、812211又S22(O1MO2R)MR2(mn)(nm)11222027MRx|S1S2|122202|數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析1，即拋物線在x軸上截得的線段長為12d28假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為yax2bxc拋物線過點(diǎn)P（4，1），Q（1，4）16a4bc1b(5a1)解得abc4c4a5拋物線解析式為yax2(5a1)x4a5令y0，得ax2(5a1)x4a5設(shè)兩根為x1，x2，則有：x1x25a14a5，x1x2aa即(5a1)4(4a5)1，化簡得：8a210a10設(shè)兩根為a1，a2，則有：a1a210拋物線在x軸上截得的線段長為1，即|x1x2|1(x1x2)21，

15、(x1x2)24x1x21aa，a1a2188a10，a20，這與拋物線開口向下（即a0）矛盾不存在這樣的拋物線10（湖南懷化）如圖，已知AB是O的弦，OB4，OBC30，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交O于點(diǎn)D，連接AD、DB（1）當(dāng)ADC18時，求DOB的度數(shù)；（2）若AC2eqoac(,3)，求證ACDOCBA（1）解：連接AO，則OACOBC30，OADADC18DAC301848DOB2DAC96（2）證明：過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為GDOCBD3，ACDOCB在eqoac(,Rt)OGB中，OB4，OBC30OG2，GB23AC23，點(diǎn)C與G重合AC

16、DBCO90，OC2，CD246ACCDOCCBAOCGB111（湖南湘潭）如圖，在O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，AC2AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)8數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析（1）如圖eqoac(,1)，求證：PCDABC；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，PCDABC？請?jiān)趫D2中畫出PCD并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CPAB時，求BCD的度數(shù)CCCDABABAOOPEODBP圖1圖2圖3（1）證明：AB是O的直徑，ACB90PDCD，D90DACB又AP，PCDABC（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CP經(jīng)過圓心時，P

17、CDABC理由如下：如圖，AB、PC是O的直徑，ABPCC（3）解：ACB90，ACAB，ABC30PCDABC，PCDABC12AOB(D)PCDABC，PCDABC30CPAB，AB是O的直徑，ACAPACPABC30BCDACBACPPCD90303030P（1）求APC與ACD的度數(shù)；12（湖南張家界）如圖，O的直徑AB4，C為圓周上一點(diǎn)，AC2，過點(diǎn)C作O的切線DC，點(diǎn)P為優(yōu)弧CBA上一動點(diǎn)（不與A、C重合）C（2）當(dāng)點(diǎn)P移動到CB的中點(diǎn)時，證明：四邊形ACPO是菱形；DPAPCAOC30（3）P點(diǎn)移動到什么位置時，由點(diǎn)A、P、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AABC全等，請說明理由1解：（1）

18、AC2，OAOBOC2AB2ACOAeqoac(,OC)，ACO為等邊三角形AOCACOOAC6012又DC與O相切于點(diǎn)C，OCDC，DCO90OBACDDCOACO906030CP（2）AB為直徑，AOC60，COB120D9AOB數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析當(dāng)點(diǎn)P移動到CB的中點(diǎn)時，COPPOB60COP為等邊三角形，ACCPOAOP，四邊形ACPO為菱形（3）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時，ABC與APC重合，ABCAPC當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動到CP經(jīng)過圓心時，也有ABCCPA理由如下：AB、CP都為O的直徑，CAPACB90在eqoac(,Rt)ABC和RtCPA中ABCPeqoac(,Rt)ABCeq

19、oac(,Rt)CPAACAC13（湖北鄂州）如圖，梯形ABCD是等腰梯形，且ADBC，O是腰CD的中點(diǎn)，以CD長為BHCECD215x15直徑作圓，交BC于E，過E作EHAB于H（1）求證：OEAB；1（2）若EH2CD，求證：AB是O的切線；BH（3）若BE4BH，求CE的值（1）證明：等腰梯形ABCD，BC又OEOC1C1B，OEAB（2）過O作OGAB于GEHAB，OGEH又OEAB，四邊形OGHE是平行四邊形EHOG11又EH2CD，OG2CDCD為O直徑，OG是O半徑又OGAB，AB是O的切線（3）連接DE，DC為直徑，DEC90設(shè)BHx，BE4BH，BE4x在eqoac(,Rt)

20、BHE中，由勾股定理得EH(4x)2x215x1又EH2CD，CD215xBC，eqoac(,Rt)BEHeqoac(,Rt)CDEBE4x215ADOHBECADGOH1BEC10數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析14（湖北恩施）如圖，AB是O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過D作CDOA交弦AB于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F，且CECB（1）求證：BC是O的切線；（2）連接AF，BF，求ABF的度數(shù)；5（3）如果CD15，BE10，sinA13，求O的半徑ADEFCOB（1）證明：連接OBOBOA，CECB，AOBA，CEBABC又CDOA，AAEDACEB90OBAABC90，OBBCBC是O的切線（2）連

21、接OFDADO，CDOA，AFOFOAF是等邊三角形，AOF60ADOEFBCABFAOF30CECB，EGBE512（3）過點(diǎn)C作CGBE于點(diǎn)G，12ADEFC又eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CGE，sinECGsinA513OCEEGsinECG13，CGCE2EG212BA又CD15，CE13，DE2DEFCCG5ADCGGE由eqoac(,Rt)ADEeqoac(,Rt)CGE，得DE24GEADDEOGBO的半徑為2AD48515（湖北十堰）如圖1，O是ABC的外接圓，AB是直徑，ODAC，且CBDBAC，OD交O于點(diǎn)E（1）求證：BD是O的切線（2）若點(diǎn)E為線段OD

22、的中點(diǎn)，證明：以O(shè)、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；FG（3）作CFAB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G（如圖2）求FC的值A(chǔ)ACFGCOOBE11DBED圖1圖2數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析（1）證明：AB是O直徑，BCA90ABCBAC90又CBDBAC，ABCCBD90ABD90又點(diǎn)B在O上，BD為O的切線（2）連接CE、OCOBOEED，OD2OB又OBD90，ODB30，BOE60又ACOD，OAC60又OAOC，ACOAOEACOE且ACOE，四邊形OACE是平行四邊形又OAOE，四邊形OACE是菱形（3）CFAB，AFCOBD90又ACOD，CAFDOBFGAFAFCOBD，BD

23、ABFGOB1FCAB216（湖北襄陽）如圖，PB為O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交O于點(diǎn)A，延長AO與O交于點(diǎn)C，連接BC，AF（1）求證：直線PA為O的切線；（2）試探究線段EF，OD，OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；1（3）若BC6，tanF2，求cosACB的值和線段PE的長FAODEPCB（1）證明：連接OBPB是O的切線，PBO90OAOB，BAPO于D，ADBD，POAPOB又POeqoac(,PO)，PAOPBOPAOPBO90，直線PA為O的切線（2）EF24ODOP證明：PAOPDA90FAODEP，即OA2ODOPOADAO

24、D90，OPAAOP90OADOPA，OADOPAODOAOAOP又EF2OA，EF24ODOP12CB（3）OAOC，ADBD，BC6，ODBC3設(shè)ADx，tanFAD，F(xiàn)D2x，OAOF2x3又AC2OA10，BC6，cosACBBCAC105數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析121FD2在eqoac(,Rt)AOD中，由勾股定理，得(2x3)2x232解得x14，x20（不合題意，舍去）AD4，OA2x35AC是O直徑，ABC906310OA2ODOP，3(PE5)25，PE317（湖北某校自主招生）已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)將扇形AOB沿E

25、F對折，使得折疊后的圖形恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G（1）若OE4，求折痕EF的長；（2）若G是OB中點(diǎn)，求OE和折痕EF的長；O（3）點(diǎn)E可移動的最大距離是多少？EGABF解：（1）設(shè)折疊后的圓弧所在圓心為O，連接OE、OO、OG、OF，OO、OG分別交EF于M、N則EF垂直平分OO，12，OFOG6，OGOBEM2OE2，OM3EM23在eqoac(,Rt)OMF中，MFOF2OM26(23)2MABNOEOE4，ONONAOB90，OGAO，31又34，24ONOE4，ON4，NG2560，四邊形OEON是菱形460，eqoac(,O)EN是等邊三角形12226E1OO453GFNG2ON2

26、OEFEMMF226（2）若G是OB中點(diǎn)，則OGBG3設(shè)OEx，則ONx，NG6x在eqoac(,Rt)OMF中，OG21532(6x)2x2，解得x4EMG即OE的長為4NB15AHF13O過E作EHOG與H，則GHOE4OHOGGH644，NHONOH442數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析151591593在eqoac(,Rt)OEH中，EHOE2OH233在eqoac(,Rt)EHN中，ENEH2NH225由eqoac(,O)MNOGO，得OM2MN213EMMN2EN4535O(G)MFOF2OM22311EEFEMMF4352311（3）當(dāng)G與O重合時，OE最小A(O)FBOA(F)

27、此時OOOB且OOOA6，O與A重合1E是OA中點(diǎn)，OE2OA3當(dāng)E與A重合時，F(xiàn)、G均與B重合，OE最大此時OE6點(diǎn)E可移動的最大距離為3證明如下：(E)OB(G)將扇形AOB沿AB對折（即E與A重合，F(xiàn)、G均與B重合），連接OA、OB則OBAOBA45，OBO90OB與折疊后的圓弧相切18（湖北某校自主招生）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的A與x軸交于O、B兩點(diǎn)，OC為弦，AOC60，P是x軸上的一動點(diǎn)，直線CP交A于點(diǎn)Q，連接OQ、AQ（eqoac(,1)）當(dāng)OCQ是等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；y（eqoac(,2)）當(dāng)APQ是等腰三角形時，求O

28、CQ的度數(shù)COPABQx解：（1）ACAO，AOC60，AOC是等邊三角形y若OC為腰，則OA垂直平分CQ1OP2OA1，P（1，0）C若OC為底OPABx14Q數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析i）當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時過C作CMOA于M，則OCM3011OQC2OAC30，OCQ2(18030)75yPCM753045，PCM是等腰直角三角形C3PMCM2OC3MPOPOMPM13，P（13，0）OABxQOCQCO2OAQ15yii）當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長線上時，則AQ垂直平分OC1QCPOAOCQCO601545過C作CMOA于M，則OCM303則PCM為等腰直角三角形，PMCM2OC3OPP

29、MOM31，P（13，0）（2）設(shè)OCQx，顯然APAQCQPOMABx若PQAQi）當(dāng)點(diǎn)P在BO的延長線上時則ACQ60 x，QPAQAP60 xAQC2QPA1202xACAQ，ACQAQC60 x1202x，x20ii）當(dāng)點(diǎn)P在直徑OB上時則ACQAQC60 xyQCPOABxy602x120 x，x40O11QPAQAP2180(60 x)602x又QPACPO180(60 x)120 x1CPABxiii）當(dāng)點(diǎn)P在OB的延長線上時y則AQCACQx6011QPA2AQC2x30CQQOCQCOAQPA1801x602x30180，x100若PAPQOABPxi）當(dāng)點(diǎn)P在O、A之間時則PAQPQAPCA60 xPAQ2OCQ2x60 x2x，x20ii）當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時則PAQPQAPCAx60yOCPyCABxOAPBQxQ15數(shù)學(xué)專題之【以圓為基礎(chǔ)】精品解析PAQAOQAQOOCQCOQCQO180 x602(x60)180，x80eqoac(,19)（湖北模擬）如圖，在ABC中，ABAC，且O內(nèi)切于ABC，D、E、F是切點(diǎn)，CF交O于G，EG延長線交BC于