§7用Mathematica求偏導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)的極值

1、第 頁(yè)共l3頁(yè)用作三維函數(shù)圖在多元函數(shù)微積分中，作圖可以使得問(wèn)題更為直觀，易于理解。這里首先給大家介紹“用Mathematica作三維函數(shù)圖”1常用的三維繪圖函數(shù)Plot3Dfx,y,x,a,b,y,c,d,可選項(xiàng):作f(x,y)的圖形。ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,a,bv,c,d:作三維參數(shù)方程的圖形。Showfl,f2,f3,:將多個(gè)圖形組合重新顯示。2常用的可選項(xiàng)Plot3D函數(shù)有許多可選項(xiàng)可以用來(lái)修飾三維圖形的外觀。可以借助于可選項(xiàng)改變圖形的外觀，以便于觀察。表10-1常用的可選項(xiàng)可選項(xiàng)默認(rèn)值說(shuō)明AxesTrue是否繪制坐標(biāo)軸AxeslableNo

2、ne坐標(biāo)軸的名稱。zlabel為z軸的label，即z軸的標(biāo)注，labelxlabel,ylabel,zlabel分別為x軸，y軸,z軸的標(biāo)注AspectRatio1作圖高、寬比例，可以說(shuō)明為任意值BoxedTrue繪制外框。定義False則不繪制外框Displayfunction$DispIayfunction顯示圖形模式，定義Identity不顯示圖形PlotRangeAutomaticz方向的繪圖范圍ShadingTrue表面不上色或留白ViewPoint1.3,-2.4,2觀測(cè)點(diǎn)(眼睛觀測(cè)的位置)選擇合適的觀測(cè)點(diǎn)在也有助于觀察圖形，下面是典型的ViewPoint值:第 頁(yè)共13頁(yè)第 頁(yè)

3、共13頁(yè)表10-2典型的ViewPoint值ViewPoint值觀測(cè)點(diǎn)的位置1.3,24,2默認(rèn)觀測(cè)點(diǎn)0,20從前方看0,0,2從上往下看0,-2,2從前方上面往下看0,-2,-2從前方下面往上看-2,-2,0從左前方看2,-2,0從右前方看例10.1畫(huà)出函數(shù)z=sinx2y2圖形，并使圖形表面不上色。解In1:=Plot3DSinSqrtxT+yA2,x,0,2Pi,y,0,2Pi16040224-1-0.5600.5Out1=-SurfaceGraphics-In2:=Show%,Shading-FalseOut2=-SurfaceGraphics-例10.2畫(huà)出函數(shù)zsinxcosy圖形

4、，并使調(diào)整圖形觀測(cè)點(diǎn)觀察圖形是否對(duì)稱。解In1:=Plot3DSinx*y,x,0,2Pi,y,0,2Pi,AxesLabel-“x”,“y”,“z”0.560Out1=-SurfaceGraphics-In2:=Show%,ViewPoint-1,-1,2第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)0.5仃5z00Out2=-SurfaceGraphics-例10.3畫(huà)一單位雙曲面。解首先，寫(xiě)出單位雙曲面的參數(shù)方程x=Coshu*Cosvy=Coshu*Sinvz=uIn1:=ParametricPlot3DCoshu*Cosv,Coshu*Sinv,u,u,0,Pi,v,-Pi,Pi,AxesLabel

5、-“x”,“y”,“z”212-20 x2-2-2-10yz0Out1=-Graphics3D-例104畫(huà)出函數(shù)寧+寧+161圖形。解In1:=ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,3Sinu*Sinv,4Cosu,u,0,Pi,Out1=-Graphics3D-v,-Pi,Pi,AxesLabel-x,y,z第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)-212In2=:Show%,ViewVertical-1,0,0 x-0-4-20-2Out2=-Graphics3D-例105畫(huà)出由x+2y0與(x-1)2+y21所圍的立體圖形。解In1:=a1=Plot

6、3Dx+2y,x,0,2,y,0,2,DisplayFunction-Identity;a2=ParametricPlot3D1+Cosu,Sinu,v,u,0,2Pi,v,0,35,DisplayFunction-Identity;a3=Plot3D0,x,-1,2,y,-1,2,DisplayFunction-Identity;Showa1,a2,a3,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic,PlotRange-0,4,DisplayFunction-$DisplayFunction42110y001x-12-13AOut1=-Graphics3D-用求偏導(dǎo)

7、數(shù)與多元函數(shù)的極值函數(shù)Dt肛n,實(shí)際上給出了偏導(dǎo)數(shù)，在這個(gè)表達(dá)式中，假設(shè)個(gè)不是的函數(shù)，在中，它有一個(gè)函數(shù)Dt，它代表的是全微分，在這個(gè)函數(shù)中，所以的變量都有聯(lián)系。在的說(shuō)明中，Df,代表了f，而Dtf,x則代表了df?？梢哉J(rèn)dx為Dt表示了“全微分”例如：下面給出了一個(gè)全微分，其中n是x的函數(shù)，Dtf,x則代表了df。dxIn1:Dtx人n,xOut1xn(+Dtn,xlogx)x下面是一個(gè)全微分。其中Dtf,x代表了dx。In2:DtxAnOut2xn(nDtx+Dtnlogx)x注：在中，還是有些微分函數(shù)用于直接計(jì)算的，如下表所示：表10-3部分的微分函數(shù)第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)函數(shù)及

8、其表達(dá)式函數(shù)功能說(shuō)明Df,xDf,x1,x2,L或Dtf,xl,x2,D臌，(x,n)或Dtf,(x,n)關(guān)于x的偏微分關(guān)于xl,x2等的混合偏微分關(guān)于x的n階偏微分函數(shù)的全微分關(guān)于變量x的全微分例10.6求下列函數(shù)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)l.ulnxx2y2；2.xyuarctg1-xy3.uesix；解In1:=DLogx+SqrtxA2+yA2,x;Simplify%4.u=（*通常Mathematica不自動(dòng)化簡(jiǎn)微分結(jié)果，要借助于Simplify函數(shù)*）Out1=1x2y2第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)In2:=DArcTanh(x+y)/(1-x*y),x;Simplify%Out2=1y214

9、xyy2x2(1+y2)In3:=DEASiny/x,x;第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)Simplify%eSiny_xyCos第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)Out3=x2In4:=D(x/y)Az,x;第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)Qz嘰=i,y=1Q2zQ6z?Qx2Qx3y3Simplify%Out4=例107設(shè)z=x3siny+Qy第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)解In1:=Clearz,x,y;第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)zx,y:=xA3*Siny+yA3Sinx;/*定義二元

10、函數(shù).*/第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共13頁(yè)Dzx,y,y/*給函數(shù)的變量賦值.*/Out1=x3Cosy+3y2SinxIn2:=Dzx,y,y/x-1,y-1Out2=Cos1+3Sin1In3:=Dzx,y,x,2Out3=一y3Sinx+6xSinyIn4:=Dzx,y,x,3,y,3例108Out4=6Cosx+6Cosy=x2lny,x二,y=3u一2v,y解In1:=xu_,v_:=u/v;yu_,v_:=3u-2v;zx_,y_:=xu,vA2*Logyu,v;Dzx,y,u;Simplify%3uu（+2Log3u一2v）Out1=In2:=Out2=In3:=Out3=3u-2

11、vv2Dzx,y,v;Simplify%v2u2（一Log3u一2v）3u-2vV3Dzx,y,v,2;Simplify%2u2（6u5v）v+3（3u2v）2Log3u2v）（3u一2v）2v4例109設(shè)z，f(2x-y)+g(x,xy),其中函數(shù)f(t)二階可導(dǎo)，g(u,v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求竺,空,仝仝。dxdx2dxdy解In1:=Df2x-y+gx,x*y,xOut1=2f2x一y+yg（0,i）x,xy+g（0,i）x,xyIn2:=Df2x-y+gx,x*y,x,2Out2=4f2xy+yg（1，1）x,xy+y（yg（0,2）x,xy+g（1，1）x,xy）+g（2,0）

12、x,xyIn3:=Df2x-y+gx,x*y,x,yOut3=-2f2x-y+g（0,1）x,xy+xyg（0,2）x,xy+xg（1,1）x,xy）其中g(shù)（1,0）u,v為，g（0,1）u,v為，g（1,1）u,v為，g（2,0）u,v為cucvcucvdu2g（0,2）u,v為。cv2例10.10已知函數(shù)z，xy+xF（上），證明x+y，z+xy。xcxcy第 頁(yè)共13頁(yè)第 頁(yè)共l3頁(yè)解In1:=z=x*y+x*Fy/x;Dz,x*x+y*Dz,y-z-x*y;Simplify%Out1=0例10.11求由下列方程所確定的隱函數(shù)和導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：y1lnx2+y2arctg,dxdy2vvx

13、ucos,yusm,uu,u,x,u,v,v,y,x,y解Inl:=eq1=LogSqrtxA2+yxA2=ArcTanhyx/x;Deq1,x;Solve%,yx|;Simplify%Out=”yxTx3+x2yx卜鞏x2+yx3x3-x2yx+xyx2+yx3JJIn2:=Dx=ux*Cosvx/ux,y=ux*Sinvx/ux,x;SimplifySolve%,ufx,v，xOut2=Cos回vx,r,vxvxuxuxTCos,vxT-Sin+uxuxuxIn3:=Dx=uy*Cosvy/uy,y=uy*Sinvy/uy,y;SimplifySolve%,uy,vyOut3=Sin四vy

14、uytSin眾,vytCos眾+處斗一uxuyuy例10.12求下列極值問(wèn)題：1.函數(shù)f(x,y)x3+3xy15x12y.x2.求函數(shù)f(x,y)，x2y2一1216y,在x2+y225上的最大最小值.解1In1:=Clearx,y,z,a,b,c,d,t;fx_,y_:=xA3+3*x*yA2-15x-12y;a=Dfx,y,x,2;b=Dfx,y,x,y;c=Dfx,y,y,2;d=a*c-bA2;t=SloveDfx,y=0,x,Dfx,y=0,y,x,y;l=LengthtlFori=1,i0&a10&a10,Print“fmin=”,z,d1=0,Print“NoSure”,z,d

15、1=0,PrintNoOut1=x-2,y-1fmax=28x-1,y-2Nox-1,y-2Nox-2,y-1fmin=-282.先求f(x,y)在圓域內(nèi)x2+y225的最大最小值：In2:=fx_,y_:=xA2+yA2-12x+16y;t=SolveDfx,y=0,x,Dfx,y=0,y,x,yOut2=x-6,y-8(*駐點(diǎn)*)In3:=xA2+yA2-25/.t1Out3=75該駐點(diǎn)在圓外，圓內(nèi)無(wú)駐點(diǎn)，故不取極值。下面考慮圓x2+y225上的最值。這是在約束條x2+y225下的條件極值,用Lagrange乘數(shù)法求解。In4:=Clearx,y,F,t;Fx_,y_,t_:=fx,y+t

16、(xA2+yA2-25);s=SolveDfx,y,t=0,Dfx,y,t=0,y,DFx,y,t=0,t,x,y,tOut4=t-3,x-3,y-4,t-1,x-3,y-4In5:=Fx,y/.s1Out5=25In6:=Fx,y/.s2Out6=-75第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共l3頁(yè)練習(xí)10.1求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。第 #頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共l3頁(yè)第 頁(yè)共13頁(yè)第 #頁(yè)共l3頁(yè)z=1x2y2(2)z=exyyzx(3)u=xxz求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)。(1)(2)(3)(4)(5)(4)u=(xy)z設(shè)z=arctg(xy),y=ex，求。dx設(shè)z=xln(xy),求空，江dx2y5xy2設(shè)z=x2lny,x=,y=3u-2v,