人教版高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)-正態(tài)分布

1、11.6正態(tài)分布第十一章2022高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI課標(biāo)要求1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.通過具體實(shí)例,借助頻率直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征.2.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.備考指導(dǎo)正態(tài)分布在高考中一般以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查,難度不大.縱觀近幾年的高考趨勢,對(duì)概率的要求有所提高,正態(tài)分布知識(shí)有可能出現(xiàn)在概率解答題中的某一環(huán)節(jié),尤其對(duì)于正態(tài)分布的3原則要引起重視.本節(jié)常利用對(duì)稱性、間接法進(jìn)行概率求解,素養(yǎng)方面要加強(qiáng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模的培養(yǎng).內(nèi)容索引010203第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第

2、二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】 1.正態(tài)密度函數(shù)及其圖象(1)正態(tài)密度函數(shù)的解析式為 ,xR,其中R,0為參數(shù).(2)正態(tài)密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象稱為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.2.正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為XN(,2).特別地,當(dāng)=0,=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.問題思考1若隨機(jī)變量XN(,2),則參數(shù)和的意義是什么?和分別為隨機(jī)變量X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 3.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線在x軸的上方,曲線與x軸圍成的面積總為1;(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對(duì)稱;(3)曲線在x=處達(dá)到峰值(4)

3、當(dāng)|x|無限增大時(shí),曲線無限接近x軸.問題思考2參數(shù),對(duì)正態(tài)曲線的位置和形狀有何影響?(1)當(dāng)一定時(shí),正態(tài)曲線的位置由確定,且隨著的變化而沿x軸平移,如圖所示.(2)當(dāng)一定時(shí),正態(tài)曲線的形狀由確定.越小,峰值越高,曲線越“瘦高”,表示隨機(jī)變量的分布越集中;越大,峰值越低,曲線越“矮胖”,表示隨機(jī)變量的分布越分散,如圖所示.圖 圖4.3原則假設(shè)XN(,2),可以證明:對(duì)給定的kN*,P(-kX+k)是一個(gè)只與k有關(guān)的定值.特別地,P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(,2)的隨機(jī)變量X只取-3,+3中的

4、值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3原則.【知識(shí)鞏固】 1.下列說法正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,通常用XN(,2)表示,其中參數(shù)和2分別表示正態(tài)分布的均值和方差.()(2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積隨參數(shù),的變化而變化.()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱.()2.已知隨機(jī)變量XN(2,2),且P(X4)=0.8,則P(0X2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2C由題意可知P(X2)=0.5,P(0X2)=P(2X4)=P(X4)-P(X2)=0.3.故選C.3.(多選)已知甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位:kg)分別服從正態(tài)分布 ,其正態(tài)曲線如圖所示,則下列說法

5、正確的是()A.乙類水果的平均質(zhì)量為0.8 kgB.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均質(zhì)量左右C.12ABC因?yàn)榧椎膱D象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱,乙的圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱,所以1=0.4,2=0.8,故A正確,C正確.因?yàn)榧椎膱D象比乙的圖象更“瘦高”,所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均質(zhì)量左右,12,故B正確,D錯(cuò)誤.4.已知隨機(jī)變量XN(0,1),則X在區(qū)間(-,-2)內(nèi)取值的概率約為. (精確到千分位)5.設(shè)某城市居民私家車的平均每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量X(單位:元),經(jīng)統(tǒng)計(jì),XN(520,14 400),從該城市私家車中隨機(jī)選取容量為10 000的樣本,則平均每月汽

6、油費(fèi)用在區(qū)間(400,640)內(nèi)的私家車約有輛.0.0236 827因?yàn)閄N(520,14 400),所以=520,=120,所以P(400X640)=P(520-120X520+120)0.682 7.所以平均每月汽油費(fèi)用在區(qū)間(400,640)內(nèi)的私家車約有10 0000.682 7=6 827(輛).第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1正態(tài)曲線及其性質(zhì)例1(多選)已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù) ,xR(i=1,2,3)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.1=2=3B.1=23D.12=3BD觀察圖象可知12=3,1=23. 解題心得對(duì)于正態(tài)曲線,首先應(yīng)抓住圖象的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn):一是對(duì)稱軸為直線x

7、=,二是峰值為 .這兩點(diǎn)確定以后,相應(yīng)參數(shù),便確定了,然后根據(jù)參數(shù)對(duì)圖象影響的規(guī)律進(jìn)行判斷.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)隨機(jī)變量 ,X,Y的密度曲線如圖所示,則有()A.12,12B.12C.12,12,12A根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn),觀察題中圖象可知12,15).拓展延伸例2條件不變,若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(Xc-1),即c=1. 解題心得利用正態(tài)分布求概率的兩種方法(1)對(duì)稱法:已知XN(,2),因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以X的取值在關(guān)于直線x=對(duì)稱的區(qū)間上的概率相等.(2)3法:已知XN(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5, P(-3X+3)0.997 3

8、.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量XN(1,2),若P(-1X3)=()A第三環(huán)節(jié)學(xué)科素養(yǎng)提升正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 典例1(多選)已知在某市的一次學(xué)情檢測中,學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100,100),其中90分為及格線,120分為優(yōu)秀線,則下列說法正確的是()附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(,2),則P(-X+)0.682 7,P(-2X+2)0.954 5,P(-3X+3)0.997 3.A.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的均值為100B.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差為100C.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績的及格率超過0.8D.該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等答案:AC解析:依題意,=100,=10,故該市學(xué)

9、生數(shù)學(xué)成績的均值為100,標(biāo)準(zhǔn)差為10,故A正確,B錯(cuò)誤.因?yàn)閄N(100,100),所以P(X100)=P(X100)=0.5,P(90X110)0.682 7,P(80X120)0.954 5,所以該市學(xué)生數(shù)學(xué)成績不及格的人數(shù)比優(yōu)秀的人數(shù)多很多,故D錯(cuò)誤.典例2有一種精密零件,其尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布N(20,4).若這批零件共有5 000個(gè),試求:(1)這批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比;(2)若規(guī)定尺寸在2426 mm的零件不合格,則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)?解:(1)因?yàn)閄N(20,4),所以=20,=2,所以P(18X22)0.682 7,所以這批零件中尺寸在1822 mm的零件所占的百分比約為68.27%.(2)因?yàn)镻(16X24)0.954 5,P(14X26)0.997 3,所以P(24X26)= P(14X2