山東大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件01函數(shù)、極限、連續(xù)

1、高等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué)常量數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)它是學(xué)習(xí)其它專業(yè)課所必須的基礎(chǔ)知識，函數(shù) 極限 連續(xù)高等數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)理論課，所用的工具是極限。也是解決科學(xué)技術(shù)問題的重要工具。高等數(shù)學(xué)研究的對象是函數(shù)， 函數(shù)以a為中心任何開區(qū)間，稱為點(diǎn)a的鄰域，記作一 預(yù)備知識1.集合2.區(qū)間3.絕對值鄰域表示方法:4.鄰域設(shè)有兩個變量x與y,如果變量x內(nèi)任取一個確定數(shù)值時，在其變化范圍D 變量y按照一定的規(guī)則有唯一確定的數(shù)值和它對應(yīng)，1.定義則稱變量y是變量x的函數(shù)，記作y=f(x)二.函數(shù)概念3.求定義域2.分段函數(shù)4.性質(zhì)5.反函數(shù)其定義為D,值域?yàn)閃， 由兩個或兩個以上數(shù)學(xué)式子表示的 有界性、一個函數(shù)單調(diào)性、

2、奇偶性、周期性記作 x=f-1(y),定義.給定函數(shù)y=f(x)，如果對于W中任一值y=y0，必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我們說在W上確定了y=f(x)的反函數(shù)，三.復(fù)合函數(shù)1.基本初等函數(shù)(六種)（1）常數(shù)函數(shù)（6）反三角函數(shù)（3）指數(shù)函數(shù)（5）三角函數(shù)（2）冪函數(shù)（4）對數(shù)函數(shù)由F(x,y)=0 確定的函數(shù)y=f(x)，6.隱函數(shù)是x 的隱函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，且 的值域包含在y=f(u)的定義域內(nèi)，則通過變量u ,y就是x 的函數(shù)，記作 y=f 而 u 稱為中間變量而u= 又是 x 的函數(shù).稱這個函數(shù)為y=f(u)及u= 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù) 3.初等

3、函數(shù)由基本初等函數(shù)通過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成的且能用一個解析式子表示的函數(shù)均為初等函數(shù)研究復(fù)合函數(shù)，經(jīng)常需要將一個復(fù)合函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)的形式。四.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.雙曲函數(shù) 2.反雙曲函數(shù)反雙曲正弦反雙曲余弦反雙曲正切例 分解復(fù)合函數(shù)為幾個簡單函數(shù)的形式極限1、數(shù)列自變量為整數(shù)的函數(shù)稱為整標(biāo)函數(shù)，將整標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值按自然數(shù) 順序排列出來的一列數(shù)記作稱為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)叫作數(shù)列的項(xiàng)第n 項(xiàng)un 叫作通項(xiàng)一、數(shù)列極限2、數(shù)列的極限 定義1.給定數(shù)列xn,如果當(dāng)n無限增大時xn無限趨近于某個確定的常數(shù)a,則稱a為n趨于無窮時數(shù)列xn的極限或者稱數(shù)列xn收斂于a,記作或

4、例如一尺之棒，日取其半，萬世不竭。莊子天下篇載一段話即一尺長的木棒,每天取下它的一半,每天取下它的長度是一個數(shù)列,當(dāng)n時,無限趨于常數(shù)0,但永遠(yuǎn)不等于0.這就是萬世不竭.定義2 使得當(dāng) 時，則稱常數(shù)a為數(shù)列xn或（ ）記為若數(shù)列 xn 沒有極限，則稱數(shù)列 xn 是發(fā)散的設(shè) a 為常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)（不論多么?。?，總存在正數(shù)N，恒有當(dāng) 時的極限， 幾何意義：若將數(shù)列的項(xiàng) 用數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)表示，則數(shù)列xn 收斂于A 意味著，總存在著整數(shù)N，使當(dāng) 時所有的點(diǎn)xn都落在點(diǎn)A的 鄰域 之內(nèi)，而只有有限個（至多 個）落在這個鄰域之外，于是點(diǎn) 就是點(diǎn)列xn 凝聚中心不管 多么小例 證明思考：數(shù)列是

5、否有兩個極限，為什么？證：因要使若取正整數(shù)由定義可以證明。 1).如果數(shù)列xn收斂于a, 則xn的任意子列xn也收斂于a.即但反之不成立（M為常數(shù)）即 2).如果數(shù)列xn收斂, 則 一定為有界數(shù)列二、函數(shù)的極限 3）如何刻劃這種變化趨勢1）作圖2）當(dāng) 時，f(x)與哪個常數(shù)無限接近給定一個函數(shù)y=f（x），在變量x充分大以后有定義，如果當(dāng)x無限增大時，函數(shù)y=f（x）無限趨近于某一個常數(shù)a，定義1幾何意義定義2則得數(shù)列極限的定義。特例 數(shù)列極限結(jié)論當(dāng)x 取自然數(shù)n.1）畫圖3）用什麼方法刻畫這種趨勢？2.極限2）當(dāng) ,f(x) 時,變化趨勢如何？例 研究函數(shù)f(x)與1愈來愈近當(dāng) x 與0無限

6、接近(并不是x=0之意)時, 當(dāng) 時的變化趨勢。定義1設(shè)對某個常數(shù)h0,函數(shù)y=f（x）的實(shí)數(shù)集函數(shù)f（x）的值無限趨近于某一確定常數(shù)a，上有定義，如果當(dāng)自變量x無限趨于x0（xx0）時設(shè)函數(shù)f(x)在x0 的某鄰域內(nèi)有定義，若對于任意給定的正數(shù) ,總存在正數(shù) ，恒有記作則稱常數(shù)a為 當(dāng) 時的極限，（ 可除外）a為一常數(shù)，使當(dāng)時，或定義2注 意1） 意為從 x0 兩側(cè)無限接近x02）即使函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)無定義，仍可考慮記憶法：給定任意小， 必可找， 鄰域內(nèi)，距離任意小。的存在問題3）表示思考 ：若函數(shù)f(x) 在x0 有定義4）由定義知： ，x0 為任意實(shí)數(shù)是否一定成立例2 證明幾何意義證

7、任意給定 因?yàn)橛怪灰?3 證明對于任意給定 因?yàn)樗砸怪灰? 證明證 對于任意給定的正數(shù)因?yàn)橛怪灰?、左、右極限記作1）右極限函數(shù)y=f（x）在實(shí)數(shù)集上有定義，設(shè)對某個常數(shù)h0,左極限2）函數(shù)y=f（x）在實(shí)數(shù)集上有定義，設(shè)對某個常數(shù)h0,定理記作左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限例 5 例 6注意 不要把無窮小與很小的數(shù)混為一談！定義5 無窮小與無窮大1、無窮小注：1）無窮小是一個變量，而不是一個數(shù)因而0是無窮小2）當(dāng) 時，滿足無窮小的定義，3）當(dāng) （或 ）時，函數(shù)與零無限制地逼近定義6定理2 1.無窮大是一個變量，而不是數(shù)。2.函數(shù)的極限是無窮大,表明極限不存在注:問題：無窮大量與無界

8、函數(shù)有什么區(qū)別？2、無窮大 極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則一、極限的性質(zhì)1.如果 f（x）g（x），而則有AB2.極限的唯一性如果又則必有A=B3.極限的局部保號性1)2)(局部)有界性定理5 4、極限與無窮小的關(guān)系 (1) 自變量必須在同一變化趨勢下；(2)極限存在的函數(shù)可寫成其極限值 與無窮小之和注意二、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理6 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.定理7 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.推論1 常量與無窮小之積仍為無窮小.推論2 有限個無窮小之積仍為無窮小. 無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮大？思考：無窮大量與無窮小量的乘積是否為無窮??？三、極限的運(yùn)算法則定理8推論3推論41）若有限

9、個函數(shù)的極限存在，2）上面各定理對于數(shù)列同樣正確3）上面各定理的極限過程為 或注 1）例1若則和的極限 等于極限的和注意：若且則例2注 2）注 3）若則則應(yīng)消去零因子后，再求極限例3若注 4）例4注 5）對于無理分式，若是則應(yīng)將分子或分母有理化后，再求極限例5例6例7例8注 6） 例9例9四、有關(guān)數(shù)列極限的題目例10例11例12 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1*準(zhǔn)則1如果數(shù)列 及 滿足下列條件則數(shù)列 的極限存在且 （夾逼準(zhǔn)則）例1xn單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 單調(diào)增數(shù)列單調(diào)減數(shù)列單調(diào)數(shù)列的變化趨勢例2準(zhǔn)則二、兩個重要極限由數(shù)學(xué)歸納法證明得證：作單位圓則SAOB即交OB的延長線于

10、D 由于所以以 代 此不等式仍成立過點(diǎn)A 作圓的切線,SAODS扇AOB于是設(shè)圓心角為用準(zhǔn)則 有所以即得下面證明事實(shí)上注意注意：湊函數(shù) u(x)， u(x)趨于零例1例2例3例4分子分母同乘以例5重要極限首先考慮 取整數(shù) 的情形設(shè) 證 單調(diào)有界由二項(xiàng)式定理展開類似地比較與 知：又即可以證明結(jié)論：有界，有準(zhǔn)則，此數(shù)列 有極限。例2例3例1注意例1例4無窮小的比較一、無窮小的比較定義1二、無窮小主部和無窮小的階定義2定義3例1例2三、等價無窮小代換定理定理1證例3 求例4注意 等價無窮小代換不能在加減法中適用.例總 結(jié)習(xí)題課小結(jié)；求極限的方法 1.利用極限的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則 例1 例2例3 2.

11、 利用兩個重要極限例4例5原式=例6例7例8有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量為有限值）（3.利用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)變換例9例10例11已知求因?yàn)樗约?.利用極限存在準(zhǔn)則例12 設(shè) 求其中解又單調(diào)減少,且有下界,有極限設(shè)極限為 ,即即5.等價無窮小代換記住一些常用的等價無窮小例13由得例14例15例166.左右極限例17例18設(shè)求7.根據(jù)極限求參數(shù)例19設(shè)求解而 是常數(shù)即例20已知求 之值 解而即即對于極限是否存在,有下面的結(jié)論: (2)對于函數(shù)來說: 的充要條件是對于任一列 都有是其任意子列都收斂,1)且都收斂于同一極限(1)對于數(shù)列來講,一個數(shù)列收斂的充要條件 的充要條件是對于任一列 都有2)3

12、) 對于單側(cè)極限也有類似的結(jié)論上述極限性質(zhì)常用于判別極限不存在1）對于數(shù)列來講，則原數(shù)列極限不存在。但極限值不等，若有兩個子列均收斂，則函數(shù)極限不存在。3）上述性質(zhì)也可用于判斷極限不是無窮大例21但當(dāng) 時2）對于函數(shù)來說，若有兩個數(shù)列均收斂于x0（但每一項(xiàng)都不等于x0 ）（或趨于 ），但其函數(shù)列不收斂或極限不相等，證明函數(shù)在 上無界，這函數(shù)也不是無窮大證：這說明在 上無界而取又當(dāng)而這說明 不是無窮大量例22 證明不存在證 取則所以取則所以由于所以 不存在第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)的連續(xù)性注意增量定義1二.函數(shù)連續(xù)的定義若反之,稱函數(shù)在x0 處間斷,且將x0 叫作函數(shù)的間斷點(diǎn) 于是,得

13、到連續(xù)性的等價定義因?yàn)?或故由可推得注意 等價定義如下定義2連續(xù)函數(shù)的幾何意義:若 在 上連續(xù),則圖形在 必斷開,則對應(yīng)于函數(shù)的圖形(曲線)是連續(xù)不斷的,且斷開的形式是多種多樣的.若在 處 不連續(xù),例1由 的任意性知例2同法可以證明 在 內(nèi)也連續(xù)例3三、間斷點(diǎn)定義3間斷點(diǎn)分類例4例5三、初等函數(shù)的連續(xù)性(導(dǎo)讀)和差積商的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例6即 若則更一般地初等函數(shù)連續(xù)性1、基本初等函數(shù)在其定義域上連續(xù).2、初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).3、初等函數(shù)在其定義區(qū)間上求極限即求該點(diǎn)的 函數(shù)值.4、初等函數(shù)求連續(xù)區(qū)間即求定義區(qū)間.例7第七節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大值和最小值定理定義最大值和最小值. 定理1 (最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有幾何說明：例如 在 上連續(xù)