高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解

1、第一章 極限與連續(xù)1、函數(shù)的定義域為（ ）2、函數(shù)的定義域為（ ）3、已知，則的定義域為（）4、已知，且，則= ，定義域為（）5、已知函數(shù)，則 ，其定義域為（），其中 ，且 6、設(shè)，且，則的定義域為（）7、已知，求8、設(shè)，求9、設(shè)，求10、設(shè)，求11、設(shè)滿足，且，求12、設(shè)，則（）13、設(shè)，則等于（）14、設(shè)，則等于（）15、下列函數(shù)中非奇非偶的函數(shù)是（）（1），（2），（3），（4）16、設(shè)為奇函數(shù)，判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1），（2），（3），（4），（5）17、已知函數(shù)滿足，則是（）（1）奇函數(shù)，（2）偶函數(shù)，（3）非奇非偶函數(shù)，（4）不能確定18、設(shè)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且它們可以構(gòu)成復(fù)

2、合函數(shù)，則其中是奇函數(shù)的是（）19、設(shè)在上有定義，且對任意有，證明在上單調(diào)增加20、設(shè)、是定義在上的單調(diào)增加函數(shù)，且，證明21、設(shè)是表示不超過的最大整數(shù)，則是（）（1）無界函數(shù)，（2）周期為1的周期函數(shù)，（2）單調(diào)函數(shù)，（3）偶函數(shù)22、設(shè)對任何，存在常數(shù)，使得，證明是周期函數(shù)。23、函數(shù)的反函數(shù)為（）24、函數(shù)的值域是（）25、函數(shù)的值域是（）26、求的值域，并求它的反函數(shù)27、“對任意給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，恒有”是數(shù)列收斂于的（）（1）充分條件但非必要條件，（2）必要條件但非充分條件，（3）充分必要條件，（4）既非充分條件又非必要條件28、設(shè)，均為非負(fù)數(shù)列，且，則必有（）（1），對任

3、意成立，（2），對任意成立，（3）極限不存在（4）極限不存在29、設(shè)，證明數(shù)列沒有極限30、證明：數(shù)列是發(fā)散的31、設(shè)對任意的，總有，且，則等于（）（1）存在且等于零，（2）存在但不一定為零，（3）一定不存在，（4）不一定存在32、設(shè)，試討論及33、證明不存在34、求函數(shù)，當(dāng)時的左右極限，并說明時極限是否存在。35、當(dāng)時，變量是（）（1）無窮小，（2）無窮大，（3）有界，但不是無窮小量，（4）無界，但不是無窮大量36、函數(shù)是（）（1）當(dāng)時為無窮大，（2）在內(nèi)有界，（3）在無界，（4）當(dāng)有有限極限37、設(shè)數(shù)列，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）（1）若發(fā)散，則必發(fā)散（2）若無界，則必有界，（3）若有界

4、，則必為無窮?。?）若為無窮小，則必為無窮小38、當(dāng)時，函數(shù)的極限為（）（1）2，（2）0，（3），（4）不存在39、設(shè)，求40、求41、=（）42、極限=（）43、44、=（）45、=（）46、設(shè)，求47、=（）48、設(shè)函數(shù)，則=（）49、若，則=（）50、設(shè)，求51、求52、利用極限存在準(zhǔn)則證明：53、求54、設(shè)，其中，求55、證明數(shù)列，.的極限存在，并求該極限56、=（）57、=（）58、=（）59、設(shè)，則=（）60、設(shè)常數(shù)，則=（）61、為正整數(shù)，為某實數(shù)，且，則=（），并且=（）62、已知，其中，是常數(shù)，則=（），=（）63、若，則=（），=（）64、試確定常數(shù)，使下式成立：65、當(dāng)

5、時，下列4個無窮小量中比其他3個更高階的無窮小量是（）（1），（2），（3），（4）66、若時，與是等價無窮小，則=（）67、設(shè)時，與是同階無窮小，則=（）68、設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，而是比高階的無窮小，則正整數(shù)=（）69、=（）70、71、72、73、74、75、76、77、設(shè)在連續(xù)，且存在，則=（）78、設(shè)，則的連續(xù)區(qū)間為（）79、討論函數(shù)的連續(xù)性80、若在連續(xù)，求的值81、設(shè)函數(shù)在連續(xù)，則=（）82、設(shè)函數(shù)當(dāng)=（）=（）時，在內(nèi)連續(xù)83、若在點連續(xù)，且對任意的都成立，試證為上的連續(xù)函數(shù)84、討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類型85、設(shè)，討論的連續(xù)性86、已知，（1）求，（2）函數(shù)

6、在定義域內(nèi)是否連續(xù)87、設(shè)函數(shù)，則（）（1），都是的第一類間斷點，（2），都是的第二類間斷點（3）是的第一類間斷點，是的第二類間斷點（4）是的第二類間斷點，是的第一類間斷點88、設(shè)，則的間斷點是（）89、指出下列函數(shù)在指定點處的間斷點類型，如果是可去間斷點。則補充或改變函數(shù)的定義使之連續(xù)（1），（2），（3），（4），90、設(shè)函數(shù)，（1）求的反函數(shù)；（2）求的間斷點91、設(shè)函數(shù)，討論的間斷點92、函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（）（1），（2）（3），（4）93、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且時函數(shù)的極限存在，則函數(shù)在上有界。94、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且存在，證明：函數(shù)在上有界。95、證明方程恰有3個實根。96、若

7、函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得。97、證明：奇次多項式至少存在一個零點。98、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得99、求的一個值，使，這里，均為常數(shù)。100、設(shè)均為常數(shù)，求方程的一個解。101、設(shè)在附近有界，且滿足方程，求102、設(shè)滿足，求103、設(shè)，求104、105、106、107、108、109、110、111、112、設(shè)，證明數(shù)列的極限存在，并求該極限。113、設(shè)，證明收斂114、設(shè)，證明收斂，并求極限115、116、117、表示的取整函數(shù)）118、設(shè)，證明：119、120、設(shè)，試求常數(shù)，121、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試確定，的值。122、設(shè)，求，的值使得在上連續(xù)。12

8、3、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，則常數(shù)，滿足（）（1），（2），（3），（4）124、設(shè)函數(shù)，問函數(shù)在處是否連續(xù)？若不連續(xù)，修改函數(shù)在處的定義，使之連續(xù)。125、求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的間斷點，并判斷其類型。126、設(shè)和在內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有間斷點，則（1）必有間斷點，（2）必有間斷點，（3）必有間斷點，（4）必有間斷點127、設(shè)在內(nèi)有定義，且，則（1）必是第一類間斷點，（2）必是第二類間斷點，（3）必是的連續(xù)點，（4）在的連續(xù)性與有關(guān)，128、設(shè)在上連續(xù)，且，求證（1）存在，使得（2）對任何正整數(shù)，存在，使得129、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得，其中，為任意常數(shù)130、設(shè)函數(shù)在（

9、為自然數(shù)，）上連續(xù)，證明：存在、，使得131、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，試證至少存在一點，使得第二章 導(dǎo)數(shù)與微分132、設(shè)，則=（）133、設(shè)，其中在連續(xù)，求134、設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，在區(qū)間上，若對任意的都滿足，其中為常數(shù)，（1）寫出在區(qū)間上的表達(dá)式，（2）問為何值時，在可導(dǎo)。135、設(shè)，則在處的（）（1）左右導(dǎo)數(shù)都存在，（2）左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在（3）左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在（4）左右導(dǎo)數(shù)都不存在136、設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是（）137、函數(shù)不可導(dǎo)點的個數(shù)是（）（1）3，（2）2，（3）1，（4）0138、設(shè)可導(dǎo)，則是在點處可導(dǎo)的（）（1）充分必要條件（2）充分條件（3）必要條件（4）既

10、非充分也非必要條件139、設(shè)函數(shù)，其中在點處連續(xù)，則是在處可導(dǎo)的（）（1）充分必要條件（2）充分條件（3）必要條件（4）既非充分也非必要條件140、設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，求141、設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，且，則（）（1）且存在，（2）且存在，（3）且存在，（4）且存在，142、設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，且存在，證明：在點處可導(dǎo)143、當(dāng)時，是的高階無窮小，則=（）144、設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，（即存在），且，又，求145、下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)的定義，求出下列各題中的值（1）（2），設(shè)，且存在（3）146、設(shè)函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)存在，是常數(shù)，求極限147、已知，則=（）148、設(shè)，則=（）（1），（2）2（3

11、）（4）4149、設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，且則=（）150、若函數(shù)滿足條件，且（常數(shù)、），求151、設(shè)函數(shù)在上有定義，對任意的有，且存在，求152、設(shè)函數(shù)是上的非零函數(shù)，對任意的有，且，證明：153、設(shè)函數(shù)對任意非零數(shù)，有且，求154、設(shè)函數(shù)，其中為有界函數(shù)，則在處（）（1）極限不存在（2）極限存在，但不連續(xù)（3）連續(xù)但不可導(dǎo)（4）可導(dǎo)155、設(shè)函數(shù)，在處可導(dǎo)，則，156、設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，若函數(shù)在處連續(xù)，則常數(shù)157、設(shè)，其中在處可導(dǎo)，則是的（）（1）連續(xù)點（2）第一類間斷點（3）第二類間斷點（4）連續(xù)點或間斷點不能確定158、設(shè)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件，則曲線在點處的切線斜率為（）（1

12、）2（2）-1（3）（4）-2159、設(shè)周期函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，有，則曲線在點處的切線斜率為（）（1）（2）0（3）-1（4）-2160、一質(zhì)點的運動方程為，試求這質(zhì)點在時的瞬時速度161、車輪運動，其轉(zhuǎn)動角決定于函數(shù)，其中、為常量，為時間，試求其瞬時角速度，并求車輪在何時停止轉(zhuǎn)動。162、有一非均勻的細(xì)桿，其長為20cm，段的質(zhì)量與從點到的距離平方成正比例增加，并且已知一段時，質(zhì)量等于8g，試求：（1）cm的一段軸上的平均線密度（2）全軸的線密度（3）在點的密度163、設(shè)，則164、設(shè)，則165、設(shè)，則166、若，則167、已知，則168、設(shè)函數(shù)可微，則（1）（2）（3）（4）169、設(shè)

13、，其中二階可導(dǎo)，求170、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足：，其中、為常數(shù)，且，求171、設(shè)函數(shù)在上滿足：，試求172、討論函數(shù)（1）在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性（2）求出導(dǎo)函數(shù)173、試確定常數(shù)、的值，使函數(shù)在處可導(dǎo)，并求出導(dǎo)函數(shù)174、設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是（）175、設(shè)，試討論在點處的連續(xù)性176、設(shè)，其中有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，（1）求（2）討論在上的連續(xù)性177、設(shè)，則178、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，求179、設(shè)，則180、設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且，則181、設(shè)函數(shù)的反函數(shù)及、均存在，且，則182、設(shè)，則183、設(shè)，則184、設(shè)，則185、已知具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，求186、設(shè)，其中在點的一個鄰域內(nèi)有

14、階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則187、求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)188、設(shè)函數(shù)由方程確定，求189、設(shè)方程確定為的函數(shù)，則190、函數(shù)由方程所確定，則191、已知函數(shù)由方程確定，則192、方程確定函數(shù)，求193、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，求194、設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，求195、設(shè)，求196、設(shè)，求197、曲線在點處的法線方程為（）198、設(shè)，其中可導(dǎo)，且，則199、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，則200、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)自變量在處取得增量時，相應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為0.1，則（1）-1（2）0.1（3）1（4）0.5201、設(shè)，其中可微，則202、設(shè)函數(shù)由方程所確定，

15、則203、設(shè)方程確定函數(shù)，則204、已知，則205、求下列極限：（1）（2）（3）206、已知函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，求207、設(shè)可導(dǎo)，若使在處可導(dǎo)，則必有（）（1）（2）（3）（4）208、設(shè)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)（）（1）在處左極限不存在，（2）有跳躍間斷點（3）在處右極限不存在，（4）有可去間斷點209、設(shè)，則在點處可導(dǎo)的充要條件是（）（1）存在，（2）存在，（3）存在，（4）存在210、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若當(dāng)時，恒有，則必是的（）（1）間斷點（2）連續(xù)而不可導(dǎo)點（3）可導(dǎo)點，且（4）可導(dǎo)點211、設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則函數(shù)在點處不可導(dǎo)的充要條件是（）（1）且（2）且，（3

16、）且（4）且212、設(shè)在上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（）（1）至少存在一點，使得（2）至少存在一點，使得（3）至少存在一點，使得（4）至少存在一點，使得213、設(shè)函數(shù)，則在上不可導(dǎo)點的個數(shù)為（）214、設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且存在，試證明函數(shù)是連續(xù)的，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。215、設(shè)（為常數(shù)，且），問滿足什么條件，才能使（1）在上連續(xù)（2）存在，（3）在上有界216、設(shè)函數(shù)，試問為何值時，217、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，求218、設(shè)由，求219、設(shè)函數(shù)由方程組所確定，試求220、設(shè)是拋物線上的一點，若在該點的切線過原點，則系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系是（）221、已知曲線與軸相切，則222、設(shè)函數(shù)由

17、方程所確定，則曲線在點處的法線方程為（）223、曲線在處的切線方程（）224、設(shè)函數(shù)由方程組所確定，則曲線在處的法線與軸交點的橫坐標(biāo)是（）225、對數(shù)螺線在點處的切線的直角坐標(biāo)方程為（）226、已知曲線的極坐標(biāo)方程是，求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標(biāo)方程是（）227、已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式其中是當(dāng)時比的高階無窮小，且在處可導(dǎo)，求曲線在點處的切線方程228、如圖所示，設(shè)曲線的方程為，且。又、分別為該曲線在點處的切線和法線，已知的長度為，試推導(dǎo)出點的坐標(biāo)表達(dá)式229、曲線的切線與軸和軸圍成一個圖形，記切點的橫坐標(biāo)為，試求切線方程和這個圖形的面積。當(dāng)切點沿曲線趨

18、于無窮遠(yuǎn)時，該面積的變化趨勢如何？第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用230、驗證羅爾定理對在上的正確性231、驗證函數(shù)在上是否滿足拉格朗日定理，若滿足，求出滿足定理中的232、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：至少存在一點，使得233、設(shè)在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，設(shè)，試證：在內(nèi)存在一點，使得234、若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，其中，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得235、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：（1）存在，使得（2）對任意實數(shù)，必存在，使得236、設(shè)拋物線與軸有兩個交點、，有在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，若曲線與在內(nèi)有一個交點，求證，在內(nèi)存在一點，237、不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程，有幾個實根，并指出

19、他們所在的區(qū)間238、設(shè)是滿足的實數(shù)，證明多項式在內(nèi)至少有一個零點239、若方程有一個正根，證明方程必有一個小于的正根。240、設(shè)滿足的實數(shù)，證明方程在內(nèi)至少有一個實根241、設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點處的增量，與分別為在點處的增量與微分，若，則（）（1）（2）（3）（4）242、設(shè)函數(shù)在內(nèi)有界且可導(dǎo)，則（）（1）當(dāng)時，必有，（2）當(dāng)存在時，必有（3）當(dāng)時，必有，（4）當(dāng)存在時，必有，243、設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)，則（）（1）當(dāng)時，必有，（2）當(dāng)時，必有（3）當(dāng)時，必有，（4）當(dāng)時，必有244、以下命題中，正確的是（）（1）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（2）若在內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)有界（3）若在內(nèi)有界

20、，則在內(nèi)有界（4）若在內(nèi)有界，則在內(nèi)有界245、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則（）（1）當(dāng)時，存在，使得（2）對任意的，有（3）當(dāng)時，存在，使得（4）存在，使得246、設(shè)在區(qū)間上，則，或的大小順序是（）（1）（2）（3）（4）247、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，證明：在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得248、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，且不恒等于常數(shù)，證明：在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得249、假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，過點與的直線與曲線相交于點，其中。證明：在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得250、證明恒等式：251、證明恒等式：252、證明不等式：253、已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，

21、求254、設(shè)，證明：，其中在與之間255、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在，使得256、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在，使得257、試證：258、計算259、計算：260、計算：261、262、263、264、設(shè)，其中，則必有（）（1）（2）（3）（4）265、求266、求267、求268、求269、求270、求271、求272、計算：273、計算：274、計算：275、求276、求277、278、若均為常數(shù)，求279、求280、為自然數(shù)）281、設(shè)時，與是同階無窮小，則（1）1，（2）2，（3）3，（4）4282、設(shè)時，與是等價無窮小，則283、試確定常

22、數(shù)的值，使得，其中是當(dāng)時比高階的無窮小。284、若在上連續(xù)，則285、已知在處連續(xù)，則286、設(shè)，試補充定義，使得在上連續(xù)。287、設(shè)，求函數(shù)的間斷點并指出其類型。288、的麥克勞林公式公式中項的系數(shù)是（）。289、求函數(shù)在處帶拉格朗日型余項的階泰勒展開式。290、設(shè)，則（）（1），（2），（3），（4）291、292、293、設(shè)當(dāng)時，是比高階的無窮小，則（）（1）（2）（3），（4）294、設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，若在時是比高階的無窮小，試確定的值295、試證明：若在上存在二階導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使得296、設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，在上的最小值等于-1，試證明至少存在一點，使得。2

23、97、設(shè)三階可導(dǎo)，且，證明：298、設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且對任意的，當(dāng)時，都有，則（）（1）對任意的，（2）對任意的，（3）函數(shù)單調(diào)增加（4）函數(shù)單調(diào)增加299、設(shè)函數(shù)、是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且，則當(dāng)時，有（）（1），（2）（3），（4）300、設(shè)在上，則則，或的大小順序是（）（1）（2）（3）（4）301、已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，嚴(yán)格單調(diào)減少，且，則（）（1）在和內(nèi)均有（2）在和內(nèi)均有（3）在內(nèi)有，在內(nèi)（4）在內(nèi)有，在內(nèi)302、若，在內(nèi)且，則在內(nèi)有（）（1），（2）（3）（4）303、證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加304、設(shè)在上連續(xù)，在上存在且大于零，記，證明：在內(nèi)單調(diào)增加。305、試證:當(dāng)時，3

24、06、設(shè)，證明：（1）（2）307、證明：時，有308、設(shè)，問和，何者最大？為什么？309、設(shè)，常數(shù)，證明：310、設(shè)，證明：311、設(shè),證明：對任何,有312、當(dāng)取下列哪個值時，函數(shù)恰有兩個不同的零點（）（1）2（2）4（3）6（4）8313、設(shè)常數(shù)，函數(shù)在內(nèi)零點的個數(shù)為（）（1）3（2）2（3）1（4）0314、在區(qū)間內(nèi)，方程（）（1）無實根（2）有且僅有一個實根（3）有且僅有兩個實根（4）有無窮多實根315、討論函數(shù)的零點，其中316、函數(shù)的拐點是（）317、曲線（）（1）沒有拐點（2）有兩個拐點（3）有一個拐點（4）有三個拐點318、曲線的拐點個數(shù)為（）（1）0（2）1（3）2（4）3

25、319、點是曲線的拐點，則應(yīng)滿足什么條件？320、設(shè)，則（）（1）是的極值點，但不是曲線的拐點（2）不是的極值點，但是曲線的拐點（3）是的極值點，且是曲線的拐點（4）不是的極值點，且也不是曲線的拐點321、設(shè)，則下列選項正確的是（）（1）是的極大值，（2）是的極大值（3）是的極小值，（4）是曲線的拐點322、設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式，且，則（）（1）是的極大值（2）是的極小值（3）是曲線的拐點（4）不是的極值，不是曲線的拐點323、曲線的的凸區(qū)間是（）324、求曲線的凹凸區(qū)間和拐點325、函數(shù)在區(qū)間的圖形是（）（1）凹的（2）凸的（3）既是凹的又是凸的（4）直線326、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線凸的

26、的取值范圍是（）327、證明：當(dāng)時，有328、證明：當(dāng)時，329、設(shè)，下列命題正確的是（）（1）是的極大值，是極小值，（2）是的極小值，是極大值（3）是的極大值，也是極大值（4）是的極小值，也是極小值330、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（）（1）一個極小值點和兩個極大值點（2）兩個極小值點和一個極大值點（3）兩個極小值點和兩個極大值點（4）三個極小值點和一個極大值點331、設(shè)是滿足方程的解，且，則在（）（1）的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加，（2）的某鄰域內(nèi)單調(diào)減少（3）處取得極小值（4）處取得極大值332、已知函數(shù)對一切滿足，若，則（）（1）是的極大值，（2）是的極小值（3）是曲線的拐點（

27、4）不是的極值，也不是曲線的拐點333、設(shè)的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)，有，則（）（1）是的極小值，（2）是的極大值（3）是曲線的拐點（4）不是的極值，不是曲線的拐點334、設(shè)，則在點處（）（1）的導(dǎo)數(shù)存在。且，（2）取得極大值（3）取得極小值（4）的導(dǎo)數(shù)不存在335、設(shè)是方程的一個解，若，且，試判斷是否為極值點？如果是極值點，那么是極大值點還是極小值點？336、設(shè)函數(shù)由方程所確定。試求的駐點，并判斷是否為極值點？337、已知二次方程有實根，試問當(dāng)為何值時，它是方程兩根之積的極值點，并求極值338、求的范圍，使函數(shù)既無極大值又無極小值？339、設(shè)，在內(nèi)的駐點為，問為何值時，最小，并求出最小值？340、作半徑

28、為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積最小，并求出該最小值。341、寬度為米的河流修筑一條寬為米的運河，二者成直角相交，問能駛進(jìn)該運河的船，其最大長度為多少？342、證明：若，則對于內(nèi)任意，有343、設(shè)、是大于1的常數(shù)，且，證明：對于任意，有344、設(shè)，且，證明：345、曲線的水平漸近線方程為（）346、當(dāng)時，曲線（）（1）有且僅有水平漸近線（2）有且僅有鉛直漸近線（3）既有水平漸近線也有鉛直漸近線（4）既無水平漸近線也無鉛直漸近線347、曲線的漸近線有（）（1）1條（2）2條（3）3條（4）4條348、曲線（）（1）僅有水平漸近線（2）僅有鉛直漸近線（3）既有水平漸近線也有鉛直漸近

29、線（4）既有鉛直漸近線又有斜漸近線349、曲線的漸近線方程是（）350、曲線的斜漸近線方程為（）351、已知曲線滿足，求該曲線的斜漸近線352、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，并求該函數(shù)圖形的漸近線353、已知函數(shù)，求（1）函數(shù)的增減區(qū)間及極值（2）函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點（3）函數(shù)圖形的漸近線354、設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如圖354（1）所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖354（2）中的（）355、作出函數(shù)的圖像356、設(shè)擺線，問為何值時曲率最小，并求出最小曲率和該點處的曲率半徑357、如圖所示，設(shè)曲線上的方程，且，又分別是該曲線在點處的切線和法線，已知線段長度為，求點的坐標(biāo)表達(dá)式358、設(shè)是拋物線上任

30、一點處的曲率半徑，是該拋物線上介于點與之間的弧長，計算的值359、求曲線上曲率半徑為最小的點的坐標(biāo)360、汽車連同載重共5噸，在拋物線拱橋上行駛，速度為21.6，橋的跨度為10米，拱的矢高為0.25米，求汽車越過橋頂時對橋的壓力。361、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證必存在使得362、假設(shè)函數(shù)和在上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，試證（1）在開區(qū)間內(nèi)（2）在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得363、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證至少有一點，使得364、設(shè)在上連續(xù)，且，證明，其中365、假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，過點與的直線與曲線相交于點，其中，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得366、設(shè)函數(shù)和在上連

31、續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，證明：存在，使得367、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且有，則至少有一點，使得368、設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在必有與，使得369、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,試證：存在、，使得370、已知函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。證明：（1）存在，使得（2）存在兩個不同的點，使得371、設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件，其中都是非負(fù)常數(shù)，是內(nèi)任意一點（1）寫出點處帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式（2）證明：372、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得373、設(shè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，且，試證：在上至少存在一點，使得37

32、4、設(shè)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)二階可導(dǎo)，且，試求：，和的值。375、設(shè)，證明不等式：376、設(shè)，證明：377、證明：當(dāng)時，378、討論函數(shù)有幾個零點？379、設(shè)有方程，（1）當(dāng)、滿足何種關(guān)系時，方程有唯一實根（2）當(dāng)、滿足何種關(guān)系時，方程無實根380、討論曲線與的交點個數(shù)381、就的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論382、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（）（1）是的極大值（2）是的極小值（3）是曲線的拐點（4）不是的極值，也不是曲線的拐點383、設(shè)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，若，且，則（）（1）在點去的極小值（2）在點去的極大值（3）點為曲線的拐點（4）在點的某鄰域內(nèi)單調(diào)減少3

33、84、設(shè)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且，而，試證：點為曲線的拐點，而不是的極值點。385、設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，且，而，試證：（1）當(dāng)為偶數(shù)，且時，則為極小值；當(dāng)為偶數(shù)，且時，則為極大值（2）當(dāng)為奇數(shù)時，不是極值第四章 不定積分386、下列函數(shù)中，不是的原函數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）387、若的導(dǎo)函數(shù)為，則的一個原函數(shù)是（）（1）（2）（3）（4）388、設(shè)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）（1） （2）（3）（4）389、若，則為（）（1）（2）（3）（4）390、設(shè)、是區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)的兩個不同的原函數(shù)，且，則在區(qū)間內(nèi)必有（）（1）（2）（3）（4）391、下列等式中正確

34、的是（）（1）（2）（3）（4）392、若，則=（）393、如果等式，則=（）（1）（2）（3）（4）394、求395、設(shè)，且，則=（）（1）（2）（3）（4）396、設(shè)，則397、求下列不定積分（1）（2）（3）（4）（5）398、求399、求400、一曲線通過點，且在任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求該積分曲線401、設(shè)是的一個原函數(shù)，則=（）（1）（2）（3）（4）402、設(shè)，求403、如果，則=（）（1）（2）（3）（4）404、求下列不定積分（1）（2）405、已知，且，則=（）406、求下列函數(shù)的不定積分（1）（2）（3）（4）（5）407、求下列三角函數(shù)的不定積分（1）（

35、2）（3）（4）（5）（6）408、求下列不定積分（1）（2）（3）（4）409、求410、求411、求412、求413、求414、求415、求416、求417、計算418、419、420、421、422、423、424、設(shè)，求425、426、427、428、設(shè)，計算429、已知的一個原函數(shù)為，則=（）430、已知是函數(shù)的一個原函數(shù)，求431、設(shè)的一個原函數(shù)為，求432、求下列不定積分（1）（2）（3）（4）433、求下列不定積分（1）（2）434、435、436、437、438、439、440、441、設(shè)，且，求442、443、444、445、446、設(shè)，求447、448、449、第五章 定

36、積分450、設(shè)，則有（）（1）（2）（3）（4）451、設(shè)， ，則（）（1）（2）（3）（4）452、設(shè)函數(shù)和在上連續(xù)，且，則對任何（）（1）（2）（3）（4）453、估計積分的值454、證明：455、若，則456、已知，試求457、設(shè)，求458、設(shè)，且，求及459、下列積分中可直接用牛頓萊布尼茨公式計算的是（）（1）（2）（3）（4）460、461、求下列定積分（1），（2）462、設(shè)是到離最近的整數(shù)的距離，求463、設(shè)函數(shù)，記，則（）（1）（2）（3）（4）464、設(shè)，則（）（1）在點不連續(xù)（2）在內(nèi)連續(xù)，在點不可導(dǎo)（3）在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足（4）在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足465、設(shè)，其中，則在區(qū)

37、間內(nèi)（）（1）無界（2）遞減（3）不連續(xù)（4）連續(xù)466、467、求，其中當(dāng)時，而468、469、470、471、472、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則（1）（2）（3）（4）473、 474、475、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則（1）（2）（3）（4）476、設(shè)為奇函數(shù)，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則是（）（1）連續(xù)的奇函數(shù)（2）連續(xù)的偶函數(shù)（3）在間斷的奇函數(shù)（4）在間斷的偶函數(shù)477、設(shè)，則函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是（）478、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且。試證：（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)（2）若單調(diào)不增，則單調(diào)不減479、求函數(shù)的最大值和最小值480、設(shè)，則（）（1）（2）（3）（4）481、設(shè)，則（1）為正常數(shù)（

38、2）為負(fù)常數(shù)（3）恒為零（4）不為常數(shù)482、設(shè)，求483、設(shè)，求、在的值484、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)且，求485、求極限486、確定常數(shù)的值，使得487、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限488、設(shè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，且，證明：489、把時的無窮小量，排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是（）（1）（2）（3）（4）490、設(shè)、在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)時，是的高階無窮小，則當(dāng)時，是的（）（1）低階無窮?。?）高階無窮?。?）同階但非等價無窮?。?）等價無窮小491、設(shè)函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，且當(dāng)時，與是同階無窮小，則（1）1（2）2（3）3（4）4492、設(shè)在處連續(xù)，求493、設(shè)試討論在處

39、連續(xù)性和可導(dǎo)性494、設(shè)，則495、設(shè)，則496、若，則之值（）（1）依賴于（2）依賴于（3）依賴于，不依賴于，（4）依賴于497、求定積分498、499、500、501、502、503、已知，求的值504、當(dāng)時，證明：505、設(shè)連續(xù)，證明：506、證明：507、設(shè)在上連續(xù)，證明：508、設(shè)在上的連續(xù)函數(shù)，證明：509、設(shè)為整數(shù)，證明：510、設(shè)在上連續(xù)，且是周期為的周期函數(shù)，證明：511、設(shè)連續(xù)，且關(guān)于對稱，證明：512、試證：513、計算：514、計算：515、計算：516、求517、518、設(shè)，求519、計算：520、設(shè)，求521、設(shè)有一個原函數(shù)，則=（）522、已知，及，則523、如圖

40、所示曲線的方程為，點是它的一個拐點直線與分別是曲線在點與處的切線，其交點為，設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計算定積分524、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且。已知，求525、設(shè)函數(shù)、在上連續(xù)，且滿足，證明：526、下列廣義積分收斂的是（）（1） （2） （3）（4）527、528、529、530、531、532、533、534、535、試確定積分在取什么值時收斂，取什么值時發(fā)散？536、537、已知，求538、539、540、已知，求541、試證：542、已知，求常數(shù)的值543、設(shè)，則常數(shù)=（）544、求實數(shù)，使得收斂，并求出該積分值545、下列廣義積分發(fā)散的是（）（1）（2）（3）（4）546、547、下列結(jié)論中正

41、確的是（）（1）與都收斂，（2）與都發(fā)散（3）發(fā)散、收斂（4）收斂、發(fā)散548、549、550、551、552、已知，且，則553、已知兩曲線與在點處的切線相同，寫出此切線方程，并求極限554、設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)為正整數(shù)，且時，證明：（2）求555、若在上連續(xù)，試證：其中556、若在上連續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）（1） （2） （3）（4）557、若在上連續(xù)，是的原函數(shù)，則（）（1）當(dāng)是奇函數(shù)時，必為偶函數(shù)（2）當(dāng)是偶函數(shù)時，必為奇函數(shù)（3）當(dāng)是周期函數(shù)時，必為周期函數(shù)（4）當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時，必為單調(diào)增函數(shù)558、設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，表示“的充分必要條件是”，則必有（）（1）是偶

42、函數(shù)是奇函數(shù)（2）是奇函數(shù)是偶函數(shù)（3）是周期函數(shù)是周期函數(shù)（4）是單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增奇函數(shù)559、設(shè)，其中有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，研究（1）的連續(xù)性（2）求，并研究在點處的連續(xù)性560、設(shè)連續(xù)，且（為常數(shù)），求并討論其在點處的連續(xù)性561、對于一切實數(shù)，函數(shù)連續(xù)的正函數(shù)且可導(dǎo)，同時有，又函數(shù)，證明：是單調(diào)增加的求出使取最小值的值將的最小值當(dāng)作的函數(shù)，使其等于，并求562、設(shè)，求函數(shù)的表達(dá)式563、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求564、設(shè)函數(shù)、滿足，且，求565、設(shè)函數(shù)在內(nèi)滿足，且，計算566、設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（1）證明：（2）利用（1）的結(jié)論計算定積分567、設(shè)（1）證明是以為周期的

43、周期函數(shù)（2）求的值域568、設(shè)連續(xù)函數(shù)滿足，試證明：569、證明：570、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：571、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，求證：572、設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得573、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證在內(nèi)至少存在一點，使得574、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，證明存在點，使得575、設(shè)，其中，證明：（1），（2），（3）576、設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，且，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，證明存在一點，使得577、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（1）寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式（2）證明：在上至少存在一點，使得578、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且遞減，證明：當(dāng)時，57

44、9、（1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，證明：；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單增，證明：580、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，試證：581、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，證明：582、設(shè)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，求證：583、設(shè)函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，且，試證至少存在一點，使得584、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，若極限存在，證明：（1）在內(nèi)（2）在內(nèi)存在點，使得（3）在內(nèi)存在與（2）中相異的點，使得585、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：在內(nèi)存在點，使得586、若在上連續(xù)，且，證明：587、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，試證明：588、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)的根是（）（1）0個（2）1個（

45、3）2個（4）無窮多個589、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，證明：方程在內(nèi)有且僅有一個根。590、設(shè)在上函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個零點。定積分的應(yīng)用591、設(shè)在區(qū)間上，令、，則（）（1）（2）（3）（4）592、由曲線，及所謂圖形的面積是（）593、曲線與軸所圍圖形的面積可表示為（）（1）（2）（3）（4）594、曲線與軸所圍圖形的面積=（ ）595、求曲線與直線、及所圍成的圖形的面積。596、從點引兩條直線與曲線相切，求由此兩條切線與曲線所圍圖形的面積597、在第一象限內(nèi)，求曲線上一點，使該點處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積。598、已知曲線與曲線在

46、點處有公共切線，求（1）常數(shù)及切點（2）兩曲線與軸所圍圖形的面積599、已知拋物線（其中）在第一象限內(nèi)與直線相切，且此拋物線與軸所圍的平面圖形的面積為那。（1）問為何值時，最大？（2）求此最大值600、設(shè)曲線與它兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為，其中一條切線與曲線相切于點，試證：當(dāng)時，面積最小601、位于曲線下方，軸上方的無界圖形的面積是（）602、設(shè)，表示夾在軸與曲線之間的面積，對任何，表示矩形的面積，求（1）的表達(dá)式（2）的最小值603、雙紐線所圍成的平面圖形的面積可用定積分表示為（）（1）（2）（3）（4）604、設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，則該曲線上相應(yīng)于從0變到的一段弧與極軸所圍

47、成的圖形的面積為（）605、求心臟線與圓所圍成各部分的面積（）606、求曲線及所圍成的圖形的公共部分的面積607、求曲線及所圍成的圖形的公共部分的面積608、某立體上、下底面平行，且與軸垂直，若若平行于底面的截面面積是的不高于二次的多項式，試證該立體體積為：，其中為立體的高，分別為底面面積，為中截面面積。609、設(shè)有一正橢圓柱體，其底面長、短軸分別為、，用過此柱體底面的短軸且與底面成角（）的平面截此柱體，得一楔形體，求此楔形體的體積610、求曲線，所圍成的平面圖形的面積，并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積611、星形線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積612、已知一拋物線通過軸上的兩點（1）求證

48、：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍圖形的面積等于軸與該拋物線所圍圖形的面積（2）計算上述兩個平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得兩個旋轉(zhuǎn)體的體積體積之比613、求曲線與所圍成的兩個圖形中較小的一塊分別繞、軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積614、求曲線、和所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積615、求平面上的圓盤繞軸旋轉(zhuǎn)所得圓環(huán)體的體積616、已知曲線與曲線在點處有公共切線，求（1）常數(shù)及切點（2）兩曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積617、在曲線上某點處作一切線，使之與曲線以及軸所圍成的圖形的面積為，試求：（1）切點的坐標(biāo)（2）過切點的切線方程（3）由上述所謂平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積618、求

49、曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積619、過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成的平面圖形。（1）求平面圖形的面積（2）求平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積620、設(shè)平面圖形由與所確定，求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積621、設(shè)曲線與交于點，過坐標(biāo)原點和點的直線與曲線圍成一平面圖形。問為何值時？該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大，最大體積是多少？622、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)大于零，并滿足為常數(shù)），又曲線與，所圍成的圖形的面積為2，求函數(shù)，并問為何值時，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最?。?23、設(shè)是由拋物線和直線，及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直

50、線、所圍成的區(qū)域，其中（1）試求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積；繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積（2）問為何值時，取得最大值？試求該最大值624、設(shè)有曲線，過原點作其切線，求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的表面積。625、求擺線一拱的弧長626、在擺線上求分?jǐn)[線第一拱成的點的坐標(biāo)。627、對數(shù)螺線上到的一段弧628、求心臟線的全長，其中是常數(shù)629、設(shè)位于第一象限的曲線過點，其上任一點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分。（1）求曲線的方程；（2）已知曲線在上的弧長為，試用表示曲線的弧長。630、半徑等于米的半球形水池，其中充滿了水，把池內(nèi)的水完全吸盡，需作多少功？（水的密度

51、，設(shè)重力加速度為）631、為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井中，抓起污泥后提出井口，已知井深30米，抓斗自重400噸，纜繩每米重50噸，抓斗抓起的污泥重2000噸，提升的速度為3米/秒，在提升過程中，污泥以20噸/秒的速率從抓斗縫隙中漏掉?，F(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？632、某建筑工地打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層。汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功，設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為），汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下米，根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)，問（1）汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)

52、地下多深？（2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多可以將樁打進(jìn)地下多深？633、底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，鉛直地沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3厘米，試求它每面所受的壓力（設(shè)重力加速度為）634、某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線為對稱軸，閘門的上部為矩形，下部由二次拋物線與線段所圍成，當(dāng)水面與閘門的上端相平時，欲使閘門矩形部分承受的水壓力與閘門下部承受的水壓力之比為5：4，閘門矩形部分的高應(yīng)為多少米？635、設(shè)星形線上每一點處的線密度的大小等于該點到原點的距離的立方，在原點處有一單位質(zhì)點，求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力。636、設(shè)有質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，線密度為

53、常量，長為，在桿的中垂線上到桿距離為處有一單位質(zhì)點，求桿對這質(zhì)點的引力。637、一質(zhì)量為，長為的均勻桿吸引著質(zhì)量為的一質(zhì)點，此質(zhì)點位于桿的延長線上，并與較近端點的距離為，試求（1）桿與質(zhì)點間的相互吸引力；（2）總質(zhì)點在桿的延長線上從距離處移至處時，克服吸引力所作的功。638、設(shè)人呼出或吸入的氣流的速率，可用一個正弦曲線來描述，其中時間（單位為秒），從某次吸氣開始時計算起，是最大氣流速率，為一次呼吸所用時間，當(dāng)正弦曲線函數(shù)值為正時，人正在吸氣；反之，正在呼氣。在吸氣的某個時間段上，曲線與、及軸所圍成的圖形面積就是人在這個時間段上吸入的空氣總量，試求人每次吸氣時吸入空氣的總量。639、設(shè)平面上有正方形及直線，若表示正方形位于直線左下方部分的面積，試求640、如圖所示，和分別是和的圖像，過點的曲線是一單調(diào)增函數(shù)的圖形，過上任一點分別作垂直于軸和軸