山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件08隨機(jī)變量的獨(dú)立性

1、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立 . 設(shè) X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有 則稱X,Y相互獨(dú)立 .兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是：用分布函數(shù)表示,即 設(shè) X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .其中是X,Y的聯(lián)合密度， 幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨(dú)立 .對(duì)任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是連續(xù)型r.v ，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外

2、，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y 的邊緣密度 . 若 (X,Y)是離散型r.v ，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有 例1 設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？解：x0 即：對(duì)一切x, y, 均有：故X,Y 獨(dú)立y 0 若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0 x1 0y1 由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立 .xy1y=x例2 甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布. 乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一人到達(dá)的

3、時(shí)間不超過5分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？解: 設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn),以分為單位,依題意,XU(15,45), YU(0,60)所求為P( |X-Y | 5) 及P(XY)解: 設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻， Y為乙到達(dá)時(shí)刻以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)甲先到的概率由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率解一：P(| X-Y| 5) =P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2P(XY)解二：P(X Y)P(| X-Y| 5) 類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨(dú)立地到達(dá)，并且每艘船在一晝夜間到達(dá)

4、是等可能的 . 若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率. 在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的. 若收到兩個(gè)相互獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾. 求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率. 把長(zhǎng)度為a的線段在任意兩點(diǎn)折斷成為三線段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.長(zhǎng)度為a 隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念不難推廣到兩個(gè)以上r.v的情形. 一般地，n個(gè)隨機(jī)變量X1, ，Xn稱為獨(dú)立的，如果對(duì)一切x1, ,xn，有P(X1x1, ，Xnxn)= 類似二維變量，不難寫出其它幾個(gè)關(guān)于獨(dú)立性的等價(jià)定義。定理1 若連續(xù)型隨機(jī)向量（X1, ,Xn）的概率密度函數(shù)f(x1, ,xn)可表示為n個(gè)函數(shù)g1, ,gn之積，其中g(shù)i只依賴于xi，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 則X1, ,Xn相互獨(dú)立,且Xi的邊緣密度fi(xi)與gi(xi)只相差一個(gè)常數(shù)因子.最后我們給出有關(guān)獨(dú)立性的兩個(gè)結(jié)果：定理2 若X1, ,Xn相互獨(dú)立,而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn)則Y1與Y2獨(dú)立 .我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念. 給出了各種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的