復(fù)變函數(shù)14套題目和答案

1、第 PAGE29 頁 共 NUMPAGES29 頁復(fù)變函數(shù)14套題目和答案復(fù)變函數(shù)論試題庫 復(fù)變函數(shù)考試試題（一） 一、判斷題（20分）： 1.若f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函數(shù)必在整個復(fù)平面為常數(shù). ( ) 3.若收斂，則與都收斂. ( ) 4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）. ( ) 5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù). ( ) 6.若z0是的m階零點，則z0是1/的m階極點. ( ) 7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點. ( ) 8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則. (

2、 ) 9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( ) 10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 二.填空題（20分） 1._.（為自然數(shù)） 2._.3.函數(shù)的周期為_.4.設(shè)，則的孤立奇點有_.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若函數(shù)f(z)在整個平面上處處解析，則稱它是_.7.若，則_.8._，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點為_ .10.若是的極點，則.三.計算題（40分）： 1.設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2. 3. 設(shè)，其中，試求 4.求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四.證明題.(20分) 1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在

3、內(nèi)為常數(shù).2.試證: 在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個單值解析分支, 并求出支割線上岸取正值的那支在的值. 復(fù)變函數(shù)考試試題（二） 1、判斷題.（20分） 1. 若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).( ) 2. cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 有界整函數(shù)必為常數(shù). ( ) 5. 如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則一定不存在. ( ) 6. 若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析. ( ) 7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則對D內(nèi)任一簡單閉曲線C.( ) 8. 若數(shù)列收斂，則與都收斂

4、. ( ) 9. 若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析. ( ) 10.存在一個在零點解析的函數(shù)f(z)使且.( ) 二. 填空題.(20分) 1.設(shè)，則 2.設(shè)，則_.3._.（為自然數(shù)） 4. 冪級數(shù)的收斂半徑為_ .5. 若z0是f(z)的m階零點且m0，則z0是的_零點.6. 函數(shù)ez的周期為_. 7. 方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.8. 設(shè)，則的孤立奇點有_.9. 函數(shù)的不解析點之集為_.10.三.計算題.(40分) 1. 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點

5、處的值.3. 計算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求 .四.證明題.(20分) 1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.復(fù)變函數(shù)考試試題（三） 一.判斷題.(20分).1. cos z與sin z的周期均為. ( ) 2. 若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件, 則f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù). ( ) 4. 若數(shù)列收斂，則與都收斂. ( ) 5. 若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). ( )

6、 6. 若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo). ( ) 7. 如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則 . （ ） 8. 若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點的某個鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).( ) 9. 若z0是的m階零點, 則z0是1/的m階極點. ( ) 10.若是的可去奇點，則. ( ) 二.填空題.(20分) 1. 設(shè)，則f(z)的定義域為_.2. 函數(shù)ez的周期為_.3. 若，則_.4. _.5. _.（為自然數(shù)） 6. 冪級數(shù)的收斂半徑為_.7. 設(shè)，則f(z)的孤立奇點有_.8. 設(shè)，則.9. 若是的極點，則.10.三.計算題.(40分) 1. 將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為

7、Laurent級數(shù).2. 試求冪級數(shù)的收斂半徑.3. 算下列積分：，其中是. 4. 求在|z|8. 函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.9. 的孤立奇點為_.10. 設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)） 三.計算題.(40分) 1.求復(fù)數(shù)的實部與虛部.2. 計算積分： ， 在這里L(fēng)表示連接原點到的直線段.3.求積分：，其中01.若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ） 2.若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析. （ ） 3.若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-Riemann條件.（ ） 4.若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（ ） 5.若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.

8、（ ） 6.若在區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ） 7.若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（ ） 8.若是的階零點，則是的階極點.（ ） 9.如果函數(shù)在上解析，且,則.（ ） 10.（ ） 三、填空題（20分） 1.若，則_.2.設(shè)，則的定義域為_.3.函數(shù)的周期為_.4._.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若是的階零點且，則是的_零點.7.若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_.8.函數(shù)的不解析點之集為_.9.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10.公式稱為_.四、計算題（30分） 1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、求的值.五、證明題（

9、20分） 2、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.3、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).4、若是的階零點，則是的階極點.復(fù)變函數(shù)考試試題（七） 一、判斷題（24分） 2.若函數(shù)在解析，則在的某個領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（ ） 3.若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（ ） 4.如果是的可去奇點，則一定存在且等于零.（ ） 5.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（ ） 6.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 7.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 8.若是的階零點，則是的階極點.（ ） 二、填空題（20分） 1.若，則_.2

10、.設(shè)，則的定義域為_.3.函數(shù)的周期為_.4._.5.冪級數(shù)的收斂半徑為_.6.若是的階零點且，則是的_零點.7.若函數(shù)在整個復(fù)平面處處解析，則稱它是_.8.函數(shù)的不解析點之集為_.9.方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10._.三、計算題（30分） 1、求.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分：，.四、證明題（20分） 1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分） 求一個單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤 復(fù)變函

11、數(shù)考試試題（八） 一、判斷題（20分） 1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（ ） 2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ） 3、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ） 4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（ ） 5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點均可導(dǎo)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（ ） 9.存在一個在零點解析的函數(shù)使且.（ ） 10.如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ） 11.是一個有界函數(shù).（ ） 二、填空題（20分） 1、若，則_.2、設(shè)，則的定義域為_.

12、3、函數(shù)的周期為_.4、若，則_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、函數(shù)的冪級數(shù)展開式為_.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、若，則的孤立奇點有_.三、計算題（30分） 1、求 2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.四、證明題（20分） 1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).4、若是的階零點，則是的階極點.六、計算題（10分） 求一個單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復(fù)變函數(shù)考試試題（九） 一、判斷題（20分） 1、若函數(shù)在可

13、導(dǎo)，則在解析.（ ） 2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（ ） 3、如果是的極點，則一定存在且等于無窮大.（ ） 4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ） 5、若函數(shù)在處解析，則它在該點的某個領(lǐng)域內(nèi)可以展開為冪級數(shù).（ ） 6、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù).（ ） 7、若是的階零點，則是的階極點.（ ） 8、如果函數(shù)在上解析，且，則.（ ） 9、.（ ） 10、如果函數(shù)在內(nèi)解析，則（ ） 二、填空題（20分） 1、若，則_.2、設(shè)，則的定義域為_.3、函數(shù)的周期為_.4、_.5、冪級數(shù)的收斂半徑為_.6、

14、若是的階零點且，則是的_零點.7、若函數(shù)在整個復(fù)平面除去有限個極點外，處處解析，則稱它是_.8、函數(shù)的不解析點之集為_.9、方程在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為_.10、_.三、計算題（30分） 1、2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實部與虛部.6、利用留數(shù)定理計算積分.四、證明題（20分） 1、方程在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).7、若是的階零點，則是的階極點.五、計算題（10分） 求一個單葉函數(shù)，去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.復(fù)變函數(shù)考試試題（十） 一、判斷題（40分）： 1、若函數(shù)在解析，則在的某個鄰域

15、內(nèi)可導(dǎo).（ ） 2、如果是的本性奇點，則一定不存在.（ ） 3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（ ） 4、與在復(fù)平面內(nèi)有界.（ ） 5、若是的階零點，則是的階極點.（ ） 6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（ ） 7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點.（ ） 8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對內(nèi)任一簡單閉曲線都有.（ ） 9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（ ） 10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（ ） 二、填空題（20分）： 1、函數(shù)的周期為_.2、冪級數(shù)的和函數(shù)為_.3、設(shè)，則的定義域為_.4、的收斂半徑為_.5、=_.三、

16、計算題（40分）： 1、2、求 3、4、設(shè) 求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個數(shù) 復(fù)變函數(shù)考試試題（十一） 一、判斷題.（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打，每題2分） 1當(dāng)復(fù)數(shù)時，其模為零，輻角也為零. （ ） 2若是多項式的根，則也是的根.（ ） 3如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實數(shù)，使得，則為一常數(shù).（ ） 4設(shè)函數(shù)與在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)的一小段弧上相等，則對任意的，有.（ ） 5若是函數(shù)的可去奇點，則. （ ） 二、填空題.（每題2分） 1 _.2設(shè)，且，當(dāng)時，_.3函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線_.4方程的不同的根為_.5_.6級數(shù)的收斂半徑為_.

17、7在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_.8函數(shù)的零點的階數(shù)為_.9設(shè)為函數(shù)的一階極點，且，則_.10設(shè)為函數(shù)的階極點，則_.三、計算題（50分） 1設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分） 2求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階）.（10分） （1） ；（5分） （2）. （5分） 3計算下列積分.（15分） （1） （8分）， （2） （7分）.4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù).（10分） 四、證明題（20分） 1設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分） 2設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個上升函數(shù)，且若存在及（）

18、，使，則 常數(shù).（10分） 復(fù)變函數(shù)考試試題（十二） 二、判斷題。（正確者在括號內(nèi)打，錯誤者在括號內(nèi)打，每題2分） 1設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。（ ） 2函數(shù)在復(fù)平面上處處可微。 （ ） 3且。 （ ） 4設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對任意的，有。 （ ） 5若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（ ） 二、填空題。（每題2分） 1 _。 2設(shè)，且，當(dāng)時，_。 3若已知，則其關(guān)于變量的表達(dá)式為_。 4以_為支點。 5若，則_。 6_。 7級數(shù)的收斂半徑為_。 8在（為正整數(shù)）內(nèi)零點的個數(shù)為_。 9若為函數(shù)的一個本質(zhì)奇點，且在點的充分小的鄰域內(nèi)不為

19、零，則是的_奇點。 10設(shè)為函數(shù)的階極點，則_。 三、計算題（50分） 1設(shè)區(qū)域是沿正實軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。 （10分） 2求下列函數(shù)的奇點，并確定其類型（對于極點要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分） （1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點，并求這些點的留數(shù) （10分） （2）求。 （5分） 3計算下列積分。（15分） （1） （8分）， （2） （7分）。 4敘述儒歇定理并討論方程在內(nèi)根的個數(shù)。（10分） 四、證明題（20分） 1討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。 （10分） 2證明： 。 此處是圍繞原點的一條簡單曲線。（10分） 復(fù)變函數(shù)考試試題（十

20、三） 一、填空題（每題分） 設(shè)，則_ 設(shè)函數(shù)，則的充要條件是_ 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_ 設(shè)為的極點，則_ 設(shè)，則是的_階零點 設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_ 設(shè)，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_ 設(shè)，則的三角表示為_ _ 設(shè)，則在處的留數(shù)為_ 二、計算題 計算下列各題（分） (1) ；(2) ; (3) 2求解方程（分） 設(shè)，驗證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之（分） 計算積分（10分） (1) ，其中是沿由原點到點的曲線 (2) ，積分路徑為自原點沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到 試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級數(shù)（分） 計算下列積分（分） (1) ；

21、(2) 計算積分（分） 求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分） (1)；(2) 討論的可導(dǎo)性和解析性（分） 三、證明題 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)（分） 試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)（分 復(fù)變函數(shù)考試試題（十四） 一、填空題（每題分） 設(shè)，則_ 設(shè)函數(shù)，則的充要條件_ 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡單閉曲線的積分_ 設(shè)為的可去奇點，_ 設(shè)，則是的_階零點 設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_ 設(shè)，其中為正常數(shù)，則點的軌跡曲線是_ 設(shè)，則的三角表示為_ _ 設(shè)，則在處的留數(shù)為_ 二、計算題 計算下列各題（分） (1) ；(2) ; (3) 2求解方程（分） 設(shè)，驗證是

22、調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之（分） 計算積分，其中路徑為（）自原點到點的直線段；(2)自原點沿虛軸到，再由沿水平方向向右到（10分） 試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式（分） 計算下列積分（分） (1) ；(2) 計算積分（分） 求下列冪級數(shù)的收斂半徑（分） (1)；(2) 設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，的值（分） 三、證明題 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)（分） 試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實常數(shù)（分） 試卷一至十四參考答案 復(fù)變函數(shù)考試試題（一）參考答案 8、判斷題 12 610 二填空題 1. ；2.1；3. ，；4. ；5. 1 6. 整函數(shù)；7.；8.；9.

23、 0；10.三計算題.1.解 因為 所以 .2.解 因為 , .所以.3.解 令, 則它在平面解析, 由柯西公式有在內(nèi), . 所以.4.解 令, 則 . 故 , .四.證明題.1.證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以.代入 (2) 則上述方程組變?yōu)?. 消去得, .1) 若, 則 為常數(shù).2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點為.于是割去線段的平面內(nèi)變點就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周, 故能分出兩個單值解析分支. 由于當(dāng)從支割線上岸一點出發(fā),連續(xù)變動到 時, 只有的幅角增加.所以 的幅角共增加.由已知所

24、取分支在支割線上岸取正值, 于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0, 因而此分支在的幅角為, 故.復(fù)變函數(shù)考試試題（二）參考答案 一.判斷題.1 6 10.二.填空題 1.1， ；2.；3.；4.1；5.6.，. 7.0；8.；9.；10.0.三.計算題 1.解 .2.解 令. 則. 又因為在正實軸去正實值，所以. 所以.3.單位圓的右半圓周為, . 所以.4.解 =0.四.證明題.1.證明 (必要性) 令,則.(為實常數(shù)). 令.則. 即滿足, 且連續(xù), 故在內(nèi)解析.(充分性) 令, 則 , 因為與在內(nèi)解析, 所以 , 且.比較等式兩邊得 .從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2.即要證“任一 次方程

25、 有且只有 個根”. 證明 令, 取, 當(dāng)在上時, 有 . .由儒歇定理知在圓 內(nèi), 方程 與 有相 同個數(shù)的根.而 在 內(nèi)有一個 重根 .因此次方程在 內(nèi)有 個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（三）參考答案 一.判斷題 1 6 10.二.填空題.1.; 2.; 3.; 4.1; 5.; 6.1; 7.; 8.; 9.; 10.三.計算題.1.解 .2.解 . 所以收斂半徑為.3.解 令 , 則 .故原式.4.解 令 , . 則在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 .即在 內(nèi), 方程只有一個根.四.證明題.1.證明 證明 設(shè)在內(nèi). 令. 兩邊分別對求偏導(dǎo)數(shù), 得 因為函數(shù)在內(nèi)解析, 所以.代入 (2) 則

26、上述方程組變?yōu)?. 消去得, .1) , 則 為常數(shù).5. 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (為常數(shù)).所以為常數(shù). 2.證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 復(fù)變函數(shù)考試試題（四）參考答案 一.判斷題.1 6 10 .二.填空題.1., ; 2.; 3.; 4.; 5.整函數(shù); 6.亞純函數(shù); 7.0; 8.; 9.; 10.三.計算題.1. 2.解 , . 故原式.3.解 原式.4.解 =，令，得， 而 為可去奇點 當(dāng)時， 而 為一階極點.四.證明題.1.證明 設(shè), 在下半平面內(nèi)任取一點, 是下半平

27、面內(nèi)異于的點, 考慮 .而, 在上半平面內(nèi), 已知在上半平面解析, 因此, 從而在下半平面內(nèi)解析.2.證明 令, , 則與在全平面解析, 且在上, , 故在內(nèi).在上, , 故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個零點, 即原方程在內(nèi)僅有三個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（五）參考答案 一.判斷題.1 6 10.二.填空題.1.2, , ; 2.; 3., ; 4.; 5.0; 6.0; 7.亞純函數(shù); 8.; 9.0; 10. 三.計算題.1.解 令, 則 . 故 , .2.解 連接原點及的直線段的參數(shù)方程為 , 故.3.令, 則.當(dāng)時 , 故, 且在圓內(nèi)只以為一級極點, 在上無奇點, 故, 由殘數(shù)定理有 .4.解 令

28、 則在內(nèi)解析, 且在上, , 所以在內(nèi), , 即原方程在 內(nèi)只有一個根.四.證明題.1.證明 因為, 故. 這四個偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù), 但只在處滿足條件, 故只在除了外處處不可微.2.證明 取 , 則對一切正整數(shù) 時, . 于是由的任意性知對一切均有. 故, 即是一個至多次多項式或常數(shù). 復(fù)變函數(shù)考試試題（六）參考答案 一、判斷題：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 階 7.整函數(shù) 8. 9. 0 10. 歐拉公式 三、計算題： 1.解：因為 故.2.解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：設(shè), 則. 6

29、解： 四、1.證明：設(shè) 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6. 2.證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù). 3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.復(fù)變函數(shù)考試試題（七）參考答案 一、判斷題：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6.階 7.整函數(shù) 8. 9. 0 10. 三、計算題： 1.解： 2.解： 因此 故 .3.解： 因此 4.解： 由于

30、，從而. 因此在內(nèi) 有 5解：設(shè), 則. 6.解：設(shè)，則， ，故奇點為 .四、證明題： 1. 證明：設(shè) 則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7.2.證明：設(shè)，則 已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有 將此代入上上述兩式得 因此有 于是有. 即有 故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題 解：根據(jù)線性變換的保對稱點性知關(guān)于實軸的對稱點應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對稱點，故可設(shè) 復(fù)變函數(shù)考試試題（八）參考答案 一、判斷題：1. 2

31、. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空題：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、計算題： 1.解：由于在解析， 所以 而 因此.2.解： 因此 故 .3.解： 因此 4.解： 由于，從而 因此在內(nèi)有 5解：設(shè), 則. 6解：設(shè), 則 在內(nèi)只有一個一級極點 因此 .四、證明： 1.證明：設(shè) 則在上， 即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而在內(nèi)的零點個數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為7 2.證明：因為，在內(nèi)連續(xù), 所以, 當(dāng)時有 從而有 即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù) 3.證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ， 其中在

32、的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域 2.設(shè), 則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為 .復(fù)變函數(shù)考試試題（九）參考答案 一、判斷題（20分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 二、填空題（20分） 1、 2、 3、 4、1 5、1 6、 7、整函數(shù) 8、 9、8 10、三、計算題（30） 1、解： 2、解： 因此 故 .3、解： 4、解： 由于，從而. 因此在內(nèi) 有 5、解：設(shè), 則. 6、解：設(shè)則在內(nèi)有兩個一級極點， 因此，根據(jù)留數(shù)定理有 四、證明題（20分） 1、

33、證明：設(shè) 則在上， 即有. 根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個數(shù)的零點，而的零點個數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個數(shù)為6.2、證明：設(shè)，則, 由于在內(nèi)解析，因此有 , .于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3、證明：由于是的階零點，從而可設(shè) ， 其中在的某鄰域內(nèi)解析且， 于是 由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點.五、計算題（10分） 解：1、設(shè)則將區(qū)域保形變換為區(qū)域.2、設(shè),則將區(qū)域保形變換為區(qū)域 3、設(shè)則將保形變換為上半平面,因此,所求的單葉函數(shù)為 復(fù)變函數(shù)考試試題（十）參考答案 一、判斷題（40分）： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空題（20分）

34、： 1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（40分） 1.解：在上解析，由積分公式，有 2.解：設(shè)，有 3.解： 4.解：， 故， 5.解：令， 則，在內(nèi)均解析，且當(dāng)時 由定理知根的個數(shù)與根的個數(shù)相同.故在內(nèi)僅有一個根.復(fù)變函數(shù)考試試題（十一）參考答案 一、12 二、1 1 2 15 9. 10. 三、1解： .又 .故.2.解: (1) 奇點為對任意整數(shù), 為二階極點, 為本性奇點. (2) 奇點為 為本性奇點,對任意整數(shù),為一級極點,為本性奇點.3.(1)解: 共有六個有限奇點, 且均在內(nèi), 由留數(shù)定理,有 將在的去心鄰域內(nèi)作展開 所以 .(2)解: 令,則 再令則,故 由留數(shù)定理,有

35、4.解：儒歇定理：設(shè)為一條圍線，若函數(shù)與均在內(nèi)部及上解析且 ，則與在內(nèi)部的零點個數(shù)相同.令, 則在內(nèi)解析且 當(dāng)時 , 由儒歇定理的根個數(shù)與根個數(shù)相同 故在內(nèi)有4個根.四、1.證明: 由在上半平面內(nèi)解析,從而有 因此有 故在下半平面內(nèi)解析.2.證明: (1) 則 故,即在上為的上升函數(shù). (2)如果存在及使得 則有 于是在內(nèi)恒為常數(shù),從而在內(nèi)恒為常數(shù).復(fù)變函數(shù)考試試題（十二）參考答案 一、判斷題.1. 2. 3. 4. 5. 二、填空題.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.本性 10. 三、計算題.1.解： 由 得 從而有 2.解：（1）的各解析分支為，. 為的可去奇點，為的一階

36、極點。 （2） 3.計算下列積分 解：（1） （2）設(shè) 令， 則 4.儒歇定理：設(shè)是一條圍線，及滿足條件： （1）它們在的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到；（2）在上， 則與在的內(nèi)部有同樣多零點， 即 有 由儒歇定理知在沒有根。 四、證明題 1證明：.設(shè) 有 易知，在任意點都不滿足條件，故在復(fù)平面上處處不解析。 2.證明：于高階導(dǎo)數(shù)公式得 即 故 從而 復(fù)變函數(shù)考試試題（十三）參考答案 一、填空題（每題分） 1. 2.及 3. 4. 5. 6. 7.橢圓 8. 9. 10. 二、計算題 計算下列各題（分） 解: (1) (2) (3) 2.解: 故共有三個根: , , 3.解: 是調(diào)和函數(shù). 4.解 (1) (2) 5.解: 時 時 6.解: (1) (2) 7.解: 設(shè) 和為上半平面內(nèi)的兩個一級極點,且 8. (1) (