山東大學(xué)高等數(shù)學(xué)課件05定積分與不定積分

1、要求：理解定積分與不定積分的概念 熟練掌握定積分與不定積分的計(jì)算方法記住 多做練習(xí)啊！ 定積分與不定積分0 定積分概念與性質(zhì)分割取近似求和取極限2.變速直線運(yùn)動的路程（1）分割 （2）取近似共同特性分割，取近似，求和，取極限(3)求和 （4）取極限二.定積分的定義1.定義曲邊梯形的面積變速運(yùn)動的路程定理1. 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上有界,且有有限個第一類間斷點(diǎn),則f(x)在a,b上可積.注(1)定積分是一個數(shù)值與被積函數(shù)有關(guān)。(2)定積分的值與區(qū)間的分法無關(guān),2.定積分存在的充分條件(3)定積分的值只與區(qū)間長度有關(guān)，與 的取法無關(guān)3.定積分的幾何意義例1 利用定積分的定義計(jì)算三.定積分的性質(zhì)對

2、于c在區(qū)間 a,b之內(nèi)或之外, 結(jié)論同樣成立幾何解釋：在a,b上至少存在一點(diǎn),使曲邊梯形的面積等于以 為高的一個矩形面積 由導(dǎo)數(shù)概念知 不定積分概念及性質(zhì)1.定義: 若則求原函數(shù)的問題是與求導(dǎo)數(shù)相反的問題一.原函數(shù)的概念問題:(1)什麼樣的函數(shù)存在原函數(shù)? (2)若 具有原函數(shù),共有多少個?若f(x)有原函數(shù)則一定有無窮多個連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)2.不定積分的定義記作原函數(shù)的全體稱為不定積分 ,定義 23.若 是 的原函數(shù),1.原函數(shù)存在定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對一切 ,2.若F(x)是f(x)的一 個原函數(shù),那么F(x)+c也是 f(x)的原函

3、數(shù)則f(x)的一個原函數(shù)在幾何上稱為一條積分曲線這些積分曲線在這自變量相同的點(diǎn)處切線是相互平行的3.原函數(shù)與不定積分的幾何意義二.不定積分的性質(zhì)三.不定積分的基本公式請牢記要背熟!例題：求下列不定積分拆項(xiàng)積分是一種有效的積分方法！四.換元積分法與分布積分法討論幾種常見函數(shù)的積分1.第一類換元積分公式 令 令 例2例3例1例1例2.例1例2例3例4例5令 u=cosx例6令 2.第二換元積分法定理2. 3.分布積分法例2例6例7 求其中n 為整數(shù)解 用分布積分，當(dāng) 時有即于是以此作遞推公式，可得并由有理函數(shù)的積分1引言 兩個多項(xiàng)式 與 之商 稱為有理式。而有理函數(shù)的積分可以分解為下面幾種有理函數(shù)

4、的積分。幾類簡單有理函數(shù)的積分代數(shù)基本定理定理1 任何一個 次多項(xiàng)式 可以分解成 下面的形式其中 為實(shí)數(shù)根， 為其實(shí)數(shù)；分別對應(yīng)于一對復(fù)根，為其實(shí)數(shù)，且定理2 若有理真分式 的分母 分解成定理1的形式，則有理真分式可展開成其中 等都是未定常數(shù)?？赏ㄟ^比較多項(xiàng)式系數(shù)而定出。例例1例2令得令令得得例3例4三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)，由于各種三角函數(shù)都可用 及 的有理式表示，故三角函數(shù)有理式也就是 的有理式，記作例5 求有三角公式知 與 都可以用 的有理式表示，即令于是一般地對于三角有理式的積分，令簡單無理函數(shù)的積分主要討論 及例1例2例3例4

5、令令令令 定積分與原函數(shù)的關(guān)系一.變上限的定積分及其導(dǎo)數(shù)定理表明:(1)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(2) 把定積分與原函數(shù)之間建立起聯(lián)系二.牛頓-萊布尼茲公式第四節(jié) 定積分的換元積分法與分布積分法一.定積分的換元積分法注意:換元的同時一定要換限二.定積分的分布積分法 定積分應(yīng)用定積分的微元分析法用定積分表示的量U必須具備三個特征 :一 . 能用定積分表示的量所必須具備的特征(3) 部分量 的近似值可表示為二 .微元分析法則U相應(yīng)地分成許多部分量;用定積分表示量U的基本步驟:(1) U是與一個變量x的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量;(2) U 對于區(qū)間a,b具有可加性.即如果把區(qū)a,b 分成許多部分區(qū)間,根

6、據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(2) 在區(qū)間a,b內(nèi)任取一個小區(qū)間 ,求出相應(yīng)于這個小區(qū)間的部分量 的近似值.在 處的值 與 的乘積,就把 稱為量U的微元且記作 ,即如果 能近似地表示為a,b上的一個連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間a,b;(3) 以所求量U的微元 為被積表達(dá)式,在區(qū)間a,b上作定積分,得 平面圖形的面積一 直角坐標(biāo)情形1 . 曲邊梯形當(dāng)f(x)在a,b上連續(xù)時, 由曲線y=f(x)和x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積就是2. 一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數(shù) 在a,b上連續(xù),且 則介于兩條曲線 注意:根據(jù)具體的圖形特點(diǎn),也可以選

7、擇作為積分變量或者利用圖形的對稱性簡化計(jì)算.例1 求橢圓的面積(如圖).解 由對稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為則例2 求由所圍圖形面積.解 兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區(qū)間為0,1.由前面討論可知:(1,1)oyx例3 求由所圍圖形面積.解 兩曲線的交點(diǎn)為(2,-2)及(8,4).根據(jù)此圖形特點(diǎn),可以選擇y作為積分變量,其變化區(qū)間為-2,4.yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得圖形面積二. 極坐標(biāo)情形1. 曲邊扇形其中r()在 ,上連續(xù),且r()0.相應(yīng)于, +d的面積微元為則圖形面積為o r

8、=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線=, =所圍成.取為積分變量,其變化區(qū)間為 ,2. 一般圖形及射線=, =所圍圖形的面積微元為 則面積為o相應(yīng)于從 0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積. 解 如圖,可視為=0, = 2及r=a 圍成的曲邊扇形.則其面積為o 由曲線 例4 求阿基米德螺線r=a(a0)上NoM例5 求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解 如圖,曲線交點(diǎn)為由對稱性則而三. 參數(shù)方程情形 當(dāng)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方x=(t),y=(t) ,且()=a, ()=b,在,上(t)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), (t)連續(xù),則曲邊梯形面積面積為在例1中,若采用橢圓的參數(shù)方程則 立體的體積一. 平行截面面積

9、已知的立體體積點(diǎn)x且垂直于x 軸的截面面積.如圖,體積微元為dV=A(x)dx, 則體積為 例1 如圖,從圓柱體上截下一塊楔形體,abx求其體積. 取x為積分變量,其變化范圍為a,b. 設(shè)立體介于x=a,x=b之間,A(x)表示過則邊長分別為y和ytan .因此如圖,過x的截面是直角三角形,解-RRyxoxyxyoRh高為h的正劈錐體的體積.底邊長為2y,高為h.因此 則過x的截面是等腰三角形, 解 如圖, 例2 求以圓為底,平行且等于底圓直徑的線段為頂,稱為旋轉(zhuǎn)體.則如前所述,可求得截面面積二. 旋轉(zhuǎn)體的體積則 平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體設(shè)旋轉(zhuǎn)體由圖1的曲邊梯形繞x軸形成.

10、yxaby=f(x)ox圖1 同理,如旋轉(zhuǎn)體由圖2的曲邊梯形繞y軸形成.ycoxdx=(y) 例3 求如圖直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐體的體積. 解 可求得過點(diǎn)O及P(h,r)的直線方程為由公式得yoxP(h,r)則體積為圖2圖3例4 求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積解 由對稱性及公式aaxy 例5 求圓心在(b,0),半徑為a(ba)的圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積. yxoba解 圓的方程為,則所求體積可視為曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差.分別與直線y=-a,y=a及y軸所圍成的則例 證明：由平面圖形 繞 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為柱殼法就是把旋轉(zhuǎn)體看成是以y 軸為中心軸的一系

11、列圓柱形薄殼組成的，即為圓柱薄殼當(dāng)dx很小時，此小柱體的高看作f（x），以此柱殼的體積作為體積元素，在區(qū)間 上柱殼體的體積元素為 平面曲線的弧長光滑曲線可應(yīng)用定積分求弧長. 若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù),則稱曲線y=f(x)為區(qū)間a,b上的光滑曲線,一.直角坐標(biāo)情形設(shè)光滑曲線方程:可用相應(yīng)的切線段近似代替.即則弧長微元(弧微分)故弧長為oyxdyabdxy=f(x)取x為積分變量,變化區(qū)間為a,b.a,b內(nèi)任意小區(qū)間x, x +d x的一段弧長 例1 求曲線相應(yīng)于x從a到b的一段弧長.解 例2 求的全弧長.解 y=y(x)的定義域?yàn)?故弧長為:二. 參數(shù)方程情形設(shè)光滑曲線方程:

12、弧長微元則如前所述,例4 求星形線的弧長.解 由對稱性及公式例4 求阿基米德螺線r=a(a0)上相應(yīng)于從0到2的一段弧長.解三. 極坐標(biāo)情形設(shè)曲線方程:r=r() (). 化為參數(shù)方程:則114定積分的物理應(yīng)用一. 變力沿直線作功若物體在常力F作用下沿F方向移動s距離,.由x=a移到x=b,可用微元法解決做功問題.dW=F(x)dx則F(x)abxx+dx則W=Fs 若物體在變力F(x)作用下沿力的方向 取x為積分變量,變化區(qū)間為a,b.相應(yīng)于任意小區(qū)間x,x+dx的功的微元115 例1 設(shè)9.8牛頓的力能使彈簧伸長1厘米,解從而由公式(焦耳) 例2 形如圓錐臺的水桶內(nèi)盛滿了水(如圖), 解

13、設(shè)想將水分成許多薄層,問將全部水吸出需作多少功?(水比重為9800牛頓/立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸長10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛頓,而x=0.01米時,已知 F=kx,F=980 x.吸出各層水所作的功的總和即為所求.116 取x為積分變量,變化區(qū)間為則 例3 一桶水重10kg,由一條線密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出這層水的位移近似于x.的薄層水近似于圓柱,0,2.相應(yīng)于任意小區(qū)間x,x+dx繩子系著,將它從20m深的井里提上來需作多少功?117 解 將水桶從井里提上來所作的功為 將繩子從井里提上來所作的功,則所作的總功為

14、xo20 xx+dx即變力沿直線作的功為118二. 靜液壓力 設(shè)有一面積為A的平板,水平放置在液體下深度h處,則平板一側(cè)所受壓力為 N=hA. (為液體比重)則平板一側(cè)所受壓力須用微元法解決. 取x為積分變量,變化區(qū)間為a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x處水平放置的長方形窄條所受的壓力.相應(yīng)于x,x+dx的窄條所受到的壓力 如果平板垂直放置在液體下,以如圖曲邊梯形為例:119則壓力微元為dN= xydx= xf(x)dx因此整個平板所受壓力為 例4 一個橫放的半徑為R的圓柱形油桶內(nèi)有半桶油(比重),求一個端面所受的壓力.解 由對稱性從而轉(zhuǎn)化為上述曲邊梯形情形,即oxyabxx+dxy=f(x)xyo120例5 求如圖的等腰梯形水閘門一側(cè)所受的壓力.解 由對稱性也可轉(zhuǎn)化為曲邊梯形情形,曲邊為則壓力為三. 引力由萬有引力定律,兩質(zhì)點(diǎn)之間的引力為若要計(jì)算細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)的引力,須用微元法解決.2o2xy(2,1)121 例6 設(shè)有質(zhì)量為M,長度為l的均勻細(xì)桿,任意小段x,x+dx近似于質(zhì)點(diǎn),且質(zhì)量為