-動(dòng)量守恒和能量守恒定律

1、第三章 動(dòng)量守恒和能量守恒定律薈 3-1 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理膇一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理螞 1 、動(dòng)量羀質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 m與其速度 v 的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，記為 P3-1)肆 P mv羅說明： P是矢量，方向與 v 相同螂 P 是瞬時(shí)量莁 P是相對(duì)量螈坐標(biāo)和動(dòng)量是描述物體狀態(tài)的參量螄袂 2 、沖量蒈牛頓第二定律原始形式d 芆 F( mv )dt薃由此有 Fdt d (mv) TOC o 1-5 h z t2p 2羈積分： 2 Fdt 2 dP p2 p1(3-2)t1p1衿定義： tt2Fdt 稱為在 t1 t2 時(shí)間內(nèi)力 F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量。t1t羈記為 I 2 Fdt(3-3)薆說明： I 是矢量

2、肁 I 是過程量芀 I 是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)莆 I 的分量式t2Ix t2 Fxdtt1t2蒞 Iy t2 Fydtt1t2Iz t2 Fzdtt1Fx (t2 t1) t Fxdtt1t2肁Fy(t2 t1) t2 Fydt(3-4)Fz (t2 t1) t Fzdtt1I x Fx(t2 t1 ) 蟻分量式( 34)可寫成I y Fy(t2 t1)I z Fz(t2 t1 )(3-5)膈Fx、Fy、 Fz 是在t1 t2時(shí)間內(nèi) Fx、 Fy、 Fz平均值。膁3、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理肂由上知I p2 p13-6)薅結(jié)論 ：質(zhì)點(diǎn)所受合力的沖量 =質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量，稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理膇說明： I 與

3、p2 p1 同方向3-7)I x p2 x p1 x 芁分量式 I y p 2y p1 yI z p 2z p1z艿過程量可用狀態(tài)量表示，使問題得到簡(jiǎn)化芇成立條件：慣性系裊動(dòng)量原理對(duì)碰撞問題很有用莁二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理蠆概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點(diǎn)聿內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間作用力蚄外力：系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用力蒁設(shè)系統(tǒng)含 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和速度分別為 mi、vi ，對(duì)于第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)受合內(nèi) 力為 Fi內(nèi) ，受合外力為 Fi 外 ，由牛頓第二定律有肀 Fi 外 Fi 內(nèi)d(mivi)dt蕆對(duì)上式求和，有nn蒃Fi外Fi 內(nèi)i 1 i 1n d(mivi )i1dtddt (mivi )dt

4、 i 1薁因?yàn)閮?nèi)力是一對(duì)一對(duì)的作用力與反作用力組成，故F合內(nèi)力0 ，蒁有F合外力dPdt腿結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動(dòng)量的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 蒆式（ 3-8 ）可表示如下t2p2蝕 t F合外力 dt p dP p2 p1薈 即 I 合外力沖量 p2 p1蚇結(jié)論 ：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，這也是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的又蝕例 3-1 ：質(zhì)量為 m的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時(shí)間t ，速率為 v ，則在打擊木樁的時(shí)間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？罿解：設(shè)豎直向下為正，由動(dòng)量定理知：荿 F t 0 mvmv羄Ft（3-8）（3-9）（3-10） 表述。打擊前鐵錘肄強(qiáng)調(diào)

5、：動(dòng)量定理中說的是合外力沖量 =動(dòng)量增量螇例 3-2 ：一物體受合力為 F 2t （SI ），做直線運(yùn)動(dòng)，試問在第二個(gè) 5 秒內(nèi)和第一個(gè) 5 秒內(nèi)物體受沖量之比及動(dòng)量增量之比各為多少？肇解：設(shè)物體沿 +x 方向運(yùn)動(dòng)，55膄I1 0Fdt 02tdt 25 NS( I 1沿i 方向)10 10螁I2Fdt 2tdt 75NS( I2沿i 方向)蕿 I 2 /I1 3I 2 ( p)2螆I 1 ( p)1芄( p)2( p)1膂莃設(shè)碰撞時(shí)間為 t 0.05 s，求碰撞過程中 莄小球 受到的平均沖力 F ?蠆解： I ?膆如圖 3-1 所取坐標(biāo)，動(dòng)量定理為 I mv2 mv1莆方法一 用分量方程解I

6、 x mv2x mv1x mvcos ( mvcos ) 2mv cos 蒄I y mv2y mv1y mvsin mvsin 0肀 I I xi 2mvcos i 2 0.020 5 cos60 i 0.10i NS袈方法二 用矢量圖解膅 I mv2 mv1 m(v2 v1)薃 (v2 v1 ) 如上圖 3-1 所示。蒁 OBA60 , A 60莆故 OAB 為等邊三角形。羄 v2 v1 v 5m/s, (v2 v1)沿 i 方向蚃 I mv2 v1 0.020 5 0.10NS，沿 i 方向。蚈 I F t肈 F I / t 0.10i /0.05 2i NI p 求方便。t2蚃注意：此題

7、按 I2 Fdt求 I 困難(或求不出來)時(shí)，用公式螃 3-2 動(dòng)量守恒定律聿由式( 3-8 )知，當(dāng)系統(tǒng)受合外力為零時(shí)(3-11)螆即系統(tǒng)動(dòng)量不隨時(shí)間變化 , 稱此為動(dòng)量守恒定律。袃說明 ：動(dòng)量守恒條件： F合外力 0 ，慣性系蒀動(dòng)量守恒是指系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒，而不是指?jìng)€(gè)別物體的動(dòng)量守恒。 膈內(nèi)力能改變系統(tǒng)動(dòng)能而不能改變系統(tǒng)動(dòng)量。蒅 F合外力 0時(shí)，若 F合外力 在某一方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的 動(dòng)量分量守恒。此時(shí)要求 F合外力0圖 3-2袃動(dòng)量守恒是指 p 常矢量 （不隨時(shí)間變化）， 袁動(dòng)量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。蚅芃例 3-4 ：如圖 3-2 ，質(zhì)量為 m 的水銀球，豎直地落

8、到 羃光滑的水平桌面上，分成質(zhì)量相等的三等份， 芁沿桌面運(yùn)動(dòng)。其中兩等份的速度分別為 v1、 v2， 莇大小都為 0.30m/s 。相互垂直地分開，試求第 芆三等份的速度。肅解：方法一 用分量式法解莈研究對(duì)象：小球聿受力情況： m 只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，即在水平 肅方向不受力，故水平方向動(dòng)量守恒。膃在水平面上如圖 3-2 取坐標(biāo)，有蝿 x分量： m1v1 cos m2v2 cos(90) m3v3 0薇 y分量： m1v1 sin m2v2 sin(90) 0m1 m2 m3v1 v2 0.30m / s節(jié)v32v 2 0.30 0.42m/ s45135 (即與 v1成13

9、5 )膀方法二 用矢量法解艿m1v1 m2v2 m3v3 0薃及m1 m2 m3莂 v1 v2 v3 0薁 即v3 (v1 v2 )v2圖 3-3螇即有圖 3-3 。可得蚆v3 v3(v1 v2)v12 v222v 0.42 m/s蒂得45 135螈強(qiáng)調(diào)： 要理解動(dòng)量守恒條件葿蒞例 3-5 ：如圖 3-4 ，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為 M 長(zhǎng)為 l的小車，車上一端有一質(zhì) 量為 m 的人，起初 m 、 M 均靜止，若人從車一端走到另一端時(shí)，則人和車相對(duì) 地面走過的距離為多少？蒂解：研究對(duì)象： m 、 M 為系統(tǒng)腿此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，袇在此方向動(dòng)量守恒。膄方法一 mvm MvM 0(對(duì)

10、地 ) 薂 ( vm vmM vM )薀 m(vm M vM ) MvM 0薈即mvmM (m M )vM 0膇如圖所取坐標(biāo)，標(biāo)量式為螞mvmM (m M )vM 0羀即mvmM (m M )vM肆積分(t 0， m在 A處， t t0， m在 B處) t 0t0羅m 0 vmM dt (m M ) 0 vM dt螂即ml (m M ) SM莁得mlSMmM螈 由圖 3-4 知 ： Sm l SM M l mM螄 方法二 mvm MvM 0袂標(biāo)量式 ： mvm Mv M 0蒈即mvm Mv M芆積分：m 0 vmdt M 0 vM dt薃mSm MSM羈可知：SmSMl衿由、得 ：Sml mM

11、SMl mMx肁例 3-6 ：質(zhì)量為 m的人手里拿著一個(gè)質(zhì)量為 m的物體，此人用以與水平方向成角的速率 v向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，他將物體以相對(duì)于人為u 的水平速率向后拋出，問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點(diǎn)）芀解：如圖 3-5 ，設(shè) P為拋出物體后人達(dá)到的最高點(diǎn)，莆 x1 、 x2 分別為拋球前后跳躍的距離。蒞研究對(duì)象：人、物體組成的系統(tǒng)，肁 該系統(tǒng)在水平方向上合外力 =0，蟻 在水平方向上系統(tǒng)的動(dòng)量分量守恒。膈設(shè)在 P點(diǎn)，人拋球前、后相對(duì)地的速度分別為 v 、肄v1，在 P點(diǎn)拋球后球相對(duì)地速度為 v2 ，有膁(m m)v mv1 mv2 mv1 m(v1 u

12、)肂標(biāo)量式：(m m)v mv1 m(v1 u)薅即(m m)v0 cos(m m)v1 mu膇得：mv1 v0 cosum mmv0sinmuv0 sin芁 x x 2 x1 (v1 v0 cos )t um m g (m m) g艿強(qiáng)調(diào)：v2 v1 u，v2 v u。因?yàn)閡是與 v1同時(shí)產(chǎn)生的，而人速度為 v 時(shí)，u還 沒產(chǎn)生芇 3-3 碰撞裊一、碰撞莁碰撞直接碰撞非直接碰撞蠆特點(diǎn)：碰撞時(shí)物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相對(duì)比較可忽略。聿即碰撞系統(tǒng)合外力 =0。故動(dòng)量守恒。完全彈性碰撞： E守恒：E不守恒機(jī)械能 E 完全非彈性碰撞 非完全彈性碰撞蒁二、完全彈性碰撞肀 1 、對(duì)心情況（一維）蕆

13、如圖 3-6，以 m1 與 m2為系統(tǒng)，碰撞中 p 常矢蒃 m1v10 m2v20 m1v1 m2 v23-12)1 2 1 薁 m1v1022212 m2v20mv1212 mv2210 20m1 m212m1m2m1m2碰前碰時(shí)碰后圖 3-6x3-14)蒆（v 0，沿+x 方向；反之，沿 -x 方向）(m1 m2 )v10 2m2v20蝕解得 ：m1 m2v (m2 m1 )v20 2m1v102m1 m23-15)薈討論 ：m1m21 20 （交換速度） v2 v10蚇 v20 0m2 m1,v1 v10 ,v2 0m2 m1,v1 v10 , v2 2v10蝕 2 、非對(duì)心情況罿設(shè) m

14、1 m2 ，且 v20 0 ，可知，m1 、 m2 系統(tǒng)動(dòng)量及動(dòng)能均守恒，即荿12m1v102m1v1 m2v21 2 1 2 m1v10m1v1m2v22 2 23-16)肄可知，v12 v1v2v223-17)圖 3-7v2 、v10 是以 v10 為斜邊的直角三角形，如圖 3-7 。莀 3-4 動(dòng)能定理螇一、功肇定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積膄 1 、恒力的功螁恒力：力的大小和方向均不變。(3-18)蕿如圖 3-8 ，功為W F cos S F S螆即(3-19)膂說明： W 為標(biāo)量0 ,W 0, 力對(duì)物體做正功2羆 ,W 0, 力對(duì)物體做負(fù)功2,W 0,

15、 力對(duì)物體不做功2薄功是過程量莄功是相對(duì)量羋功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)蚈作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零莃2、變力的功莄設(shè)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)， 如圖 3-9。F 為變力，在第 i個(gè)位移元 物體做功為 物體做功為蠆 Wi Fi cos Si Fi SiS2膆 質(zhì)點(diǎn)從 a b 過程中， F 對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為S1 a莆 WWiFiSiiiSSi中， Fi 看作恒力b， Fi對(duì)FS2iiF1Fi圖 3-9蒄功的精確數(shù)值為肀W limFi SiF dS F dr SSi maxS 0 i a a袈即：bW F dSa3-20)薃蒁討論：恒力功莆WbdS F dS F Sa羄直線運(yùn)動(dòng)蚃設(shè) F(x) F(x)i

16、 ，如圖 3-10，質(zhì)點(diǎn)在 a b 中，蚈功為F(x)bxbbW F dx Fi dxiaabFdx 曲線下面積代數(shù)和 a圖 3-10蚃合力功螃設(shè)質(zhì)點(diǎn)受 n個(gè)力， F1， F2， Fn ，合力功為bb聿W F dr(F1 F2Fn ) draabbb蒆F1drF2drFndrW1W2Wnaaa螆 各分力功代數(shù)和袃二、功率蒀定義：力在 t t t 內(nèi)對(duì)物體做功為 W ，下式W 膈P t蒅稱為在 t t t 時(shí)間間隔內(nèi)的平均功率。下式袃 P limt PW dW lim t 0 t dtF dr Fdt袁稱為瞬時(shí)功率，即3-21)芃三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理羃 1 、動(dòng)能Ek 1 mv223-20)芁定義

17、：莇式( 3-20 )中，m、 v 分別為物體質(zhì)量和速率。稱Ek 為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能芆說明 ： Ek 為標(biāo)量；肅 Ek 為瞬時(shí)量；莈 Ek 為相對(duì)量。聿 2 、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理肅設(shè) m做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖 3-11 ，合力為 F ，在 a、b 二點(diǎn)速度分別為 v1 、 v2 。在 c 點(diǎn)力為 F ，位移為 ds ，由牛頓定律有：膃 Ft mat （切線上）蝿即薇F cosdv mdtdvF cos ds m dsdt節(jié)即F ds vmdv (ds v) dt切線膀做如下積分：艿 bF ds v2 mvdv 1mv22 1mv12 a v1 2 2薃可寫成：莂W1mv22 1mv12223-21)薁結(jié)論：合

18、力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量 , 稱此為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理0 Ek 0螇說明 ： W 0 Ek 00 Ek 0蚆 W 為過程量，Ek 為狀態(tài)量，蒂動(dòng)能定理成立的條件是慣性系螈功是能量變化的量度。葿例 3-7 ：如圖 3-12，籃球的位移為 S， S與水平線成 45 角， 蒞 S 4m ，球質(zhì)量為 m ，求重力的功。蒂解：研究對(duì)象：球腿重力為恒力W F S FScos FS cos135 袇mg 4 cos1352 2mgb螞 W FaGmM2 i) dxi x2羀 GmM ( ) R H R肆羅例 3-9：力 F 6ti (SI)作用在 m 3kg 的質(zhì)點(diǎn)上。物體沿 x 軸運(yùn)動(dòng)， t 0 時(shí)，

19、 v0 0 求前二秒內(nèi) F 對(duì)m 作的功。螂解：研究對(duì)象： m莁直線問題， F 沿 +x 軸方向螈方法一按WbF dx 作b6tdxa螄在此有：b6ti dxia袂F ma mdvdt6t蒈mdv 6t dt芆做如下積分：v3 dv 6t d t薃有羈dxv dt22t2 即dx t2dt衿6t t2dt 23t4224J0羈方法二用動(dòng)能定理作12mv121 2 2 m(v 2 v1 )2肁 1 2 3(2420) 24J肁 W 力曲線與 x 軸所圍面積代數(shù)和 40J圖 3-14莆例 3-10：質(zhì)量為10 kg的物體作直線運(yùn)動(dòng)， 受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖 3-14 所示。若 x 0時(shí)， v 1m/s

20、 ，試求 x 16m時(shí)， v ?蒞解：在 x 0到 x 16m過程中，外力功為蟻由動(dòng)能定理為：膈W 2 薆 W mv 2mv22 1mv1222肄即 TOC o 1-5 h z 12 14010v210 122 2膁 v2 3m/s肂 3-5 保守力與非保守力勢(shì)能薅一、萬有引力、重力、彈性力的功及其特點(diǎn)膇 1 、萬有引力功及特點(diǎn)芁如圖 3-15，設(shè)質(zhì)量為 m 物體在質(zhì)量為 M 的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，艿（M 不動(dòng)）， m從a b中，引力功 =？dr cb芇 W F dr裊在任一點(diǎn) c 處，F(xiàn)Gm3M r (變力)r莁Wb GmM3 r drr3-22)蠆r2 r r 2rdr r dr dr r聿又r

21、 dr dr r r dr rdra3-23)WbG mM3 rdr GmM 1 1ar3rb ra蒁特點(diǎn)：萬有引力只與物體始末二位置有關(guān)，而與物體所經(jīng)路程無關(guān)肀 2 、重力功及特點(diǎn)蕆如圖 3-16 ，質(zhì)點(diǎn) m經(jīng) acb 路徑由 a b ，位移為 S ，在地面附近重力可視為恒力，3-24)故功為蝕 W p s mgscosmg(ya yb )罿特點(diǎn)：重力功只與物體始末二位置有關(guān)，而與其運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)荿3、彈性力功及特點(diǎn)羄如圖 3-17 ， (k m) 稱為彈簧振子，m 處于 x 處時(shí)，它受彈性力為肄Fx 0,F沿x軸負(fù)向Fi kxix 0,F沿x軸正向莀m從坐標(biāo) x1 x2 過程中，彈性力做功為

22、kmox1xx2圖 3-17x2螇 WF dxdxi (dx dxi )3-25)肇 k 2 xdx( 1 kx22 1 kx12 )x12 2膄特點(diǎn)：彈性力功僅與物體始末位置有關(guān)而與過程無關(guān)。螁如：物體可以從 x1處向左移，然后向右平移至 x2 處，也可以從 x1處直接移 到 x2 處。但是，無論怎樣從 x1 處移到 x2 處，彈性力做的功都是上述結(jié)果。蕿二、保守力和非保守力螆 1 、保守力與非保守力3-26)芄如果力 F 對(duì)物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無關(guān)，則該力稱 為保守力，否則稱為非保守力。數(shù)學(xué)表達(dá)依次為：莇 F dl 0 l螀及F dl 0 l3-27)薀由上可知

23、，重力、彈性力、萬有引力均為保守力，而摩擦力、汽車的牽引力等都是 非保守力。薄三、勢(shì)能3-28)羄對(duì)任何保守力，則它的功都可以用相應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值來表示，即：W(Epb Epa )蝕結(jié)論 ：保守力功 =相應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值莂*從理論上講， F dl 0 F 0即F 是無旋的，l螞 F 0F與 Ep有對(duì)應(yīng)關(guān)系， Ep可定義為與 F相應(yīng)的勢(shì)能。也就是說，保守 力場(chǎng)中才能引進(jìn)勢(shì)能的概念?？梢?，引進(jìn)勢(shì)能概念是有條件的。注意：勢(shì)能是相對(duì)的， 屬于系統(tǒng)的。 蝿莆 萬有引力勢(shì)能： Ep G mM （勢(shì)能零點(diǎn)取在無限遠(yuǎn)處 ）（3-29）r重力勢(shì)能： Ep mgh（勢(shì)能零點(diǎn)取在某一水平 面上）（ 3-30）肄彈

24、性勢(shì)能： Ep 1 kx2 （勢(shì)能零點(diǎn)取在彈簧原長(zhǎng) 處）（3-31）2莁說明：（1） 保守力場(chǎng)中才能引進(jìn)勢(shì) 能概念蝿（2）勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的螇（3）勢(shì)能是相對(duì)的薂 3-6 功能原理 機(jī)械能守恒定律膀一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理衿系統(tǒng)中有 n個(gè)物體，第i個(gè)物體受合外力為 Fi外，合內(nèi)力為 Fi內(nèi)，在某一過程中，合外 力功為 Wi外 ，合內(nèi)力功為 Wi內(nèi)，由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理，對(duì)第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)有：Wi內(nèi)122mivi22122mivi213-32)芄 i 1,2, 。對(duì)上式兩邊求和，有n n n 1 2 n 1 2罿Wi外Wi內(nèi)miv i2mivi1(3-33)3-34)i 1 i 1 i 1 2 i 1 2

25、罿 W外 W內(nèi)E k 2 E k1芅結(jié)論：合外力功與合內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。稱此為系統(tǒng)的動(dòng)能定理。螂二、功能原理羂作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃在系統(tǒng) 中，則保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保 守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。聿由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理蚆 W外W內(nèi) E k2 Ek1蒃有螀 W外 （W保守內(nèi)W非保守） E k2 E k1腿W外W非保守Ek 2Ek1W保守內(nèi)Ek2Ek1E p2E p1（保守力功勢(shì)能增量負(fù)值）肆 Ek 2 Ep2Ek1 Ep1袁3-35)葿 W外 W 非保守Ek2 Ep2Ek1 Ep1艿結(jié)論：合外力功 +

26、非保守內(nèi)力功 =系統(tǒng)機(jī)械能（動(dòng)能 +勢(shì)能）的增量。稱此為功能原 理。蕆說明：功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動(dòng)能定理中含有保守內(nèi)力的功蚃功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度薂能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)荿三、機(jī)械能守恒定律3-36)蚄由功能原理知，當(dāng) W外 W非保守 0 時(shí)，有蒞Ek2 Ep2 Ek1 Ep1芁結(jié)論：當(dāng) W外 W非保守 0時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能 =常量，這為機(jī)械能守恒定律。 （注意守恒 條件）肅例 3-11：如圖 3-18 ，在計(jì)算上拋物體最大高度 H 時(shí)，有人列出了方程 （不計(jì)空氣阻力）螃 mgHmv02 cos2 1mv022肀列出方程時(shí)此人用了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律中的那一

27、 個(gè)？蒈解：動(dòng)能定理為蒆合力功 =質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量蒅 mgH 1m v02cos1mv022衿功能原理為圖 3-18薈外力功 +非保守內(nèi)力功 =系統(tǒng)機(jī)械能增量袇（取 m 、地為系統(tǒng)）羃 0 0 1m v0 cosmgHmv02 020袂機(jī)械能守恒定律蚈 W外 W非保內(nèi) 0羄 Ek2 Ep2 Ek1 Ep11 2 1蚅 即m v0 cosmgHmv02 022蟻可見，此人用的是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理蒞例 3-12：如圖 3-19，質(zhì)量為 m 的物體，從四分之一圓槽 A點(diǎn)靜止開始下滑到 B。在 B 處速率為 v ，槽半徑為 R。求m從 AB過程中摩擦力做的功。B膂解：方法一 按功定義 W A F ds ，m在任一點(diǎn) c 處，切線方向的牛