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文檔簡介

1、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:稱為一階齊次線性方程.稱為一階非齊次線性方程.例如非齊次對應(yīng)地一階齊次線性方程的通解為(1) 使用別離變量法求對應(yīng)地一階齊次線性方程的通解求一階非齊次線性微分方程通解的步驟一階線性齊次方程(使用別離變量法)(2) 求一階非齊次線性方程的通解非齊次方程通解形式與對應(yīng)地齊次方程通解相比:常數(shù)變易法把對應(yīng)地齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.作變換其中的 u 為 x 的待定函數(shù). 假設(shè)一階非齊次線性微分方程的解為積分得一階非齊次線性微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解 注1 . 注2 把對應(yīng)地齊次線性方程通解中的任意常

2、數(shù) c 變易為待定函數(shù) u(x), 使其滿足非齊次線性方程而求出的 u(x), 從而得到非齊次線性方程通解的方法稱為 “常數(shù)變易法 是求解線性微分方程的一種常用的重要方法.解例解 將方程改寫為 例 求方程的通解. 先求齊方程的通解 別離變量, 得 兩端積分并整理, 得齊方程的通解 故原方程的通解為將 y與y代入方程, 并整理, 得兩端積分, 得用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解 y = (ex + c) (x+1)2 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及滿足初始條件 y|x=1 = / 2 的特解. 解 將方程改寫為 所以由非齊次線性方程的通解公式, 得練習(xí)將初始條

3、件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1故滿足初始條件的特解為x = siny (1 - cosy)是關(guān)于函數(shù) x=x(y) 的一階線性方程！解變形為：第一步:先求解齊次方程對應(yīng)齊次方程通解是練習(xí)第二步:用常數(shù)變異法解非齊次方程假設(shè)非齊次方程的解為代入方程并計(jì)算化簡積分得通解伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程. 方程為非線性微分方程.解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.詳細(xì)做法如下：二、貝努利方程求出通解后，將 代入即得代入上式即解例 例 求方程 y= xy + x3y2 的通解. 解 將方程改寫為 所以由非齊次線性方程的通解公式, 得練習(xí)解較難的例子例 用適當(dāng)?shù)姆匠探庖韵挛⒎址匠?解所求通解為解別離變量法得所求通解為解代入原式別離變量法得所求通解為另解4. 設(shè)可微函數(shù) f(x) 滿足 解 為了求 f(x) 在等式兩端同時(shí)求導(dǎo), 得 求 f(x).這是關(guān)于未知函

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