山東大學(xué)《電磁學(xué)》課件08麥克斯韋電磁理論和電磁波

1、麥克斯韋電磁理論和電磁波第八章8.1 麥克斯韋電磁理論由庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理可得出靜電場的兩條重要定理：（1）電場的高斯定理（2）靜電場的環(huán)路定理8.1.1 麥克斯韋電磁理論產(chǎn)生的歷史背景8.1.2 位移電流由畢奧薩伐爾定律可得出恒定磁場的兩條重要定理：（3）磁場的高斯定理（4）安培環(huán)路定理（5）法拉第電磁感應(yīng)定律 麥克斯韋根據(jù)當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)資料和理論的分析，全面系統(tǒng)地考察了這些規(guī)律。麥克斯韋看出感生電動勢現(xiàn)象預(yù)示著變化的磁場周圍產(chǎn)生渦旋電場，因此在普遍情形下電場的環(huán)路定理應(yīng)是：靜電場的環(huán)路定理是它的一個(gè)特例。 沒有發(fā)現(xiàn)電場的高斯定理和磁場的高斯定理有什么不合理的地方，麥克斯韋假定它們在普遍情形

2、下應(yīng)該成立。然而麥克斯韋在分析了安培環(huán)路定理后，發(fā)現(xiàn)將它應(yīng)用到非恒定情形時(shí)遇到了矛盾。在恒定條件下，安培環(huán)路定理可寫成 要想上式有意義，必須穿過以L為邊界任意曲面的傳導(dǎo)電流都相等。具體地說，如果以L為邊界取兩個(gè)不同的曲面 和 ，則應(yīng)有 但在非恒定情形下，上式不成立。最突出的例子是電容器的充放電電路。如果取 與導(dǎo)線相交， 穿過電容器兩極板之間，則有因此，在非恒定的情況下，前面給出的安培環(huán)路定理不再適用。 在非恒定情況下電流的連續(xù)原理給出按高斯定理：因此可得出 這個(gè)量永遠(yuǎn)是連續(xù)的，只要邊界L相同，它在不同曲面 上的面積分相等。令代表通過某一曲面的電位移通量則有麥克斯韋把 這個(gè)量叫做位移電流(dis

3、placement current)， 是位移電流密度。傳導(dǎo)電流 與位移電流合在一起稱為全電流。全電流在任何情況下都是連續(xù)的。由于全電流具有連續(xù)性在非恒定情況下，應(yīng)該用它來代替磁場環(huán)路定理右端的傳導(dǎo)電流，即：以上便是麥克斯韋的位移電流假說。在電介質(zhì)中 位移電流為（1）式右端第二項(xiàng)是由極化電荷的運(yùn)動引起的電流。(1)式右端第一項(xiàng)是與電場的時(shí)間變化率 相聯(lián)系的。在真空中 ，在位移電流中就只剩下這一項(xiàng)了。所以這項(xiàng)是位移電流的基本組成部分，但它卻與“電荷的流動”無關(guān)，它本質(zhì)上是變化著的電場。麥克斯韋位移電流假說的中心思想是，變化著的電場激發(fā)渦旋磁場。8.1.3 麥克斯韋方程組在普遍情況下電磁場必須滿足

4、的方程組： 一般情況下，式中有關(guān)各量是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù) 這就是麥克斯韋方程組(Maxwell equations)的積分形式，在實(shí)際應(yīng)用中，更重要的是麥克斯韋方程組的微分形式。 首先推導(dǎo)高斯定理的微分形式。假定自由電荷是體分布的，設(shè)電荷的體密度為 ，則高斯定理可寫成式中V是高斯面S所包圍的體積 利用矢量分析中的高斯定理可把上式左端的面積分化為體積分：上式對任何體積V都成立，被積函數(shù)本身應(yīng)相等，故得這就是高斯定理的微分形式。 對于安培環(huán)路定理，假定傳導(dǎo)電流是體分布的，其密度為 ，則有利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的線積分化為面積分：因?yàn)樯鲜降姆e分范圍可以任意，被

5、積函數(shù)本身必須相等，故得麥克斯韋方程組中其他兩個(gè)方程的微分形式都可按此法推出，最后得到下列四式：以上是麥克斯韋方程組的微分形式。通常所說的麥克斯韋方程組，大都指它的微分形式。 散度(divergence)旋度(curl)() 在介質(zhì)內(nèi)，還需補(bǔ)充三個(gè)描述介質(zhì)性質(zhì)的方程式，對于各向同性線性介質(zhì)來說，有：()麥克斯韋方程組()加上描述介質(zhì)性質(zhì)的方程組()，全面總結(jié)了電磁場的規(guī)律，是宏觀電動力學(xué)的基本方程組，利用它們原則上可以解決各種宏觀電磁場問題。LCR電路中的電容器充電后，電荷q滿足的微分方程是在電阻R較小時(shí)，它的解具有阻尼振蕩的形式：這里 ， 或8.2 電磁波 8.2.1電磁波的產(chǎn)生和傳播 為了

6、產(chǎn)生持續(xù)的電磁振蕩，必須把LCR電路（下面簡稱LC電路）接在電子管或晶體管上，組成振蕩器，靠電路中的直流電源不斷補(bǔ)給能量。 電磁波的產(chǎn)生首先要有適當(dāng)?shù)碾娫?。任何LC振蕩電路原則上都可以作為發(fā)射電磁波的振源，但要想有效地把電路中的電磁能發(fā)射出去，還必須具備以下條件： （1）頻率必須夠高。電磁波在單位時(shí)間內(nèi)輻射的能量是與頻率的四次方成正比的， 表明，要加大固有頻率 ，必須減小電路中的L和C的值。 （2）電路必須開放。為了把電磁場和電磁能發(fā)射出去，必須把LC振蕩電路加以改造，以便電磁場能夠分散到空間里。 把LC振蕩電路按圖a、b、c、d的順序逐步加以改造，使電容器的極板面積越來越小，間隔越來越大，而

7、自感線圈的匝數(shù)越來越少，這一方面可以使C和L的數(shù)值減小，以提高固有振蕩頻率 ；另一方面是電路越來越開放，使電場和磁場分布到空間中去。最后振蕩電路完全演化為一根直導(dǎo)線（d），電流在其中往復(fù)振蕩，兩端出現(xiàn)正負(fù)交替的等量異號電荷。這樣一個(gè)電路叫做振蕩偶極子（偶極振子(dipole oscillator)），它已適合作為有效地發(fā)射電磁波的振源了。廣播電臺或電視臺的天線都可以看成是這類偶極振子。bacd 電磁振蕩能夠在空間傳播，就是靠兩條（1）變化的磁場激發(fā)渦旋電場；（2）變化的電場（位移電流）激發(fā)渦旋磁場 在空間某處有一個(gè)電磁振源，在這里有交變的電流或電場，它在自己周圍激發(fā)渦旋磁場，由于這磁場也是交變

8、的，它又在自己周圍激發(fā)渦旋電場。交變的渦旋電場和渦旋磁場相互激發(fā)，閉合的電力線和磁感應(yīng)線就像鏈條的環(huán)節(jié)一樣一個(gè)個(gè)地套連下去，在空間傳播開來，形成電磁波。需要媒介電磁波不 赫茲于1888年用類似上述的振蕩偶極子產(chǎn)生了電磁波，他的實(shí)驗(yàn)在歷史上第一次直接驗(yàn)證了電磁波的存在。 圖a是赫茲的實(shí)驗(yàn)裝置，當(dāng)充電到一定程度間隙被火花擊穿時(shí)，兩段金屬桿連成一條導(dǎo)電通路，這時(shí)它相當(dāng)于一個(gè)振蕩偶極子，在其中激起高頻的振蕩。感應(yīng)圈以10-100Hz的頻率一次一次地使火花間隙充電，但是由于能量不斷輻射出去而損失，每次放電后引起的高頻振蕩衰減得很快。因此赫茲振子中產(chǎn)生的是一種間歇性的阻尼振蕩（圖b）。ab 振子發(fā)射出來的

9、電磁波可以用諧振器接收，如圖a中的圓形銅環(huán)就是赫茲用過的一種諧振器，間隙的距離可利用螺旋做微小調(diào)節(jié)。將諧振器放在距振子一定的距離之外，適當(dāng)?shù)剡x擇其方位，并使之與振子諧振。赫茲發(fā)現(xiàn)，在發(fā)射振子的間隙有火花跳過的同時(shí)，諧振器的間隙里也有火花跳過。他在實(shí)驗(yàn)中初次觀察到電磁振蕩在空間的傳播。 赫茲利用這種實(shí)驗(yàn)裝置還觀察到振蕩偶極子輻射的電磁波與由金屬面反射回來的電磁波疊加而產(chǎn)生的駐波現(xiàn)象，并測定了波長，這就證實(shí)了振蕩偶極子發(fā)射的確實(shí)是電磁波；他還證明這種電磁波與光波一樣具有偏振性質(zhì)，能產(chǎn)生折射、反射、干涉、衍射等現(xiàn)象。因此赫茲初步證實(shí)麥克斯韋電磁理論的預(yù)言，即電磁波的存在和光波本質(zhì)上也是電磁波。當(dāng)振子

10、中激起電磁振蕩時(shí)，其中有交變電流，其兩半所積累的電荷也正負(fù)交替變化。從距離較遠(yuǎn)的地方看來，振子相當(dāng)于電偶極矩 做簡諧變化的偶極子，故該振子稱為偶極振子。8.2.2 偶極振子發(fā)射的電磁波偶極振子周圍電場矢量 位于子午面內(nèi)，磁場強(qiáng)度矢量 位于與赤道面平行的平面內(nèi)，二者互相垂直。（1）在靠近振子中心的一個(gè)小范圍內(nèi)（即離振子中心點(diǎn)的距離 或與波長 具有同樣數(shù)量級的范圍內(nèi)），電場的瞬時(shí)分布與一個(gè)靜態(tài)偶極子的電場很相近，電場線的始末兩端分別與偶極振子的正負(fù)電荷相連。把偶極振子簡化為一對等量異號的點(diǎn)電荷圍繞共同中心做相對簡諧運(yùn)動的模型。偶極振子附近電場線的變化（2）在離振源足夠遠(yuǎn)的地方（ ），稱之為波場區(qū)。

11、電場線都是閉合的，當(dāng)距離r增大時(shí)，波面漸趨于球形，電場強(qiáng)度矢量 趨于切線方向，也就是說，在波場區(qū)內(nèi) 垂直于矢徑r。 無論在哪個(gè)區(qū)域里，磁感應(yīng)線都是平行于赤道面內(nèi)的一系列同心圓，故 同時(shí)與 、r垂直。每根環(huán)形磁感應(yīng)線的半徑都隨時(shí)間不斷向外擴(kuò)散。電場線環(huán)和磁感應(yīng)線環(huán)之所以會不斷向外擴(kuò)散，就是因?yàn)樗鼈兿嗷ゼぐl(fā)，相互感生之故。電磁波是傳遞電磁能的過程。單位時(shí)間內(nèi)通過與傳播方向垂直的單位截面的能量叫做能流密度。在波動過程中能流密度是隨時(shí)間做周期性變化的，用S代表能流密度， 代表它的平均值。偶極振子發(fā)射的電磁波能流密度的一些理論計(jì)算結(jié)果：一組實(shí)驗(yàn)：自學(xué)8.2.3 帶電粒子加速運(yùn)動的電磁輻射（自學(xué)）8.2.

12、4 電磁波的性質(zhì)在遠(yuǎn)離波源的自由空間中傳播的電磁波可近似看成平面波(plane electromagnetic wave)。所謂自由空間是空間既沒有自由電荷，也沒有傳導(dǎo)電流，且空間無限大，即不考慮邊界的影響?？臻g可以是真空，也可以充滿均勻介質(zhì)。自由空間內(nèi)傳播的平面電磁波的性質(zhì)可歸納為以下幾點(diǎn)：電磁波的這些性質(zhì)可由麥克斯韋方程組一一導(dǎo)出。自由空間的麥克斯韋方程組可寫為把它們在直角坐標(biāo)系中寫成分量形式：xyzxyz設(shè)平面波沿z軸正向傳播，則波面垂直z軸，在波面內(nèi)的相位相同，即相位與x、y變量無關(guān)，假設(shè)振幅也與x、y無關(guān)，上式中所有對x和y的偏微商全等于0，于是，Z，Z四式簡化為這表明電場矢量和磁場

13、矢量沿波傳播方向的分量 和 （稱之為縱分量）是與任何時(shí)空變量無關(guān)的常量，它們與這里考慮的電磁波無關(guān)，可以假定 。從這里就得到有關(guān)電磁波的第一個(gè)重要特性，即它是橫波。其余四式簡化后給出電、磁矢量橫分量滿足的方程式：xyxy如果取x軸沿E矢量的方向，則E只剩下 一個(gè)分量，而 。這樣一來上列式中的x ，y兩式給出即 分量也是一個(gè)與時(shí)空變量無關(guān)的常量，可以設(shè)它為0，即 ，于是H矢量就只剩下一個(gè) 分量了。由此可見若E矢量沿x方向，H矢量就沿y方向，它們彼此垂直。從這里得到電磁波的另一重要特性，即其中電場矢量和磁場矢量彼此垂直。得到如下的物理圖像，在電磁波中電場矢量E、磁場矢量H和傳播方向 三者兩兩垂直。

14、最后只剩下y ，x兩個(gè)方程式了，略去下標(biāo)x、y，得1為了解這一聯(lián)立方程，將一個(gè)式子對z取偏微商，另一式子對t取偏微商，便可把一個(gè)場變量消去。消去H的方程為2同理，消去E的方程式為3這類偏微分方程叫做波動方程。把E和H設(shè)成沿z方向傳播的簡諧波，它們可用如下復(fù)數(shù)形式來表示：其中 和 是角頻率和波數(shù)，它們與周期T和波長 的關(guān)系為4波的傳播速度（相速）為4式中的復(fù)振幅 和 分別為 分別是E、H的振幅和初相位?，F(xiàn)將試探解4式分別代入波動方程2，3式，即可看出，只要 和 滿足如下關(guān)系：4式即可滿足2，3式?？芍ㄋ賹?式帶入1式，可以得到復(fù)振幅之間的關(guān)系：由此可得：因?yàn)檫@里是按右旋坐標(biāo)系來標(biāo)定E、H、k三

15、個(gè)矢量的取向的， 意味著E和H永遠(yuǎn)同號，即在任何時(shí)刻、任何地點(diǎn)，三個(gè)矢量都構(gòu)成右旋系8.2.5 光的電磁理論 麥克斯韋得出這樣的結(jié)論：光是一種電磁波，c就是光在真空中的傳播速度。在介質(zhì)中的電磁波速：光在透明介質(zhì)里面的傳播速度這里n為折射率如果光是電磁波的話，則有對于非鐵磁質(zhì)， 從而8.2.6 電磁波譜(spectrum of electromagnetic wave) 自從赫茲應(yīng)用電磁振蕩的方法產(chǎn)生電磁波，并證明電磁波的性質(zhì)與光波的性質(zhì)相同以后，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了X射線和放射性輻射中的 射線都是電磁波。這些電磁波本質(zhì)上完全相同，只是頻率或波長有很大差別。我們可以按照波長或頻率的順序把這些電磁波排

16、列起來，這就是所謂電磁波譜。 習(xí)慣上常用真空中的波長作為電磁波譜的標(biāo)度，在真空中電磁波的波長 與頻率 成反比： 8.3 電磁場的能流密度與動量在非恒定情況下，電磁能的變化率為8.3.1 電磁場的能量原理和能流密度矢量在空間取一任意體積V，設(shè)其表面為，在此體積內(nèi)的電磁能為利用麥克斯韋方程組，利用矢量場論的高斯定理最后得到1利用附錄E中的式（E.28），則有現(xiàn)在來分析1式的物理意義。先看右端第二項(xiàng)。有非靜電力K的情況下歐姆定律的微分形式為于是1式右端第二項(xiàng)的被積函數(shù)變?yōu)闉榱丝辞宄鲜街懈黜?xiàng)的物理意義，可取V為一個(gè)小電流管，設(shè)其截面積和長度分別為和l，于是上式右端第一項(xiàng)是單位時(shí)間釋放出來的焦耳熱，第

17、二項(xiàng)則是單位時(shí)間電源做的功。對于任何體積V,1式右端第二項(xiàng)體積分都代表此體積內(nèi)單位時(shí)間釋放的焦耳熱Q與單位時(shí)間非靜電力做的功A之差，即現(xiàn)在看1式右端第一項(xiàng)面積分，引入一個(gè)新的矢量S，其定義如下：它叫做坡印廷矢量。于是1式可寫為2上式表明，在體積V內(nèi)單位時(shí)間增加的電磁能 等于此體積內(nèi)單位時(shí)間電源做的功A減去焦耳損耗Q和坡印廷矢量的面積分。從能量守恒的角度看來，這面積分應(yīng)代表單位時(shí)間從體積V的表面流出的電磁能量（這個(gè)叫做電磁能流），而坡印廷矢量 方向代表電磁能傳遞的方向，其大小代表單位時(shí)間內(nèi)流過與之垂直的單位面積的電磁能量。S就是電磁能流密度矢量。根據(jù)電磁波的E、H、k構(gòu)成右旋系的性質(zhì)可以看出，電