平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)案例設(shè)計1

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)案例設(shè)計1一、教學(xué)內(nèi)容分析以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來；向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關(guān)系；進一步探究兩個向量的夾角對數(shù)量積符號的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運算律。本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修4（A版）第二章、第4節(jié)第1課時。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個重要工具。本節(jié)的知識結(jié)構(gòu)：二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本節(jié)以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者不清

2、楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對運算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系解決問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個很自然的過渡，深入淺出、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。三、設(shè)計思想高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依

3、賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動中來，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還明確提出了提高學(xué)生的知識與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態(tài)度與價值觀。四、教學(xué)目標(biāo)通過師生互動、學(xué)生的自主探究，（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，會進行平面

4、向量數(shù)量積的運算；（3）能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系；（4）通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學(xué)生的類比思想；通過數(shù)量積的性質(zhì)、運算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。五、教材重點和難點重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應(yīng)用。難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。六、教學(xué)過程設(shè)計情景1問題 回憶物理中“功”的計算，它的大小與哪些量有關(guān)？ 結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？若一個物體在力的作用下

5、產(chǎn)生的位移為，那么力所做的功等于多少？ 設(shè)計意圖以物理問題為背景，初步認(rèn)識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。師生互動 生： （其中是和的夾角）。師：功是一個矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量來確定？顯然功是一個標(biāo)量，它由力和位移兩個向量來確定。從中我們得到一個啟發(fā)：能否將功看成是兩個“向量相乘”的一種運算的結(jié)果呢？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。 情景21、定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運算結(jié)果是向量還是數(shù)量？2、如何確定兩個非零向量的數(shù)量積的符號，什么情況下值為零？ 設(shè)計意圖使學(xué)生從感性到理性去認(rèn)知數(shù)量積的定義。通過對概念的認(rèn)識、分析和探究，使學(xué)生加深理

6、解，并掌握相關(guān)的性質(zhì)及幾何意義。同時加深對投影的認(rèn)識。師生互動1、仿照物理問題建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念：已知兩個非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即（其中是與的夾角）。叫做向量在方向上（在方向上）的投影。2、規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。3、（1）數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于與的夾角（）的大??；（2）兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它與兩個向量的長度及其夾角有關(guān)；（3）符號不能寫成或的形式；（4）找向量的夾角時，應(yīng)將兩向量的起點平移到同一個點上。4、探究其性質(zhì)：（1）（與都是非零向量）；設(shè)置情景：若，則向量與至少有一個是零向量？類比時，若或。而且此性質(zhì)在解決有

7、關(guān)線段垂直問題時具有很好的作用。（2）當(dāng)向量與共線同向時，；當(dāng)向量與共線反向時，。特別地或（與二次根式性質(zhì)：進行類比）。這是求向量長度的又一重要方法。情景3由學(xué)生自主學(xué)習(xí)來完成書本例題1。設(shè)計意圖通過計算鞏固對數(shù)量積定義的理解。進一步引導(dǎo)學(xué)生對和的大小關(guān)系進行一般的研究比較。師生互動從例1容易得出性質(zhì)和數(shù)量積的幾何意義。情景4給學(xué)生分鐘時間，閱讀教材，并對前面所學(xué)的內(nèi)容及研究方法作一個歸納小結(jié)。設(shè)計意圖培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和及時進行歸納小結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。把課堂還給學(xué)生，體現(xiàn)師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學(xué)生服務(wù)的，都在同步配合學(xué)生的學(xué)習(xí)和探索。師生互動學(xué)生通過自主閱讀、總結(jié)并發(fā)表自己

8、的看法，老師可以有針對性進行學(xué)習(xí)方法點撥并指出對學(xué)習(xí)過程進行及時反思的重要性。情景5 運算律和運算是緊密相聯(lián)的，類比實數(shù)運算中的運算律，探究平面向量數(shù)量積的運算律。設(shè)計意圖 通過類比、探究使學(xué)生得出數(shù)量積的運算律，進一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和研究問題的能力。師生互動 1、回顧實數(shù)運算中有關(guān)乘法的運算律。類比數(shù)量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，需要研究。已知向量、和實數(shù)，則 2、對向量數(shù)量積的運算律進一步研究，（1）成立嗎？顯然，等式左邊與向量共線，右邊與向量共線，而向量與不一定共線，因此結(jié)論不一定成立；（2）由能否推出？（反例：當(dāng)時，有。但不能得到）。結(jié)合實數(shù)，有進行類比，辯析。3、老

9、師可以通過學(xué)生的討論進行糾錯，理解不同的運算具有不同的運算律，體會到數(shù)學(xué)的法則與法則之間的區(qū)別與聯(lián)系。同時注意利用學(xué)生錯誤這一重要的資源，讓學(xué)生更容易找到易錯點和易混點，從而更清晰、準(zhǔn)確地掌握知識。情景6例2、例3、例4的教學(xué)。設(shè)計意圖1、要求學(xué)生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異曲同工；2、學(xué)會利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，體會運算律帶來的優(yōu)越性。3、上面幾個例題，層層遞進，都是把較難的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的較易的標(biāo)準(zhǔn)問題，體現(xiàn)了知識和方法上的轉(zhuǎn)化。師生互動1、老師可以將例題內(nèi)容與多項式乘法運算進行類比；2、讓學(xué)生自己體會用數(shù)量積將“幾何問題”化歸為方程問題來求解的簡

10、練，進一步體現(xiàn)向量的工具作用。 情景7課后反思：讓學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容及探究、解決問題的方法。設(shè)計意圖讓學(xué)生整理相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使得“知識系統(tǒng)性、技能熟練性”得到更加充分體現(xiàn)，體會所學(xué)知識的引入基礎(chǔ)及探究、解決問題時用到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的能力。七、教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)效果不錯，主要是把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生，注意學(xué)生的主動探索、思考及師生互動，還以物理知識為背景，建立了數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積的概念和運算。使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，抓住重點。使學(xué)生懂得對已有的知識進行遷移、采用類比的方法讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)合作交流，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)

11、和交流的能力。在課堂中會體現(xiàn)自我，學(xué)會自己尋找解題的突破口，在探究中學(xué)會思考，在合作中學(xué)會推進，在觀察中學(xué)會比較，進而推進整個教學(xué)程序的展開。但自我感覺 “講”的還是偏多了一點，對于學(xué)生解題中出現(xiàn)的錯誤這一資源展開、分析得不夠，以后應(yīng)該更加注意引導(dǎo)。點評：平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系。教材中以物體受力做功為背景，引出向量數(shù)量積的概念。功是一個標(biāo)量，它用力和位移兩個向量來定義，反映在數(shù)學(xué)上就是向量的數(shù)量積。蘇老師在教學(xué)設(shè)計中，注重知識的發(fā)生和發(fā)展過程的展現(xiàn)，從數(shù)學(xué)和物理兩個角度創(chuàng)設(shè)問題情景，通過數(shù)量積的幾何意義使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更充分的認(rèn)識。以問題設(shè)計為導(dǎo)向，以知識為載體，引導(dǎo)學(xué)生積極思