方程思想及應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)目 錄 TOC o 1-3 h z u 9方程思想的應(yīng)用與教學(xué)摘要:方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是指在分析問題的數(shù)量關(guān)系時，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式。重點(diǎn)就是化未知為已知的思想，關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組)。它在多門學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，因此我們要讓學(xué)生逐步掌握這種數(shù)學(xué)思想方法，就必須在數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步進(jìn)行有目的的引導(dǎo)和培養(yǎng)。關(guān)鍵詞：方程思想；應(yīng)用；教學(xué)T

2、he Equation of the Application of the Thought and teachingAbstract：Equation thinking is a kind of important mathematical ideas, which means in its analysis of the question of the quantitative relationships, the issue of the known and unknown quantities of the quantitative relationships between the a

3、mount established by the appropriate setting element equation or equation group, and then solve the equation (group) so that the problems can be resolved by such a way of thinking. Focus on the translation of the unknown to the known, and the key is to use a known conditions or formula, theorem, kno

4、wn conclusions structure equations (group). It has a wide range of applications in several disciplines, and therefore we want to have the students gradually master this mathematical thinking, it must be in Math Teaching, step-by-step with the aim of the boot and training.Key Words: Equation thinking

5、; Adhibition; Teaching引言數(shù)學(xué)家笛卡爾曾設(shè)想一個解決所有問題的通用方法：第一步：將任何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二步：將任何數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第三步：將任何代數(shù)問題化歸為單個方程的求解；第四步：討論方程（組）的問題，得到解之后再對解解釋。通用方法中所體現(xiàn)的方程觀點(diǎn)就是笛卡爾模式。這就是所謂的“萬能方法” 方程思想。方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系。當(dāng)一個問題可能與某

6、個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個問題。在中學(xué)，方程知識貫穿于初一到高三各年級教材當(dāng)中，涉及方程的有關(guān)概念、方程的解法、方程根與系數(shù)的關(guān)系、方程的化簡和討論及方程的應(yīng)用。學(xué)生特別是要學(xué)會從對問題的數(shù)量關(guān)系的分析入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得以解決。1.方程思想的涵義1.1方程方程是表示兩個數(shù)學(xué)式（如兩個數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式，是含有未知數(shù)的等式（通常設(shè)未知數(shù)為x），通常在兩者之間有一等號“=”。方程不用按逆向思維思考，可直接列出等式并含有未知數(shù)。它具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程等。廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理等理科的運(yùn)算

7、。1.2方程思想方程思想是分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號化語言將這種數(shù)量關(guān)系抽象為方程模型，通過解方程或方程組，使問題得以解決的一種數(shù)學(xué)思想方法。方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系。當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個問題。1.3方程思想的步驟方程思想在解決應(yīng)用題時，就像萬能鑰匙是關(guān)鍵所在，特別在初一剛接觸用方程在解決應(yīng)用題時，大部分

8、同學(xué)都感覺無所適從，不知所措，其實(shí)，解決應(yīng)用題規(guī)律也有一定步驟，如下：分析實(shí)際問題 建立方程模型 解方程 解問題1.4方程思想的兩個重要方面在了解了方程思想的步驟后，還要有必要了解一下方程思想的兩個重要方面。第一，建模思想：用符號將相互等價的兩件事情聯(lián)結(jié)，等號的左右兩邊等價。第二，化歸思想：高次化歸為低次；在具體化歸過程中有加減消元化歸和代入消元化歸兩種方式。1.5方程思想是一種源于解決應(yīng)用問題的思想方程這個名詞，最早見于我國古代算書九章算術(shù)，書中收集了246個應(yīng)用問題和其他問題的解法，分為九章，“方程”是其中的一章我國古代數(shù)學(xué)家劉徽注釋九章算術(shù)說，“程，課程也二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)

9、程之，并列為行，故謂之方程”這里所謂“如物數(shù)程之”，是指有幾個未知數(shù)就必須列出幾個等式一次方程組各未知數(shù)的系數(shù)用算籌表示時好比方陣，所以叫做方程，故方程思想是一種源于解決應(yīng)用問題的思想。具體表現(xiàn)為： 首先，問題中的數(shù)量關(guān)系可用等式“直觀”表示。其次，實(shí)際問題歸結(jié)為解方程。最后，方程的解法理論：未知量與已知量地位同等，可以參加運(yùn)算；方程是用不同的方式表示同一個量的條件等式；方程根據(jù)平衡原理，進(jìn)行同解變形。2.方程思想的應(yīng)用在中學(xué)，方程知識貫穿于初一到高三各年級教材當(dāng)中，涉及方程的有關(guān)概念、方程的解法、方程根與系數(shù)的關(guān)系、方程的化簡和討論及方程的應(yīng)用。學(xué)生特別是要學(xué)會從對問題的數(shù)量關(guān)系的分析入手，

10、運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得以解決。2.1方程思想數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最常用的思想方法之一，隨處可見。2.1.1方程思想在應(yīng)用題問題中的應(yīng)用今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問：雞兔各幾何？解：設(shè)有x只雞頭，y只兔頭，根據(jù)題意得：解得： 答：雞有23只，兔有12只。2.1.2方程思想在解等腰三角形問題時的應(yīng)用 初二時，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)等腰三角形的定理與規(guī)律及在實(shí)際生活中的應(yīng)用，下面是方程思想在解等腰三角形問題時的應(yīng)用的例子。 例:如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD求A 的大小 解：因?yàn)锳B=AC，故ABC=C.又因BD=BC,故B

11、DC=C.而BD=AD,故A=ABD.如果設(shè)A=,則ABC=DC=A+ABD= 2.所以C=BDC=2ABC=C =2在ABC中，A+ABC+C=, 則 ,解得=36. 2.1.3方程思想在求函數(shù)值域時的應(yīng)用函數(shù)問題常以與其他知識點(diǎn)相結(jié)合的綜合題形式出現(xiàn)，而函數(shù)的值域問題卻是聯(lián)系各種知識點(diǎn)的紐帶。求函數(shù)值域的方法很多，其中，利用方程思想來求函數(shù)值域是一種常用的方法。例：求函數(shù) 的值域。2.1.4方程思想在相似三角形中的應(yīng)用 只要你掌握了方程思想的精髓，有關(guān)相似三角形的求邊長問題便可迎刃而解。例：如圖，在ABC中，DEBC,DE=2，BC=4，AD=3，求AB長 解：因?yàn)镈EBC 所以ADEAB

12、C，所以 即 2.1.5方程思想在空間向量中的應(yīng)用例：點(diǎn)A（1,0,0）,B(0,1,0), C（0,0,1），求平面ABC的法向量則：即 即所以平面ABC的一個法向量可以是（1,1,1）；。2.1.6方程思想在立體幾何中的應(yīng)用例：如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a,(a0),PA平面ABCD，且PA=1，問BC邊上是否存在點(diǎn)Q,使得PQQD，并說明理由 設(shè)，則，于是，即，其判別式。當(dāng)即時，方程有兩解，即;當(dāng)當(dāng)2.1.7方程思想在排列組合中的應(yīng)用例：在某班學(xué)生中，選出4個組長的不同選法有m種，選出正副組長各一名的不同選法有n種，若m:n=13:2，求該班的學(xué)生人數(shù)。2.1.8方

13、程思想在數(shù)列中的應(yīng)用例：已知三個數(shù)20，50,100分別加上相同的常數(shù)后，新得到的三個數(shù)成等比數(shù)列，求公比q的值解：設(shè)20,50,100都加上以后，得到20+，50+，100+，它們成等比數(shù)列，所以 。 解這個方程，得=25所以三個新數(shù)為45,75,125，公比為 。2.2方程思想在物理學(xué)科中的應(yīng)用在物理學(xué)習(xí)中如果以單一的定勢思維來思考、解決問題常常會碰壁。在教育、教學(xué)活動中，我們?nèi)裟艹浞诌\(yùn)用多種解題方式，對同一問題、用不同方法進(jìn)行全方位的思考，就可引導(dǎo)學(xué)生克服孤立思考問題的習(xí)慣和消極的心理定勢，提高學(xué)生解決問題的能力?！八街?，可以攻玉”，在很多物理情景下，數(shù)學(xué)是一種極好的應(yīng)用工具。將數(shù)學(xué)

14、方法應(yīng)用在物理學(xué)習(xí)中，變換思考角度，可以更為靈活地解決有關(guān)物理問題，擴(kuò)展學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生處理問題的能力。許多學(xué)生感覺物理難學(xué)（包括數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題），那是他們還未對物理學(xué)進(jìn)行深度思考總結(jié)，其實(shí)高中的物理題就是由基本公式參與構(gòu)成的解方程組問題。只要掌握列方程解題的基本步驟，再難的物理題都可以化為解方程組的問題，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維上質(zhì)的突破，不再對應(yīng)用題懼怕，站在戰(zhàn)略的角度即利用方程組思想使之養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣與必勝的信心，形成統(tǒng)一的解題思路與技巧，實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)的完美整合。先看下面的例題：例題一：宇航員在某行星上從高度32m處自由釋放一重物，測得在下落最后1s通過的距離為14m。則重物下落的時間和該

15、星球的重力加速度分別是多少？解析：設(shè)重物下落的時間為t，該星球的重力加速度為g，已知h=32m, =14m,由題意列方程得： ， 。 這里僅僅利用了自由落體的最基本、最簡單的公式，學(xué)生很容易理解并掌握。例題二：一車處于靜止?fàn)顟B(tài)，車后相距25m處有一人。當(dāng)車以1m/的加速度開始啟動同時，人以6m/s的速度勻速追車，問人能否追上車？若人追不上車子，則兩者間的最小距離為多少？解析：設(shè)經(jīng)過時間t s后，人追上車子，則兩者的位移關(guān)系滿足下列關(guān)系：所以方程無實(shí)數(shù)解，即人追不上車子。設(shè)人車間距為y，則人車間距滿足下列關(guān)系：即人與車間的最小間距為7m。例題三：在仰角的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，運(yùn)動員從高處滑下，

16、能在O點(diǎn)借助于器材以與水平方向成角的速度跳起，最后落在坡上A點(diǎn)。假如 的大小不變，那么以怎樣的角起跳能使OA最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離為多少？解析：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立水平和豎直方向的坐標(biāo)系。從以上方程中消去和，可得式中、等都是定值，不難看出當(dāng)時有極大值:此時OA有極大值:有些學(xué)生在做這些題時可能寫了一大堆算式或公式，或陷入“鬼打墻”邏輯混亂，很像雞生蛋與蛋生雞問題；或根本入不了“門檻”不知如何下手，很像作繭自縛、畫地為牢。究其原因，就在于他們已形成的思維定勢，非要一個接一個的按順序解題目羅列的問題，這便是癥結(jié)所在。我們要打破常規(guī)，不能按套路出牌。方程思想的精髓就是問什么就設(shè)什么未知數(shù)，甚至多設(shè)一些未知量，

17、為了能用更基本的公式或更一般的規(guī)律列方程組，這特別適合思維或基礎(chǔ)有困難的學(xué)生。要把整個題目所有的物理量都看作一個統(tǒng)一整體，極像是快刀斬亂麻。要從每一句話、每個數(shù)據(jù)中找到可能對應(yīng)的一個方程，通常幾個未知量對應(yīng)幾個方程，寫多了可能有等價式或其中一些可從其他算式中推出即冗余；寫少了一般又解不出來。這不需要任何特殊的思維，最原始最繁雜的解法多數(shù)時候又是最簡單最聰明的解法，類似大智若愚、笨方法又是最簡潔、最巧妙、最高效的解法。2.3方程思想在配平化學(xué)方程式中的應(yīng)用配平化學(xué)方程式的方法非常之多，然而，方法的掌握及其運(yùn)用有一個非常有趣的現(xiàn)象：學(xué)的方法愈多，對每種方法的運(yùn)用往往愈不甚精。本文從化學(xué)方程式中的配

18、平涉及的基本問題，即化學(xué)反應(yīng)前后元素種類和原子數(shù)目不變這一本質(zhì)出發(fā)，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的方程思想推出一種通用的、帶普適性的、對各種化學(xué)反應(yīng)類型的方程式配平都行之有效的待定系數(shù)法。在高中化學(xué)中，關(guān)于配平化學(xué)方程式的問題，是一個非常帶技巧性的問題，特別是在配平復(fù)雜氧化還原反應(yīng)方程式中，配平問題成為教學(xué)中的一個突出的難點(diǎn)問題，利用方程思想來解決此類問題，常?？梢匀〉煤芎玫男Ч?。例如：第一步：設(shè)反應(yīng)物和前的系數(shù)分別為和，并以此確定生成物的系數(shù)； 第二步：根據(jù)反應(yīng)前后氧原子的數(shù)目相等列出方程；解得： 根據(jù)最小公倍數(shù)法則：綜上所述，該方法是一種普適性的配平化學(xué)方程的方法，它巧妙地運(yùn)用了數(shù)學(xué)方程思想來建立等量關(guān)系，

19、并用最小公倍數(shù)法來確定系數(shù)。它具有適用性強(qiáng)能夠適用各類化學(xué)方程式的配平、數(shù)學(xué)思維簡明扼要、配平快的特點(diǎn)。但該法要求具備一定的數(shù)學(xué)能力，抓住建立等量關(guān)系的條件，有些要求從反應(yīng)物設(shè)未知數(shù)，而有的則要從生成物入手，運(yùn)用較為靈活。只要初學(xué)者勤于訓(xùn)練，掌握要領(lǐng)，就一定能應(yīng)付各類化學(xué)方程式的配平?？傊?，方程思想方法在高中數(shù)學(xué)的各個分支都有著廣泛的應(yīng)用，甚至在物理，化學(xué)等相鄰學(xué)科中也能大展身手。運(yùn)用方程思想方法，常常事半功倍，取得意想不到的效果。因此，在教學(xué)中向?qū)W生滲透方程的思想方法還是很有必要的。3.方程思想的學(xué)習(xí)和教學(xué)對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生,方程思想特別適合他們，可以極其快速地實(shí)現(xiàn)成績提升以及建立解決有一

20、定難度的問題,也會有一種“忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開”，“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”，“驀然回首,那人卻在燈火闌珊處”的感覺。方程思想猶如一記良藥與猛藥使其在“久病”（昏昏噩噩,迷迷糊糊，不知所措)或漫長的黑夜(一直穩(wěn)居倒數(shù))之后可以重見光明,如撥云見日、醍醐灌頂、久旱逢甘露，頂上被壓的泰山終于可以卸掉了，如獲重釋，推翻了三座大山的壓迫，以迅雷不及掩耳之勢，實(shí)現(xiàn)人的突變與質(zhì)變。因此，必須重視方程思想的學(xué)習(xí)和教學(xué)3.1方程思想的學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候,重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想，這才是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候最需要注意的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，只有了解怎么靈活運(yùn)用方程來解決問題，這樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會有更大的

21、進(jìn)步。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其實(shí)最講究的就是思想問題了,大家要了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方程的思想。初中最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是“方程”。初一比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程，并總結(jié)出解一元一次方程的五個步驟。如果學(xué)會并掌握了這五個步驟，任何一個一元一次方程都能順利地解出來。初二、初三我們還將學(xué)習(xí)解一元二次方程、二元二次方程組、簡單的三角方程;到了高中我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對數(shù)方程、線性方程組、參數(shù)方程極坐標(biāo)方程等。解這些方程的思維幾乎一致，都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物

22、理中的能量守恒，化學(xué)中的化學(xué)平衡式，現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際應(yīng)用，都需要建立方程，通過解方程來求出結(jié)果。因此，同學(xué)們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好，進(jìn)而學(xué)好其它形式的方程。所謂的“方程”思想就是對于數(shù)學(xué)問題，特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯綜復(fù)雜的關(guān)系，善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程，進(jìn)而用解方程的方法去解決它。學(xué)習(xí)方程思想最重要的是掌握建模思想：列方程的重點(diǎn)，抽象過程；學(xué)會化歸方法：解方程的重點(diǎn)，運(yùn)算過程。3.2方程思想的教學(xué)教師在教學(xué)中對培養(yǎng)學(xué)生方程思想的意識有著不可替代的作用，為此，教師要做到以下幾點(diǎn)：3.2.1掌握方程思想的實(shí)質(zhì)教育實(shí)踐者首先要在理論上理解方程的實(shí)質(zhì)才能

23、有針對性的確定教學(xué)目標(biāo)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行教學(xué)，方程思想的核心內(nèi)容有兩個：一個是建模，一個是化歸。建模是用自然語言將生活中的具體事物描述出來，再將自然語言進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，然后用數(shù)學(xué)符號建立方程，解決具體問題。建模思想是用等號將數(shù)學(xué)上等價的兩件事情聯(lián)立起來，至于用自然語言表達(dá)還是用數(shù)學(xué)符號表達(dá)并不重要，重要的是將錯綜復(fù)雜的事物進(jìn)行抽象的過程。而化歸思想是用替代的方法，將問題簡化為已熟知的內(nèi)容，用熟悉的算法來解決當(dāng)前的問題。比如把三元一次方程組化歸為二元一次方程組，把二元一次方程組化歸為一元一次方程組，再把一元一次方程組化歸為形式。建模是列方程的重點(diǎn)，化歸則是解方程的重點(diǎn)。對于學(xué)生的教育而言，建模就是

24、培訓(xùn)學(xué)生對事物的抽象能力，化歸則是培養(yǎng)學(xué)成形成運(yùn)算邏輯的思想，一種在做任何事情都要在頭腦中形成一個清晰計(jì)劃的意識與習(xí)慣。3.2.2培養(yǎng)學(xué)生用方程思想解決問題的意識教學(xué)中，只有聯(lián)系生活實(shí)際才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才是真實(shí)的科學(xué)，生活的科學(xué)。聯(lián)系實(shí)際，提供具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，可以幫助學(xué)生獲得更大的思考空間，給學(xué)生提供更為廣泛的思考內(nèi)容，促使學(xué)生結(jié)合實(shí)際進(jìn)行探究。重視培養(yǎng)學(xué)生在實(shí)際生活中運(yùn)用方程思想，教會學(xué)生特別是要學(xué)會從問題的數(shù)量關(guān)系的分析入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得以解決的思想方法。在“方程思想的運(yùn)用”中，相信以充分體現(xiàn)了方程思想的優(yōu)勢，特別是通過應(yīng)用題教學(xué)，讓學(xué)生面臨

25、求解一個未知對象的數(shù)值或數(shù)量時，學(xué)會自然地想到構(gòu)建一個方程模型來解決。 3.2.3中小學(xué)教師對方程的教學(xué)要體現(xiàn)出連續(xù)與統(tǒng)一在實(shí)際教學(xué)中，教師要從宏觀上統(tǒng)一把握方程思想，樹立一至九年級連續(xù)的教材觀，對學(xué)生進(jìn)行循序漸進(jìn)的教學(xué)。中小學(xué)生對于方程的學(xué)習(xí)是一個連續(xù)的由簡入繁，由易入難的過程，是堅(jiān)固基礎(chǔ)，螺旋遞升的過程，小學(xué)階段的四則運(yùn)算、用字母表示數(shù)與一元一次方程是中學(xué)一元多次方程與多元一次方程化歸的基礎(chǔ)，小學(xué)對簡單方程的情境描述與概括是中學(xué)多元方程理解抽象的基墊。首先要保證方程教學(xué)內(nèi)容的生活化，讓學(xué)生感受到方程思想在生活中的體現(xiàn)，讓學(xué)生在生活情境中感受事物之間的等價。中小學(xué)教師在教學(xué)中要統(tǒng)一目標(biāo)，即讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)方程的目的是利用方程知識簡化并解決生活中的復(fù)雜問題，提高生活質(zhì)量。教師要把學(xué)生方程學(xué)習(xí)的生活聯(lián)系過程作為重點(diǎn)，在義務(wù)教育階段全程滲透用方程解