數(shù)學(xué)選修23知識點總結(jié)

1、、知識結(jié)構(gòu)第二章概率總結(jié)超幾何分布離散型隨機變量隨機變量二項分布離散型隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差正態(tài)分布，連續(xù)性隨機變量條件概率事件的獨立性、知識點1隨機試驗的特點:試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.2分類隨機變量（如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用大寫字母X、丫等或希臘字母E、n等表示。）離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取

2、的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不可以一一列出3離散型隨機變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為X1,X2,Xi,XnX取每一個值xi(i=1,2,)的概率P(E=Xi)=Pi,則稱表XXIX2XieePPiP2*piitPn為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)：pi0,i=1,2,;pi+p2+pn=1.一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和4求離散型隨機變量分布列的解題步驟例題：籃球運動員在比賽

3、中每次罰球命中得1分，不中得0分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球一次的得分的分布列.解：用隨機變量X表示“每次罰球得的分值”，依題可知，X可能的取值為：1,0且P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3因此所求分布列為：X10P0.703引出X10Pq如果隨機變量X的分布列為：二點分布其中0vpv1,q=1-p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)p的二點分布二點分布的應(yīng)用：如抽取彩票是否中獎問題、新生嬰兒的性別問題等超幾何分布一般地，設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(nWN)件，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，CkCk則它取值為k時的概率為P(

4、X二k)二M(k=0,i,2,|,m)，其中m=minM,n,N且nN,M3）=P（X二3）P（X二4）P（X二5p1051051052030C30C30答：中獎概率為0.191.條件概率1定義：對任意事件A和事件B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率P(B|A)，讀作A發(fā)生的條件下B的概率事件的交(積)：由事件A和事件B同時發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與事件B的交(或積作D=AnB或D=AB條件概率計算公式：P(B|A)=P(AB)P(A),P(A)0.P(B|A)相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間,求AnB發(fā)生的概率公式推導(dǎo)過程P(B|A)在A發(fā)生的條件下B包含的樣本點數(shù)

5、在A發(fā)生的條件下樣本點數(shù)AB包含的樣本點數(shù)_AB包含的樣本點數(shù)/總數(shù)A包含的樣本點數(shù)-A包含的樣本點數(shù)/總數(shù)P(AB)P(A)若P(A)0,則P(AB)=P(B|A)P(A)(乘法公式)；0乞P(B|AM1.解題步驟：例題、10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第二取到次品的概率解：設(shè)A=第一個取到次品，B=第二個取到次品，-P(AB)C1015P(A)=310所以，P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二個又取到次品的概率為2/9.相互獨立事件1定義：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立說明(1

6、)判斷兩事件A、B是否為相互獨立事件，關(guān)鍵是看A(或B)發(fā)生與否對B(或A)發(fā)生的概率是否影響，若兩種狀況下概率不變，則為相互獨立互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件；相互獨立事件是指一事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒影響說明(1)使用時，使用的前提條件；(2)此公式可作為事件是否相互獨立論依據(jù)，P(AB)=P(A)P(B)：B相互獨立的充要條如果A、B是相互獨立事件，則A的補集與B的補集、A與B的補集、A的補集與也都相互獨立相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。則有P(AB)=(A)P(B)如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n個事

7、件同時發(fā)生的概率,等于每個事件發(fā)生的概率的積。即：P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)則稱A，B相互獨立兩事件是否互為獨立事件的判斷與證明P(AB)二P(A)P(B)解題步驟例題、一袋中有2個白球，2個黑球，做一次不放回抽樣試驗，從袋中連取2個球，觀察球的顏色情況，記“第一個取出的是白球”為事件A，“第二個取出的是白球”為事件B，試問A與B是不是相互獨立事件？答：不是，因為件A發(fā)生時(即第一個取到白球)，事件B的概率P(B)=1/3，而當(dāng)事件A不發(fā)生時(即第一個取到的是黑球)，事件B發(fā)生的概率P(B)=2/3，也就是說，事件A發(fā)生與否影響到事件B發(fā)生的概率，所以A與B不是相互獨立

8、事件。證明：由題可知，P(B|A)=1/3，P(B|A的補集)=2/3因為P(B|A)工P(B|A的補集)所以A與B不是相互獨立事件獨立重復(fù)試驗定義：在同等條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗說明：這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中的概率都是一樣的每次試驗是在同樣條件下進行；每次試驗間又是相互獨立的，互不影響.前提二項分布1.引入:一般地，如果在1次實驗中某事件A發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是Pn(k)二kkCnp(1P(A)Pn(k)是(1-P)+Pn的通項公式，所以也把上式叫做二項分布公式.2.二項

9、分布定義：設(shè)在n次獨立重復(fù)試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)E是一個隨機變量.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,事件A不發(fā)生的概率為q=1-p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中P(g01*k11pCoOnCnpqC1p1qz*kkn-kCnpqfl&n0Cnpqkknk二k)二6pq(其中k=0,1,n，q=1-p)于是可得隨機變量E的概率分布如下:kkn-k由于Cnpq恰好是二項展開式nOn1n1.(ab)9心CnabGabGbrn-rr中的第k+1項，所以，稱這樣的隨機變量E服從二項分布，記作匕B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記：Ckkn-knPq二B(k;n,p)解題步驟例題、某廠生產(chǎn)

10、電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)E的概率分布.解：依題意，隨機變量EB(2,5%).二P(E=0)=C(95%)2=0.9025,P(E=1)=C；(5%)(95%)=0.095,2P(E=2)=C2(5%)2=0.0025.因此，次品數(shù)E的概率分布是E012P0.90250.0950.0025幾何分布1.定義:在獨立重復(fù)試驗中，某事件A第一次發(fā)生時所作的試驗次數(shù)E也是一個取值為正整數(shù)的隨機變量?！癊=k”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件A第一次發(fā)生。如果把第蘭次實驗時事件A發(fā)生記為Ak，p(Ak)=p，事件A不發(fā)生記為兀，P(兀)=q(q=1-p)

11、，那么P(k)=P(AAAAA)=P(A)P(A2)p(A3)P(Ak)P(Ak)kJk4FP)P=qp(k=0,1,2,q=-p.)于是得到隨機變量E的概率分布如下:E123kPppqpq2pqk-1稱E服從幾何分布，并記g(k,p)=pqk-1離散型隨機變量的期望和方差般地，若離散型隨機變量E的概率分布為X2XipP1P2VVVPiVV則稱EE=x1p1+x2p2+xnpn+為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望是離散型隨機變量說明：(1)數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平一般地，在有限取值離散型隨機變量E的概率分布中，令p仁p2=pn,則有p仁p2=p

12、n=，EE=(x1+x2+xn)，所以E的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值隨機變量的數(shù)學(xué)期望與樣本的平均值的關(guān)系：前者是常數(shù)，不依賴樣本抽??；后者是一個隨機變量22222DE=(xi-EE)Pi+(X2-EE)P2+(Xn-EE)Pn+=E(EEE=EE(E叫隨機變量E的均方差，簡稱方差。說明：、DE的算術(shù)平方根VDE隨機變量E的標(biāo)準(zhǔn)差，記作(TE;、標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量的單位相同；穩(wěn)定與波動，集中與分、隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值的散的程度。方差DE=pq，q=1-pD(X)=np(1-p)*(N-n)/(N-1)不要求DE=qEE=npq，q=1-p集中分布的期望與方差一覽期望兩點分布EE=p超幾何分布M服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布E=n卞二項分布“廠/、EE=npEB(n,p