2013年北約自主招生試題與答案解析word版

1、 .專業(yè).專注.2013“北約”自主招生試題2013-03-16(時(shí)間 90 分鐘,滿分 120 分)一、選擇題(每題 8 分,共 48 分)21.以和1 2 為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式的最高次數(shù)最小為()3356A.2B.C.D.【解】由x 2,可知 ,同理由x21 2 x可知(1 x) 2;3321所以方程(x 2)(1 x) 2 0的次數(shù)最小,其次數(shù)為 5,故選 C.232.在66的表中停放3輛完全相同的紅色和3輛完全相同的黑色車,每一行每一列只有一輛車,每輛車只占一格,共有種停放方法.2051840014400A. 720B.C.D.【解】紅色車選 3 列有C 20種方法,再?gòu)倪@三列中選三

2、行有 種方法,另外將紅色車C203366放在已選好的三列三行中有3 2 6種方法,同理黑色車只能從剩下的三行三列九個(gè)格中選,也有32 6種方法,因此方法數(shù)有(20 206)6 14400種.故選 D.3.已知(),則)x2 2y 5, y 22x 5 x yx 2x y y值為(322310122x 5兩式作差得 x y 2(x y)1416A.B.C.D.【解】由 2y 5與 y ,代入兩式中分別化出t 2t 1 0的兩個(gè)不等實(shí)根,于是x22x 2x 1 0 、 y 2y 1 0 x, y是方程,所以222x y 2, xy 1,也所以D.x3 2 x2y2 y3( x y)( x y) 3

3、 xy 2( xy) ( 2) 7 2 16.故選22. word 可編輯 . .專業(yè).專注.4.在數(shù)列 中, 1, 4 2 ( ),則n1值為()aa1Saann1n2013A.3019 220123019 220133018 22012B.C.)可知,D. 無(wú)法確定【解】由a 1 S4a 2 n 1,(1n1n當(dāng) 1時(shí), S 4a 2,所以a 5;n212當(dāng) 時(shí),有2S 4a 2(n 2),由-式得,nnn1a 4a 4a (n 2),即a2a 2(a a )(n 2) 且 a 2a 3,n1nn1n1nnn12132aaa所以(),同除以2 得,且1;1a2a 3 2 n N*nn1n1

4、n2220n1nnn13a所以1 n,故令n 2012時(shí),得 2 3019,故選 A.2012an1222013n5.在ABC 中 D 為 BC 中點(diǎn) DM 平分 ADB 交 AB于點(diǎn) M DN 平分 ADC 交 AC 于 N,B則BM CN MN 與的關(guān)系為()MD CN MN CN MN CN MNA. BMB. MNC. BMACND.無(wú)法確定 DB 連接 ME, NE,MN【解】如圖,在 DA取 DE,BMME MB ,EN NC,D則顯然可證E且有,即,AME NE MN上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)MED180BM CN MNCN DEN 180,也即 ,BC這顯然與三角形內(nèi)角和定理矛盾,故等

5、號(hào)取不到,. word 可編輯 . .專業(yè).專注.也即選 A.BC AC ABA B C6.模長(zhǎng)都為 1 的復(fù)數(shù) A,B,C滿足A B C 0,則的模長(zhǎng)為()1A.12B.C.D. 無(wú)法確定2【解】由題知AA BB CC1,所以BC AC AB2BC AC AB BC AC AB,A B CA B C B CABC AC ABA B C2BC AC AB BC AC AB也即A B C B CA3 BA C A AB CB AC BC3 AB AC BA BC C A CB1,故選 B.二、解答題(每題 18 分,共 72 分)7.最多能找多少個(gè)兩兩不相等的正整數(shù)使其任意三個(gè)數(shù)之和為質(zhì)數(shù),并證

6、明你的結(jié)論.【解】:至多有 4 個(gè).首先可以取 1,3,7,9 這四個(gè)數(shù),它們?nèi)我馊齻€(gè)數(shù)之和分別為 11,13,17,19 符合質(zhì)數(shù)定義.下面再證明 5 個(gè)正整數(shù)是不符合題意的.若有 5 個(gè)正整數(shù),則考慮這五個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù),如果有一個(gè)數(shù)的余數(shù)為 0,那么考慮余下的 4 個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù),如果余數(shù)既有 1 也有 2,那么這兩個(gè)數(shù)與前面余數(shù)為 0 的數(shù)的和剛好為 3 的倍數(shù),故不符合題意,如果余下四個(gè)數(shù)的余數(shù)均相等,顯然取余下四個(gè)數(shù)中的三個(gè)數(shù),則這三個(gè)數(shù)的和為 3 的倍數(shù)不是質(zhì)數(shù),也不符合題意,如果這 5 個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)都不等于 0,則由抽屜原理,至少有 3 個(gè)數(shù)被 3 除的余數(shù)相

7、同,這三個(gè)數(shù)的和是 3 的倍數(shù)不是質(zhì)數(shù),也不符合題意.綜上可知,不存在 5 個(gè)正整數(shù)符合題意,即至多有 4 個(gè)正整數(shù)符合題意.8.已知a a a a 0,且| a 2a | a 2a | | a 2a |.1232013122320131. word 可編輯 . .專業(yè).專注.證明: a a a 0 .a1232013【證明】:觀察可知a a a a 0 ,1232013即(2 ) (2 ) (2a a ) (2a a ) 0 a a a a21322013201212013又| 2 | 2 | | a 2a | ,不妨設(shè)| a 2a | t ,a1aaa3222013112則可寫為 (201

8、3 ) 0(0 2013, ) ,即(2k 2013)t 0,ktk tkk N又顯然a 2a ,a 2a , ,a 2a ,a 2a2k 2013 0,則有t 0,于是有,所以 a 2 a2013,即.a 012232012201320131111也所以 a 0 ,即證.a a a12320139.對(duì)于任意 ,求32cos cos6 6cos4 15cos2的值.6【解】32cos cos6 6cos4 15cos261 co s2 32(3) co s66 cos 415 co s 224 (1 cos 2 3 cos 233 cos 2 ) (3cos 2 4 cos 2 ) 6co s

9、24 15 cos234 12 cos 2 6 c os 4 4 6(1 cos4 ) 6 cos 4即求.10210.有一個(gè) 的數(shù)表,已知每一行的數(shù)均是由小到大排列.現(xiàn)在將每一列的數(shù)由小到大重m n新排列,則新的數(shù)表中每一行的數(shù)滿足什么樣的關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.,使得數(shù)陣中的每一行從原題敘述:已知有 個(gè)實(shí)數(shù),排列成 階數(shù)陣,記作m n m na ij mnaa .現(xiàn)將a i 1,2,3, ,m j j左到右都是遞增的,即對(duì)意的,當(dāng)時(shí),都有的12ij mnij1ij2m n 階數(shù)陣,記作a每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列 ,形成一個(gè)新的,ij mni 1,2,3,na i1 ia a.試判斷即對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有中每一行的 個(gè)n2ij mni ji j12數(shù)的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由. word 可編輯 . .專業(yè).專注. a【解】:數(shù)陣中每一行的 個(gè)數(shù)從左到右都是遞增的,理由如下:nij mn顯然,我們要證明數(shù)陣a中每一行的 個(gè)數(shù)從左到右都是遞增的,我們只需證明,nij mn a an1,2,3, ,( 1)對(duì)于任意i 1,2,3,m,其中j.,都有iji( j1) a apq,若存在一組p(q1)a a1,2,3, ,m,i ,i , ,i 1,2, ,m,其中 k令,k (q1)ik(q1)12kt p a a.a aa則當(dāng)時(shí),都有i qi (q1)t(q1)p(