圓的有關(guān)概念和性質(zhì)總結(jié)

1、圓的有關(guān)概念和性質(zhì)總結(jié)圓的有關(guān)概念和性質(zhì)知識(shí)考點(diǎn):1、理解圓的定義,掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；2、理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、同心圓、等圓、等弧、弓形、圓心角、圓周角等與圓有關(guān)的概念3、掌握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用這些關(guān)系解決一些幾何證明題和計(jì)算題。圓的形成性描述:在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的O端旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點(diǎn)O為圓心的圓記作“”1、圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧簡(jiǎn)稱弧。大于

2、半圓的弧稱為優(yōu)弧小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑4、同圓或等圓的半徑相等5、和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線6、到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線7、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線8、不在通一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧推論1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧12、推論2:圓的兩條平行弦所

3、夾的弧相等13、圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形14、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等圓心角定義：頂點(diǎn)在圓心上，角的兩邊與圓周相交的角叫圓心角圓心角定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。推論:在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。圓周角定義:頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相

4、交的角叫做圓周角。圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。定理證明已知在00中,ZBOC與圓周角ZBAC同對(duì)弧BC,求證：ZBOC=2ZBAC.證明：情況1:如圖1,當(dāng)圓心O在ZBAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：圖1OA、OC是半徑解:OA=OCAZBAC=ZACO（等邊對(duì)等角）vZBOC是AAOC的外角ZBOC=ZBAC+ZACO=2ZBAC情況2:如圖2”當(dāng)圓心O在ZBAC的內(nèi)部時(shí)：連接AO,并延長(zhǎng)AO交0O于DB0A、OB、OC是半徑解：OA=OB=OCZBAD=ZABO,ZCAD=ZACO(等邊對(duì)等角)vZBOD、ZCOD分別是AAO

5、B、AAOC的外角ZBOD=ZBAD+ZABO=2ZBADZCOD=ZCAD+ZACO=2ZCADZBOC=ZBOD+ZCOD=2(ZBAD+ZCAD)=2ZBAC情況3:如圖3,當(dāng)圓心O在ZBAC的外部時(shí)：連接AO,并延長(zhǎng)AO交00于D解:OA、OB、OC、是半徑ZBAD=ZABO(等邊對(duì)等角)，ZCAD=ZACO(OA=OCvZDOB、ZDOC分別是AOB、AOC的外角aZDOB=ZBAD+ZABO=2ZBADZDOC=ZCAD+ZACO=2ZCADZBOC=ZDOC-ZDOB=2(ZCAD-ZBAD)=2ZBAC定理推論:1一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；2圓周角的度數(shù)等于它

6、所對(duì)的弧度數(shù)的一半；3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。4半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角。5.90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。注意：在圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè),一個(gè)是優(yōu)弧所對(duì)的角,一個(gè)是劣弧所對(duì)的角一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1、如果圓的半徑為r,已知點(diǎn)到圓心的距離為d,則可用數(shù)量關(guān)系表示位置關(guān)系.dr點(diǎn)在圓外；d=r點(diǎn)在圓上；d2、確定圓的條件不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓3、三角形的外接圓定義：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓三角形的外心：外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心,這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓

7、的內(nèi)接三角形(2)三角形外心的性質(zhì):三角形的外心是外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.三角形的外接圓有且只有一個(gè),即對(duì)于給定的三角形，其外心是惟一的,但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合銳角三角形的外心在三角形內(nèi)直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)鈍角三角形的外心在三角形外4、三角形的內(nèi)切圓與三角形的內(nèi)心與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等直角三角形的內(nèi)心公式:r=(a+bc)/2(a、b為直角三角形的兩條直角

8、邊,c為斜邊)三角形的內(nèi)心公式：r=2s/l(s為三角形的面積，I為三角形的周長(zhǎng)5、反證法定義：從命題結(jié)論的反面出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾，從而證明命題成立這種方法叫做反證法.(2)反證法證明命題的一般步驟反設(shè):作出與結(jié)論相反的假設(shè)；歸謬：由假設(shè)出發(fā)，利用學(xué)過(guò)的公理、定理推出矛盾；作結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.二、直線和圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有關(guān)概念相交與割線:直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.切線與切點(diǎn)：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切這條直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).相離，當(dāng)直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓

9、相離.用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系如果OO的半徑為r,圓心O到直線L的距離為d,那么：(1)直線I和0O相交dr(如圖(1)所示)；(2)直線I和0O相切d=r(如圖所示)直線I和0O相離dr(如圖(3)所示).3、切線切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.切線長(zhǎng)：圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角三、圓和圓的位置關(guān)系1)圖示定義法(交點(diǎn)數(shù))相離:如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離,如上圖(1)

10、、(5)、(6)所示，其中又叫做外離,(5)(6)叫做內(nèi)含；相切：如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，如圖(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫內(nèi)切;相交：如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交，如圖(4)所示.注意：圓與圓的位置關(guān)系按公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可分為0,1,2三大類即:(I)沒(méi)有公共點(diǎn)：有惟一公共點(diǎn)：有兩個(gè)公共點(diǎn):相交(2)用數(shù)量關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系當(dāng)兩圓的半徑一定時(shí)，兩圓的位置關(guān)系與兩圓圓心的距離(圓心距)的大小有關(guān)，設(shè)兩圓半徑分別為R和r(Rr)，圓心距為d,則:(1)兩圓外離dR+r;(2)兩圓外切d=R+r;(3)兩圓相交R-rd兩圓內(nèi)切d=R-r;兩圓

11、內(nèi)含d二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納與圓有關(guān)的位置關(guān)系的判斷是重點(diǎn)，切線的判定和性質(zhì)是重點(diǎn)也是難點(diǎn)三、典型例題剖析例1、如圖,已知矩形ABCD中,AB=3cmAD=4cm.若以A為圓心作圓使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓外，且至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，求0A的半徑r的取值范圍.解:矩形ABCD中，ZB=90,AB=3cm,BC=AD=4cm,.AC=5cm,其中點(diǎn)B到點(diǎn)A的距離最小，點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離最大.若以AB為半徑作圓，則沒(méi)有點(diǎn)在OA內(nèi);若以AC為半徑作圓，則沒(méi)有點(diǎn)在OA外.故OA的半徑r的取值范圍是3cm5cm.點(diǎn)撥：這里是由點(diǎn)與圓的位置確定半徑r的大小.本例還要注意“至少”一詞的理解.例2、閱讀下列文字:在RtABC中,ZC=90若ZA45則AChBC.證明：假設(shè)AC=BC.ZAh45,ZC=90。，ZAhZB.AChBC,這與題設(shè)矛盾,AChBC.上面的證明有沒(méi)有