工程數(shù)學(xué)ch3復(fù)變函數(shù)積分

1、第三章 復(fù)變函數(shù)的積分1 復(fù)變函數(shù)積分的概念1. 積分的定義定義和在局部弧段上任意取點(diǎn), 極限為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線.設(shè)函數(shù)w =f (z)定義在區(qū)域D內(nèi), 都存在且唯一，則稱此極限為函數(shù)記作沿曲線弧C的積分.若對(duì)C 的任意分割C為在區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)關(guān)于定義的說明:(4) 一般不能把寫成的形式.(1) 用表示沿著曲線C的負(fù)向的積分.(2) 沿著閉曲線C的積分記作(3) 如果C是x軸上的區(qū)間而則工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2.積分的性質(zhì)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例1. 證明:證明其中 C 為正向圓周：利用積分估值性質(zhì)，有工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2.積分存在的條件及計(jì)算法定理:C 的參數(shù)方程為則曲

2、線積分存在, 且有連續(xù),在有向光滑弧 C 上有定義且設(shè)函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例2. 解:計(jì)算的正向圓周， 為整數(shù).其中 C 為以 中心，為半徑工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例3. 解:(1) 積分路徑的參數(shù)方程為計(jì)算其中C為:(1) 從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段;(2) 從原點(diǎn)沿 x 軸到點(diǎn)1,再到點(diǎn)1+i的折線段;y=x工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)y=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例4. 解:(1) 積分路徑的參數(shù)方程為計(jì)算其中C為:(1) 從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段;(2) 從原點(diǎn)沿 x 軸到點(diǎn)1,再到點(diǎn)1+i的折線段;y=x工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函

3、數(shù)y=x(2) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x 軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2 柯西定理B 內(nèi)處處解析, 定理1任何一條封閉曲線 C 的積分則 f (z) 在B內(nèi)(黎曼證明，把條件加強(qiáng)：假設(shè) 連續(xù) .) 證明：假設(shè)在單連通域 B 內(nèi), 解析,連續(xù).1.柯西定理如果函數(shù) f (z) 在單連通域?yàn)榱?工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)因?yàn)樗栽贐 內(nèi)連續(xù)，且滿足C-R條件.任取B內(nèi)閉曲線C,則積分由格林公式得所以工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)函數(shù) f (z)處處解析定理2在單連通域 B 內(nèi)，與路徑無(wú)關(guān).函數(shù) f (z)定理3 B為C的內(nèi)部，C 為一條封閉曲線, 在B內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則工

4、程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解：由柯西定理, 有計(jì)算積分例1.因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析，工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解：由柯西定理, 有計(jì)算積分因?yàn)楹瘮?shù)都在上解析，例2.和工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 原函數(shù)與不定積分如果函數(shù) f (z)在單連通域定理4與路徑無(wú)關(guān).B 內(nèi)處處解析, 則積分定理5處處解析,如果 f (z)在單連通域B內(nèi)則函數(shù)F (z) = f (z)必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù), 并且工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.證：由于積分與路線無(wú)關(guān),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)由積分的估值性質(zhì),工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)證畢工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定義1如果在區(qū)域 B 內(nèi)在區(qū)域 B 內(nèi)的原函數(shù).F (z) =

5、f (z) ,則稱 F(z) 為 f (z)在區(qū)域 B上的原函數(shù)全體不定積分,記作定義2在 B上的稱為定理6如果 f (z) 在單連通域 B 內(nèi)處處解析, 的一個(gè)原函數(shù), 則這里z0, z1為域 B 內(nèi)的兩點(diǎn).G(z)為 f (z)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例3. 解:計(jì)算積分工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3.復(fù)合閉路定理定理7是在 C 內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線, 且 設(shè)C為多連通域 D 內(nèi)的互不包含也互不相交, 另外以C, C1, C2, . , Cn 為邊界的區(qū)域如果 f (z) 在D內(nèi)解析, 則一條簡(jiǎn)單閉曲線, C1, C2, . , Cn全含于D.工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)證明：這樣區(qū)域D就被分為D1和D2兩考慮只有兩條

6、圍線C0, C1 的情況.區(qū)域，作輔助線段L1和L2連接 C0,和C1，域,而且 f (z) 在 內(nèi)解析, 由柯西積分定理，有,所以顯然D1和D2都是單連通工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)所以即或工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例4. 解:計(jì)算的正向簡(jiǎn)單閉曲線.包含圓周為奇點(diǎn).在C內(nèi)作互不相交，互不包含的只包含只包含其中 C 為圓周由復(fù)合閉路定理，得工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例5. 解:計(jì)算其中 C 為正向圓周：工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)解:圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,例6.計(jì)算積分其中 為正向圓周和負(fù)向圓周 組成.工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3 柯西公式溫故而知新B 內(nèi)處處解析, 任何一條封閉曲線 C 的積

7、分則 f (z) 在B內(nèi)如果函數(shù) f (z) 在單連通域?yàn)榱? 柯西定理工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)思考？3 柯西公式工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3 柯西公式定理1如果 f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)處處解析, C 為 D 內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于 D, z0為 C 內(nèi)的任一點(diǎn), 則1.柯西公式工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)證明：當(dāng)時(shí)，由于f (z) 在 連續(xù)，所以 在C內(nèi)部作圓周 那么工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)而即所以工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)注：1）柯西公式常寫作2）若則平均值公式工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例1. 解:計(jì)算其中 C 為(1)正向圓周：(3)正向圓周：(2)正向圓周：(1)(2)(3)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)求下列積分的

8、值.解：例2.工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)(2) 注意到函數(shù)在內(nèi)解析，而在內(nèi)，由柯西積分公式得工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)故得到 設(shè) 例3.根據(jù)柯西積分公式，得到解：求工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù) f (z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 其中 C 為在 f (z) 的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0 的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.定理2它的n階導(dǎo)數(shù)為:注：高階導(dǎo)數(shù)公式常寫成如下形式工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例4. 解:計(jì)算的正向閉曲線.其中 C 為繞工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例5. 解:計(jì)算在 內(nèi)有奇點(diǎn)：作圓周于是工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)所以工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1在區(qū)域D內(nèi)具有二階連

9、續(xù)偏若二元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯（Laplace）方程則稱為區(qū)域 D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).若 為解析函數(shù)，定理1則其實(shí)部 u和虛部 v 都是調(diào)和函數(shù).設(shè) f (z)=u+iv 在區(qū)域D內(nèi)解析,則由C.-R.條件證：工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)得同理,即u及v都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).因 與 D內(nèi)連續(xù)，它們 必定相等，故在D內(nèi)有工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)定義2定理2設(shè)則 v(x,y)必為 u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).u(x,y),v(x,y)是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足C.-R.條件：則稱 v(x,y) 為 u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).是區(qū)域 D 的解析函數(shù)，工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例1. 解:已知是右半復(fù)平面的調(diào)和函數(shù)，求調(diào)和函數(shù)

10、u，使 u 的共軛調(diào)和函數(shù)是 v.由C-R方程，得工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)例2. 解:已知驗(yàn)證u是調(diào)和函數(shù)，并求以 u為實(shí)部的解析函數(shù) f (z), 使 f (0) = i.因?yàn)樗評(píng)是調(diào)和函數(shù).又 f (0) = i ，所以工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) ch3 復(fù)變函數(shù)積分一、知識(shí)要點(diǎn)1. 復(fù)積分基本計(jì)算法曲線C:工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)2. 柯西-古薩基本定理函數(shù) f (z)處處解析.在單連通域 B 內(nèi)，與路徑無(wú)關(guān).1) 其中C是 B 任意一條簡(jiǎn)單封閉曲線.2)解析, 并且3)4)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)3.復(fù)合閉路定理工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)4. 柯西積分公式工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)5.調(diào)和函數(shù)1). 調(diào)和函數(shù)2).共軛調(diào)和函數(shù)若 為解析函數(shù)，3).則其虛部 v是實(shí)部 u 的共軛調(diào)和函數(shù).工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù) 二、典型例題解:分以下四種情況討論：例1.工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)-復(fù)變函