從ABAQUS中索單元幾何剛度的測(cè)試到幾何非線性

1、從ABAQUS中索單元幾何剛度的測(cè)試到幾何非線性曲哲2008-5-61.測(cè)試測(cè)試模型為一根兩端固定的索，在中點(diǎn)施加橫向集中力，如圖1所示，索長(zhǎng)為2.0，設(shè)索的軸向剛度EA=1.0，截面積A=1.0。圖1測(cè)試模型設(shè)索的初始線應(yīng)變?yōu)槭艿街悬c(diǎn)為F勺橫向力的作用后產(chǎn)生的附加應(yīng)變?yōu)?hl,則有:cable幾何方程：8cablW+A2CpJG本構(gòu)方程：F=8EA+8EAcablq0cableiF=2FA=2EA(。誠(chéng)pl+A2K=2EA(8+嘰1+A2)101+A2平衡方程：+In；1+A20)亠1+A2其中A為索中點(diǎn)撓度，F(xiàn)為索的軸力，EA為索的軸向剛度。由此式可見，隨著初始cable應(yīng)變的增大，索的橫

2、向剛度將線性增大，而隨著撓度的增大，索的橫向剛度將以更快的速度增大。在ABAQUS中用Truss單元模擬索，并采用溫度應(yīng)力施加初始應(yīng)變。在分析中打開幾何非線性開關(guān)，得到圖2、3所示的結(jié)果。%s0=0.001s0=0.005s0=0.010撓度圖2撓度較小時(shí)ABAQUS分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的比較圖3撓度較大時(shí)ABAQUS分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的比較理論計(jì)算（ABAQUS計(jì)算對(duì)數(shù)應(yīng)變）1/1力0.06%s0=0.001s0=0.005s0=0.010%s0=0.001s0=0.005s0=0.010在索中間點(diǎn)添加質(zhì)量為1.0的集中質(zhì)量，在索中間點(diǎn)加載的軸向變形的剛度4EA/l=2.0，橫向變形的

3、初始剛度（即A=0時(shí)）為K=2EAs00由此可以計(jì)算出具有不同初始應(yīng)變的索的兩階圓頻率如表1所示，ABAQUS計(jì)算的索的圓頻率與理論計(jì)算的結(jié)果基本一致。另外在ABAQUS的計(jì)算中，施加索的初始應(yīng)變之前,索橫向振動(dòng)的頻率非常小，僅為1e-8量級(jí)，施加初始應(yīng)變后則與理論計(jì)算一致，符合實(shí)際情況。%s0=0.001s0=0.005s0=0.010%s0=0.001s0=0.005s0=0.010表1索的圓頻率（括號(hào)中數(shù)值為ABAQUS計(jì)算結(jié)果）%s0=0.001s0=0.005s0=0.010%s0=0.001s0=0.005s0=0.010橫向振動(dòng)0.045軸向振動(dòng)1.4140.141)1.414)

4、0.045)0.1001.407)1.4140.100)0.1411.411)1.414%s0=0.001s0=0.005s0=0.010ln(1+A2)cable2.對(duì)于幾何非線性的認(rèn)識(shí)上面這個(gè)簡(jiǎn)單的幾何剛度的測(cè)試算例促使我對(duì)幾何非線性再次學(xué)習(xí)并有了一些新的認(rèn)識(shí)，但對(duì)于我這樣數(shù)學(xué)差勁的工科腦袋來說，要看懂那一大堆幾何非線性方面的公式推導(dǎo)還真不容易。所以下面僅僅總結(jié)一下目前的認(rèn)識(shí)，以免過幾天就忘了。在力學(xué)三大方程中都可以有幾何非線性的身影，歸納如下：（1）平衡方程中的幾何非線性平衡參考位形（幾何剛度）上面的算例是典型的在平衡方程中考慮幾何非線性的例子，算例中索的幾何剛度產(chǎn)生的本質(zhì)是平衡參考位形

5、的變化。如果始終在初始位形（即索是直的）建立平衡方程，則索中不會(huì)產(chǎn)生任何索力，而上述推導(dǎo)正是以變形后的位形（即索有了撓度）建立平衡方程，更直觀的就體現(xiàn)在下面這個(gè)式子中：F=2F-cable|AJ1+A2同樣著名的例子就是高層建筑中的所謂P-A效應(yīng)，如果始終以結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)形（即沒有發(fā)生側(cè)移）為平衡參考位形，則其豎向剛度將保持不變。但若以結(jié)構(gòu)發(fā)生側(cè)移后（有時(shí)可能是較在的側(cè)移）后構(gòu)形為平衡參考位形，則其豎向剛度將不斷變小。由此可以簡(jiǎn)單認(rèn)為，幾何剛度就是由模型變形引起的剛度，可以通過在變形后的構(gòu)形上建立平衡方程加以考慮。在離散的有限元計(jì)算中，變形后的構(gòu)形是未知的，待求解的，因此以變形后的構(gòu)形為參考構(gòu)形

6、在求解上不太可能。所以在增量求解中將增量步設(shè)得多一些，并用上一步求解結(jié)束時(shí)的構(gòu)形作為參考構(gòu)形，以近似考慮參考構(gòu)形變化對(duì)模型剛度的影響，這就是所謂的UpdatedLagrange方法。而始終以初始構(gòu)形為參考構(gòu)形的則稱為TotalLagrange方法。（2）幾何方程中的幾何非線性應(yīng)變中的二次項(xiàng)通過直接研究線段長(zhǎng)度的變化，可以定義以下兩種應(yīng)變張量：Green應(yīng)變：t80ij=1(tu+tu+tutu)20i,j0j,i0k,i0k,j（又稱為L(zhǎng)agrange應(yīng)變）Almansi應(yīng)變：t8tij=1(tu2ti,j+tu-tj,itututk,itk,j（又稱為Euler應(yīng)變）其中左上標(biāo)表示當(dāng)前時(shí)刻，

7、左下標(biāo)表示參考位形對(duì)應(yīng)的時(shí)刻?？梢?，Lagrange應(yīng)變是以初始位形為參考的，而Almansi應(yīng)變是以變形后的位形為參考的。二者都包括了一個(gè)位移導(dǎo)數(shù)的二次項(xiàng)。對(duì)于小應(yīng)變的情況，這一項(xiàng)可以忽略，如果再同時(shí)忽略參考位移之間的差別，則二者是相等的。固體力學(xué)的有限元程序，比如ABAQUS都采用Lagrange應(yīng)變。是否考慮幾何非線性，對(duì)于幾何方程的影響就在于是否考慮Green應(yīng)變中的二次項(xiàng)。對(duì)于上文中的算例，其Green應(yīng)變應(yīng)該是G8=/1+A2/1cable2但在上文的推導(dǎo)中采用了對(duì)數(shù)應(yīng)變（LogarithmicStrain，又稱“漢奇應(yīng)變”或“真應(yīng)變”,L80.40.5后的長(zhǎng)度一定，項(xiàng)的格林應(yīng)變。

8、0.080.040.02000.50.40.12力0.060.10.1理論計(jì)算（小應(yīng)變）ABAQUS計(jì)算0.20.3撓度力000.080.060.020.040.120.140.10.10.20.3撓度理論計(jì)算（格林應(yīng)變）ABAQUS計(jì)算圖4比較了采用不同的應(yīng)變定義進(jìn)行上文推導(dǎo)得到的不同結(jié)果?？偟膩碚f，如果變形前則對(duì)數(shù)應(yīng)變最小，小應(yīng)變次之，格林應(yīng)變最大。其中小應(yīng)變即指不考慮二階0.40.50.40.5圖4采用不同應(yīng)變定義得到的理論結(jié)果與ABAQUS計(jì)算結(jié)果的比較另外對(duì)于上文算例，不論采用哪種應(yīng)變，當(dāng)撓度較大時(shí)，理論結(jié)果與ABAQUS計(jì)算結(jié)果之間都有或多或少的差異，但以對(duì)數(shù)應(yīng)變相差最小。ABAQ

9、US在它的TheoryManual中討論了一維情況下的對(duì)數(shù)應(yīng)變與格林應(yīng)變的定義，并把格林應(yīng)變推廣到三維情況，同時(shí)稱在處理大轉(zhuǎn)動(dòng)、大位移、小應(yīng)變的問題時(shí)采用格林應(yīng)變，但在程序中卻聲稱對(duì)于幾何非線性問題采用對(duì)數(shù)應(yīng)變，令人無所適從。（3）本構(gòu)方程中的幾何非線性真應(yīng)變與真應(yīng)力量測(cè)材料的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系時(shí)，經(jīng)常采用的是名義應(yīng)力和名義應(yīng)變（即小應(yīng)變），名義應(yīng)力是指力除以初始面積。而對(duì)于大應(yīng)變情況，應(yīng)該采用真應(yīng)力（即力除以變形后的面積）與真應(yīng)變（即對(duì)數(shù)應(yīng)變）來定義材料的本構(gòu)關(guān)系。上文算例中當(dāng)索中央的撓度為0.5時(shí)，對(duì)數(shù)應(yīng)變達(dá)0.1116，應(yīng)屬于大應(yīng)變問題，但上述推導(dǎo)的本構(gòu)方程中雖然采用了對(duì)數(shù)應(yīng)變，但應(yīng)力仍然是名義應(yīng)力，即FcableA=EG+8)0cable這是引起圖4中差異的原因嗎？對(duì)于索單元，它的截面積A不會(huì)隨著拉伸而變小，這是索單元的形函數(shù)決定的。所以即使ABAQUS采用真應(yīng)力，其數(shù)值與名義應(yīng)力也應(yīng)該沒有任何差別。至此，已經(jīng)分析了上文算例中各個(gè)方程中可能包