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文檔簡介

1、知識框架t數(shù)列的分類數(shù)列數(shù)列的通項公式-函數(shù)角度理解概念數(shù)列的遞推關系等差數(shù)列數(shù)列兩個基本數(shù)列等比數(shù)列i等差數(shù)列的定義an-an=d(n_2)等差數(shù)列的通項公式anai(n-1)d等差數(shù)列的求和公式S.=(a1+an)=nat+n(n-1)d22等差數(shù)列的性質ana=apaq(mn=pq)等比數(shù)列的定義=q(n工2)anJ.等比數(shù)列的通項公式an=a.qng.anq=ai(1qri)(q知)等比數(shù)列的求和公式Sn=1q1-qna.(q=1)i等比數(shù)列的性質anam=apaq(m+n=p+q)公式法分組求和數(shù)列求和錯位相減求和裂項求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應用分期付款其他能在高考

2、中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項公式觀察法。(2)由遞推公式求通項。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解,通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=a+d及an+1=qan(d,q為常數(shù))例1、已知an滿足an+1=an+2,而且a1=1。求an。例1、解/an+1-an=2為常數(shù)an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列/an=1+2(n-1)即an=2n-11例2、已知an滿足andan,而ai=2,求an=?希12解=-是常數(shù)亞2二話是以2為首項,公比為+的等卜威列二.帆=2*(-)11-1=遞推式為an+1=an+f(n)11例3、已知an

3、中a1,an-an2,求an.24n11111解:由已知可知and-an()(2n+1)(2n-1)22n-12n+1令n=1,2,,(n-1),代入得(n-1)個等式累加,即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)掌握了數(shù)列的基本知識,特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式及性質,掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法的應用,就有可文檔大全1廣1(nN)有a3anj2,求an.解法一:由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減:an+1-an=3(an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列,其首項為a2-a1=(3X1+2)-1=4-an+

4、1-an=43-an+1=3an+2-3an+2-an=43即an=23-1解法二:上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列,于是有:a2-a1=4,a3-a2=4-3,2a4-a3=43,,an-an-1=4把n-1個/an=23n-1-1說明對于遞推式如訴心可兩邊除以嚴,得許+A引輔助數(shù)列I(“晉),得也二后用qqqqnqq(5)遞推式為an.2=pan1qan思路:設an.2二pan1qan,可以變形為:an.2-an(and-:an),(cl+p=p就是張廠2+B)j-Cl陸,則可從門R解得4隊IP=想于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列,就轉化為前面的類型。0+分析小a*解在仏遞

5、推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))【例5】己知aj中,町二an+1=Tan+(3)叫求張略解在亦三耳+cp的兩邊乘以計嚅o2n+1-an+1=-&憐+1,令=2壯2bn1丄一(6-bnj)由上題的解法,得:g=3-2()“TOC o 1-5 h z3bn1、n1、nann=3()2()22321【例6】已知數(shù)列枝J中,=a2=2,an+3=-an+1+-an,求an2p=VJ213J=許1+評兩邊減去玄葉an+lJ是公比為首項為勾F二啲等比數(shù)列。計+-+十門廠1+/1-(冷)h_1(6)遞推式為S與an的關系式,iCn=1)L-Sp(n2)此類型可利用:關系;數(shù)列求和的常用方法:1、

6、拆項分組法:即把每一項拆成幾項,重新組合分成幾組,轉化為特殊數(shù)列求和。2、錯項相減法:適用于差比數(shù)列(如果祐,等差,g等比,那么:anbn?叫做差比數(shù)列)即把每一項都乘以b/的公比q,向后錯一項,再對應同次項相減,轉化為等比數(shù)列求和。3、裂項相消法:即把每一項都拆成正負兩項,使其正負抵消,只余有限幾試用n表示an。項,可求和。適用于數(shù)列-、an,aHH(其中l(wèi)a/等差)Sh+i=4-11Sn1-Sn-(an-an1)(n-222解1)由Sn=4-an-y得可裂項為:11(-丄)an,an*dana佔an十anan+?n4等差數(shù)列前n項和的最值問題:上式兩邊同乘以2的等差數(shù)列。2n+1得2n+1

7、an+i=2nan+2則23是公差為2nan=2+(n-1)2=2n1、若等差數(shù)列l(wèi)a,的首項a10,公差d:0,則前n項和Sn有最大值。(i)若已知通項an,則Sn最大二anan41蘭02q(ii)若已知Sn=pnqn,則當n取最靠近的非零自然數(shù)時Sn最2p大;2、若等差數(shù)列的首項內c0,公差d0,則前n項和Sn有最小值fan-0若已知通項an,則Sn最小二an一0(ii)若已知Sn=pn2qn,則當n取最靠近-的非零自然數(shù)時Sn最2p小;數(shù)列通項的求法:公式法:等差數(shù)列通項公式;等比數(shù)列通項公式。已知Sn(即ai-32an=f(n)求務,用作差法:a=0(n=1)3nSn-Sn,(n一2)

8、廠nn|f(1),(n=1)已知aja2_an=f(n)求an,用作商法:a.=ff(n)(n仝2)。if(nT),已知條件中既有Sn還有an,有時先求Sn,再求an;有時也可直接求an。若ani-an=f(n)求an用累加法:an=(anan4)(an4anR川(a2ai)ai(n一2)。已知=f(n)求an,用累乘法:an業(yè)-aniJI皂a(n亠2)。anan-Aan-2ai已知遞推關系求an,用構造法(構造等差、等比數(shù)列)。特別地,(1)形如an二kanjb、akanjb(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉化為公比為k的等比數(shù)列后,再求an;形如二kan_i-kn的遞推數(shù)列都可

9、以除以kn得到一個等差數(shù)列后,再求an。形如an仏的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。nkanJ+bk形如anan的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。(理科)數(shù)學歸納法。當遇到ananJ=d或也=q時,分奇數(shù)項偶數(shù)項討論,結果可an4能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法:公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式。分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和。3)倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián),則常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導方法)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一

10、個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法).裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:111;11(-11);n(n1)nn1n(nk)kvnnk,421)kk-12k-1k1an111111kk1,k1)kk2(k-1)k一k-114(n=1)2n1(n_2)n(n1)(n2)2右)1(n1)(n2)(n1)!丄1n!(n1)!練習數(shù)列an?滿足SnSnd=a3a4,求an=2(行_眉1)(注意到an.Snd-Sn代入得:、解題方法:求數(shù)列通項公式的常用方法

11、:1、公式法2、由Sn求an(n=1時,a1二Sn一2時,an二Sn-Snj)3、求差(商)法11解:n=1時,一a12如:n滿足*a2=215,n_2時,1a12:1乜-”2得:2a222丄3=22“an2a=2時n12?an=2n5二a1=14:1-:2又S4,二Sn是等比數(shù)列,Sn=4nn2時,an=SnSn.nJ=34、疊乘法例如:數(shù)列an中,a1a1nr=3,=,求ann+1解:a2a3an二12n1-?a1a2and23n又ar=3,二an=-3n5、等差型遞推公式由an-a=f(n),a1=a0,求an,用迭加法n2時,a?a1=f(2)a3a?=f(3)兩邊相加,得:a.a.=

12、f(n)4ana1弘=4Snan實用標準文案2文檔大全an-a1=f(2)f(3)f(n)(an1)-an二a。f(2)f(3)f(n)練習數(shù)列an/,ai=1,an=3nann_2,求a.1(an=13n-1)26、等比型遞推公式an二candc、d為常數(shù),c0,c=1,d=07、倒數(shù)法例如:a1=1,an=n,求anan+2可轉化為等比數(shù)列,設anx=Canx=an=canC_1X由已知得:丄二旦!2=1丄a12an2a.111.an1an2.為等差數(shù)列,丄=1,公差為-ana12令(c-1)x=d,.x=c-1an二1n_1an是首項為a1c1J,c為公比的等比數(shù)列c一1-an旦C一1a

13、C_1n-1c-anfa1+旦|c-1ndcc-12.數(shù)列求和問題的方法(1)、應用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和,另外記住以練習下公式對求和來說是有益的。數(shù)列Bn滿足a1=9,3an1an=4,求a.1+2+3+實用標準文案2文檔大全I3+2孑+爭+11=-n(n+1)1+(n3+n-1)2G+l)+(2n_1)=n+j“+Wn+l)【例8】求數(shù)列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項的和。1解本題實際是求各奇數(shù)的和,在數(shù)列的前n項中,共有1+2+n=-n(n1)2個奇數(shù),12最后一個奇數(shù)為:1+n(n+1)-1x2=n2+n-1

14、2因此所求數(shù)列的前n項的和為(2)、分解轉化法對通項進行分解、組合,轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?!纠?】求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)=-il3Ctt+D(n-1)士(宀)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列,采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加,然后求和。例10、求和:Sn=3C:6C:III3nC;例10、解Sn=0C0+3C:+6C:+川+3nC;又緒=弘C:+3(n-1)C+0蹲相加,且運用C:=c:“可得2Sn二3n(C:+C:+C:)-3n*2nSn=3n

15、2n-1、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘構成的,可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比,然后錯位相減求和.例11、求數(shù)列1,3x,5x2,(2n-1)xn-1前n項的和.解設S=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當x=1時,=,n=x=0時,S=1.當xm0且xm1時,在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-,得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.12x(1-x11-1)n由公式知S履二一1+(2葉1卅1-x1-xl+x-(2n+l)xn+(2n-=-裂項法:把通項公式整理成兩項(式多項)差的形

16、式,然后前后相消。常見裂項方法:實用標準文案文檔大全1n(n+k)knn+k11解依題意,i殳6)7=呵+口叮)d二f(n)n(n+l)(n+2)2nn+1n+2石占窩訂后例12、求和+-+1-53-75-9此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)次函數(shù)的圖像開口向下當藍=-(1)=f(k)二當1+k為偶數(shù)時二三時以最九當1+k為奇數(shù)時,fl=匕害時最大。1,一1*53*75*9(2n-1)(2n3)母和1111帝和+-+八(2n-l)(2n+3)111(2n-l)(2n+3)_42n-l2口十多a10Si=Sk(I豐k),.dv0故此二2時fG)最大,f(n)中,此N1111111111a4l53759

17、2n-32n+12n-12n+3_lri111.4l32n+l2n+3Jn(4n+5)3(2n4-l)(2n+3)注:在消項時一定注意消去了哪些項,還剩下哪些項,一般地剩下的正項與負項一樣多。在掌握常見題型的解法的同時,也要注重數(shù)學思想在解決數(shù)列問題時的應用。二、常用數(shù)學思想方法函數(shù)思想運用數(shù)列中的通項公式的特點把數(shù)列問題轉化為函數(shù)問題解決?!纠?3】等差數(shù)列an的首項ao0,前n項的和為S,若S=Sk(I豐k)問n為何值時Sn最大?.方程思想【例14】設等比數(shù)列an前n項和為S,若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎知識及推理能力。解依題意可知1。如果q=1,則S3

18、=3a1,S6=6a1,Ss=9a1。由此應推出a1=0與等比數(shù)列不符。qz1.(1-q3)|坷(lq)2坷(lq)“)整理得q3(2q6-q3-1)=0/qz0.2q6-q3-l=0q;=l舍.A.6B.6(1)2C.62nD6或6(1)2或62心二、填空題1已知數(shù)列n*中,a1=-1,an10n=a“1-,則數(shù)列通項an=。2.已知數(shù)列的Sn=n2+n十1,貝Ua$十a9+a10十a“十a12=。3.三個不同的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,且a,c,b成等比數(shù)列,則a:b:c=。三、解答題1已知數(shù)列的前n項和S3-2n,求an此題還可以作如下思考:33336S6=S3+qS3=(1+q)S。S9=S?+qS6=S(1+q+q),由S3+S=2S可得2+q3=2(l+q+q6),2q6+q3=0m1V4換元思想【例15】已知a,b,c是不為1的正數(shù),x,y,zR+,且112有屮=c3n-+-xzy求證:a,b,c順次成等比數(shù)列。證明依題意令a=b=c=kx=1ogak,y=logbk,z=logck.112112H.+二一,.L+=X2ylo&klogcklogbk故件+獸彈即1護心洶邁klgklgk2b=aca,b,c成等比數(shù)列(a,b,c均不為0)數(shù)學5(必修)第二章:數(shù)列一、

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