信號處理原理：連續(xù)時間傅里葉變換

1、信號處理原理連續(xù)時間傅里葉變換2本章概要（導(dǎo)讀）周期信號的正交函數(shù)分解周期信號的傅里葉級數(shù)（建立信號頻譜的概念）非周期信號的傅里葉變換（連續(xù)頻譜）傅里葉變換的性質(zhì)周期信號的傅里葉變換采樣信號（離散信號）的傅里葉變換采樣定理3信號分解直流分量+交流分量偶分量+奇分量實部分量+虛部分量脈沖分量基于正交分量的分解分解結(jié)果是唯一的分 解 方 法第1章介紹第2章講解4正交分解研究（信號）的方法：用熟悉的、已知的信號（表示）陌生、未知的信號用簡單的信號（表示）復(fù)雜的信號對表示的要求：能不能做到少失真？甚至不失真（即完全相等）？現(xiàn)有的分解方法：有的太簡單交直流分量分解、奇偶分量分解、虛實部分量分解有的太粗糙

2、脈沖分量分解希望分解方法：簡單、精確、直觀、有效5正交分解（二維平面）XYVCxVxCyVy簡單、精確、直觀、有效對基本成分有要求。基本分量必須滿足下面的條件：1分成幾部分？（對平面上的矢量：Vx Vy兩個）2每部分之間的關(guān)系？（對平面上的矢量Vx 和 Vy 相互垂直（正交）3每部分分多少？（對平面上的矢量：任意矢量都可唯一地合成出來）6正交分解（多維空間）簡單、精確、直觀、有效基本矢量Vk兩兩之間要垂直（正交）系數(shù)：Vi和Vj垂直的充分必要條件： = 0函數(shù)空間推廣平方可積的函數(shù)空間73 現(xiàn)代信號處理（第2版） 張賢達(dá)8函數(shù)內(nèi)積、正交函數(shù)如果在區(qū)間(t1,t2)上,函數(shù)f1(t)和f2(t)

3、互不含有對方的分量，則稱f1(t)與f2(t)在(t1,t2)上正交。充要條件是它們的內(nèi)積為0函數(shù)f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的內(nèi)積：gn(t): 1nN是區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集的條件：函數(shù)f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的正交：9信號正交分量分解任一函數(shù) f (t)在(t1,t2)上可（近似）表示為正交函數(shù)集內(nèi)函數(shù)的線性組合。正交分量的系數(shù)10信號正交分量分解問題：是否存在某個函數(shù)集能精確地表示其他（任意）函數(shù)？此類集合存在，它們被稱為“完備正交函數(shù)集”（定義一）完備函數(shù)集性質(zhì)：與函數(shù)集中所有函數(shù)都正交的函數(shù)都在函數(shù)集中。也可以按照此性質(zhì)來定義“完備正交函數(shù)集”

4、（定義二）正交函數(shù)集11信號正交分量分解如果滿足級數(shù)展開與信號變換12函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基13正交變換（KL變換）1415傅里葉級數(shù)展開三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集正交函數(shù)集如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，則周期函數(shù)展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。相應(yīng)的級數(shù)通常被稱為“三角形式傅里葉級數(shù)”和“指數(shù)形式傅里葉級數(shù)”。n是非負(fù)的自然數(shù)n是可正可負(fù)的整數(shù)16歷史追憶連續(xù)時間信號可分解為一組基本信號的加權(quán)積分（和）1807年：傅里葉提出“任何”周期信號均可用正弦級數(shù)表示1829年：狄義赫利指出，分解要滿足若干限制條件（三個）應(yīng)用領(lǐng)域很多，如：地球氣候變化分析交流電源的電壓、電流分析海浪、電臺發(fā)射信號等

5、的分析17狄義赫利條件：在一個周期內(nèi)(1) 間斷點的個數(shù)有限(2) 極值點的個數(shù)有限(3) 絕對積分?jǐn)?shù)值有限滿足上述條件的任何周期函數(shù)，都可以展成“正交函數(shù)線性組合”的無窮級數(shù)。歷史追憶18三角形式的傅里葉級數(shù)展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)形式設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T1根據(jù)正交函數(shù)的正交特性，可得：19三角形式FS系數(shù)的計算系數(shù)an和bn統(tǒng)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)，簡稱為傅里葉系數(shù)。信號的直流分量20復(fù)指數(shù)形式的FS系數(shù)計算方法展開成復(fù)指數(shù)函數(shù) 的無窮級數(shù)形式設(shè)周期函數(shù)f(t)的周期為T1基函數(shù)共軛思考：系數(shù)Fn用什么數(shù)學(xué)形式表達(dá)？21偶周期信號和奇周期信號的FS偶周期信號的FSFn只有直流

6、分量和余弦項。奇周期信號的FSFn只有正弦項。積分項為奇函數(shù)積分項為奇函數(shù)22偶周期信號和奇周期信號的FS偶周期信號的FSFn是偶對稱的實數(shù)序列奇周期信號的FSFn是奇對稱的純虛序列思考：如何證明偶對稱？是實數(shù)序列？思考：如何證明奇對稱？是虛數(shù)序列？思考：從上述公式中，你還可以發(fā)現(xiàn)Fn的那些特性？23傅里葉頻譜周期信號的傅里葉頻譜特點：(1) 僅在一些離散頻率點(nf1)上有值。（諧波）(2) 離散間隔為f1, (3) Fn是雙邊譜，正負(fù)頻率的頻譜幅度相加才是實際幅度。(4) 信號的功率為FS譜FS幅度譜FS相位譜由于復(fù)指數(shù)完備正交函數(shù)集中含有正負(fù)項，故為雙邊譜24傅里葉頻譜把傅里葉級數(shù)表示式

7、的兩邊平方，并在一個周期內(nèi)進(jìn)行積分，再利用三角函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性，可以得到周期信號f(t)的平均功率P與傅里葉級數(shù)有下列關(guān)系：25周期信號的平均功率等于傅里葉級數(shù)展開各諧波分量有效值的平方和，也即時域和頻域的能量守恒。上式被稱為：帕斯瓦爾方程傅里葉頻譜26周期信號的FS周期矩形脈沖信號的FS譜線包絡(luò)線為Sa函數(shù)譜線包絡(luò)線過零點位置（兩等號要同時成立）：頻譜譜線的間隔為27周期信號的FS在頻域，能量主要集中在第一個零點以內(nèi) 帶寬只與脈沖的脈寬有關(guān)，而與脈高和周期均無關(guān)實際上，在允許一定失真的條件下，可以要求一個通信系統(tǒng)只把 2 / 頻率范圍內(nèi)的各個頻率分量傳送過去，而舍棄 2 / 的分量。

8、常把 = 0 . 2 / 這段頻率范圍稱為矩形信號的頻帶寬度，簡稱帶寬。28周期信號FS 非周期信號FS周期信號的頻譜譜線的間隔為非周期信號可以看成是周期T1趨于無限大的周期信號非周期信號的譜線間隔趨于無限小，變成了連續(xù)頻譜；譜線長度趨于零。周期信號的頻譜譜線的長度為29問題： 非周期信號，可以視為周期無窮大的周期信號。 在周期趨向無窮大時：譜線間距變密直至為零 變?yōu)檫B續(xù)域譜線高度變矮直至為零從頻譜分量到頻譜密度30從頻譜分量到頻譜密度 考慮：物理意義著手：既是信號，必有能量。無論怎樣， 能量守恒。因此，頻域必會以某種形式存在。數(shù)學(xué)角度思考：無限多無窮小量的和，在極限意義 下，可能等于一個有限

9、值。前面的問題只是說每個 分量變成了無窮小量，但沒有說總和(信號)為零!31從頻譜分量到頻譜密度辦法：引入“頻譜密度”的概念反映的是單位頻帶內(nèi)的頻譜分量值，故稱為“頻譜密度函數(shù)”。連續(xù)變量32從頻譜分量到頻譜密度FS展開式的變化：處處都有諧波“分量”（頻譜密度函數(shù)的概念）33FT：IFT：變換核非周期信號的FT恢復(fù)時域信號的方法FT存在的充分條件：時域信號絕對可積。344 信號處理的小波導(dǎo)引（Stephane Mallat）5 現(xiàn)代數(shù)字信號處理（Roberto Cristi）課外閱讀35課外閱讀36唯一性：如果兩個函數(shù)的FT或IFT相等，則這兩個函數(shù)必然相等?？赡嫘裕篎T與IFT的性質(zhì)37實際物理信號是實信號的頻譜特點為：頻譜實部是偶對稱的頻譜虛部是奇對稱的頻譜相位是奇對稱的實際物理信號的FT38FS與FT的區(qū)別與聯(lián)系信號的傅里葉變換一般為復(fù)值函數(shù)，可寫成幅度頻譜密度函數(shù)相位頻譜密度函數(shù)39從FS到FTT1右側(cè)的周期信號是左側(cè)非周期信號以T1為周期重復(fù)的結(jié)果在區(qū)間中FT與FS的關(guān)系40FT與FS的關(guān)系41推論：若以不同的周期對信號f(t)進(jìn)行周期重復(fù)，對這些不同的周期信號，它