山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件22兩事件的獨(dú)立性

1、 顯然 P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性B =第一次擲出6點(diǎn)， A =第二次擲出6點(diǎn)，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè) 由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受P(B)0或P(A)0的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱A、B獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義例1 從一副不含大小王的

2、撲克牌中任取一張，記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的 在實(shí)際應(yīng)用中, 往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立. 則 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 P(A)= P(A|B), 說明事件A、B獨(dú)立. 在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義

3、去判斷兩事件是否獨(dú)立. 由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立 .甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中, B=乙命中，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率） 一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè) Ai=第i件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的, 則A1與A2獨(dú)立. 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到 第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)0,P(B)0, 則A 、

4、B不互斥.而P(A) 0, P(B) 0故 A、B不獨(dú)立我們來計(jì)算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即 問：能否在樣本空間S中找兩個(gè)事件,它們既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是 S和P( S) =P( )P(S)=0 與S獨(dú)立且互斥不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨(dú)立.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系.1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)

5、=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).=P(A)1-P(B)= P(A) P( )= P(A)-P(AB)P(A )= P(A-A B)A、B獨(dú)立故A與 獨(dú)立 . 概率的性質(zhì)= P(A)-P(A) P(B)證明: 僅證A與 獨(dú)立容易證明,若兩事件A、B獨(dú)立，則 也相互獨(dú)立.二、多個(gè)事件的獨(dú)立性將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件： 對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個(gè)等式同時(shí) P(AC)= P(A)P(C) 成立,則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨(dú)立. 推

6、廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義,可類似寫出：包含等式總數(shù)為：設(shè)A1,A2, ,An是 n個(gè)事件，如果對(duì)任意k(1k n),任意1 i1i2 2)個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡化：例2 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號(hào)為1，2，3，三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用所求為 P(A1+A2+A3)記 Ai=第i個(gè)人破譯出密碼 i=1,2,3記 Ai=第i個(gè)人破譯出密碼 i=1,2,312所求為 P(A1+A2+A3)已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1

7、+A2+A3) =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件 相互獨(dú)立,則 P(A1+An)也相互獨(dú)立 也就是說，n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積.則“ 至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為“=1- p1 pn 下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件. 它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(

8、H)解：將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工作，有其中P(C+D+E)=1-P(F+G)=1-P(W) 0.782代入得 一位老戰(zhàn)士向新伙伴介紹經(jīng)驗(yàn)；當(dāng)敵人向我們的陣地打炮時(shí)，你最好滾到新彈坑里藏身. 因?yàn)槎虝r(shí)間內(nèi)不大可能有兩發(fā)炮彈落到同一個(gè)地點(diǎn)！”他說得對(duì)嗎？ 這種想法的產(chǎn)生，是因?yàn)樗麄儧]有認(rèn)識(shí)到獨(dú)立事件的“獨(dú)立”性. 一發(fā)炮彈落在什么地方，和另一發(fā)炮彈之間沒有關(guān)系，它們是相互獨(dú)立的. 類似地，昨天從香港飛往紐約的飛機(jī)是否失事，與今天從北京飛往上海的飛機(jī)是否安全它們是相互獨(dú)立的事件. 頭胎生女生男與二胎生男生女，前幾次擲硬幣的結(jié)果與下一次出正面還是反面，都是彼此獨(dú)立的. 我們介紹了事件獨(dú)立性的概念. 不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)事