行列式依行列展開(kāi)

1、2.5 行列式依行（列）展開(kāi)1 上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個(gè)行列式化為上三角或下三角行列式，然后根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個(gè)行列式化成其中含有盡量多個(gè)零的行列式，然后算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來(lái)計(jì)算行列式的值，即通過(guò)把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來(lái)計(jì)算行列式的值。例如2 如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，而行列式的階數(shù)越小越容易計(jì)算，我們就可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而盡快算出行列式的值。為了這個(gè)目的，我們需引進(jìn)如下概念：一、余子式和代數(shù)行列式定義1（余子式）：在一個(gè)n階行列式中，劃去元素所在的行和列，余下的元素構(gòu)成一個(gè)n-1階子式，

2、稱為元素 的余子式，記為3定義2（代數(shù)余子式）：的余子式附以符號(hào)后，稱為元素的代數(shù)余子式，記為。 例2.5.1. 在行列式中，求元素p和s的余子式和代數(shù)余子式。二、行列式依行（列）展開(kāi) 先考慮比較特殊的情況，即一個(gè)n階行列式中某一行（列）除一個(gè)元素外，其余元素都為零的情況，這時(shí)有以下引理。4引理：如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其余都是零，則 證明：1、D中第一行元素除外其余皆為零，這時(shí)52、假設(shè)D中第i行除外其余皆為零，這時(shí)6此時(shí) 把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，第1行對(duì)換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，第1列對(duì)換，這樣共經(jīng)過(guò)（i-1）+（j-1）次行與列的

3、對(duì)換，則D轉(zhuǎn)化為注意到行列式中任兩行（列）的對(duì)換改變行列式的符號(hào)，故73、行列式依行（列）展開(kāi)定理2.5.1 行列式等于它的任意一行（列）中所有元素與其代數(shù)余子式乘積的和，即有或 證：8定理2.5.2. 行列式中，某一行（列）中元素與另一行（列）中對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即有9考察行列式然后按第j行展開(kāi)即知。例2.5.2. 計(jì)算行列式10解：11例2.5.3 計(jì)算行列式解： 計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是：先利用行列式的性質(zhì)把某行（列）化成有盡可能多的零，然后把行列式按這行（列）展開(kāi)，這樣計(jì)算要簡(jiǎn)單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由于要計(jì)算的行列式個(gè)數(shù)成倍增多，則計(jì)算量未必減少。12例2.5.