材料力學(xué)第二十講遼寧工業(yè)大學(xué)郭鵬飛教授

1、上次課回顧1、兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲有棱角的截面圓截面2、橫向力與軸向力共同作用12. 偏心拉伸(壓縮) 當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行但不重合的拉力或壓力作用時(shí)，即為偏心拉伸或偏心壓縮。 如鉆床的立柱、廠房中支承吊車(chē)梁的柱子。F1F22 以橫截面具有兩對(duì)稱(chēng)軸的等直桿承受距離截面形心為 e (稱(chēng)為偏心距)的偏心拉力F為例，來(lái)說(shuō)明. 將偏心拉力 F 用靜力等效力系來(lái)代替。把A點(diǎn)處的拉力F向截面形心O1點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到軸向拉力F和兩個(gè)在縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的力偶Mey、Mez。 因此，桿將發(fā)生軸向拉伸和在兩個(gè)縱對(duì)稱(chēng)面O1xy、O1xz內(nèi)的純彎曲。 在任一橫截面n-n上任一點(diǎn) C(y,z) 處的正應(yīng)力分別為z1yOeF

2、A(y ,z )FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy,yC(z)3軸力FN=F 引起的正應(yīng)力彎矩My=Mey 引起的正應(yīng)力彎矩Mz=Mez 引起的正應(yīng)力按疊加法，得C點(diǎn)的正應(yīng)力A為橫截面面積；Iy、Iz分別為橫截面對(duì)y軸、z軸的慣性矩。 4利用慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系 C點(diǎn)的正應(yīng)力表達(dá)式變?yōu)?取=0 ，以y0、z0代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可得中性軸方程yOz中性軸5 可見(jiàn)，在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線。 求出中性軸在y、z兩軸上的截距 對(duì)于周邊無(wú)棱角的截面，可作兩條與中性軸平行的直線與橫截面的周邊相切，兩切點(diǎn)D1、D2，即為橫截面上最大拉應(yīng)力和

3、最大壓應(yīng)力所在的危險(xiǎn)點(diǎn)。相應(yīng)的應(yīng)力即為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。 中性軸D (y ,z222 )2azayOzyD (y ,z )1116 對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處。如，矩形截面桿受偏心拉力F作用時(shí)，若桿任一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=F、 My=FzF， Mz=FzF，則與各內(nèi)力分量相對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力為：按疊加法疊加得OD2D1AFyzyOzhbD1D2FWzFyzyOD2D1FyFWz中性軸yzOD1st,maxsD2c,max7 可見(jiàn)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別在截面的棱角D1、D2處，其值為危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為 8解：兩柱均為壓應(yīng)力 例8-6 圖

4、示不等截面與等截面桿，受力F=350kN，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對(duì)值最大正應(yīng)力。圖（1）圖（2）F300200200F200200MFFd9例8-7 圖示立柱，欲使截面上的最大拉應(yīng)力為零，求截面尺寸h及此時(shí)的最大壓應(yīng)力。 解：（1）內(nèi)力分析 （2）最大拉應(yīng)力為零的條件 解得 h=240mm 10（3）求最大壓應(yīng)力 113. 截面核心 當(dāng)偏心拉（壓）作用點(diǎn)位于某一個(gè)區(qū)域時(shí)，橫截面上只出現(xiàn)一種性質(zhì)的應(yīng)力(偏心拉伸時(shí)為拉應(yīng)力，偏心壓縮時(shí)為壓應(yīng)力)，這樣一個(gè)截面形心附近的區(qū)域就稱(chēng)為截面核心。 對(duì)于磚、石或混凝土等材料（如橋墩），由于它們的抗拉強(qiáng)度較低，在設(shè)計(jì)這類(lèi)材料的偏心受壓桿時(shí)，最好使橫截面上不出現(xiàn)拉

5、應(yīng)力。因此，確定截面核心是很有實(shí)際意義的。 為此，應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。12作一系列與截面周邊相切的直線作為中性軸，由每一條中性軸在 y、z 軸上的截距ay1、az1，即可求得與其對(duì)應(yīng)的偏心力作用點(diǎn)的坐標(biāo)(y1,z1)。有了一系列點(diǎn)，描出截面核心邊界。（一個(gè)反算過(guò)程）前面偏心拉（壓）計(jì)算的中性軸截距表達(dá)式Ozyaay1z1221144335513圓截面: 對(duì)于圓心 O 是極對(duì)稱(chēng)的，截面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是極對(duì)稱(chēng)的，即為一圓心為 O 的圓。 得 作一條與圓截面周邊相切于A點(diǎn)的直線，將其看作為中性軸，并取OA為y軸，于是，該中性軸在y、z兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為dzyO8d8d1A1

6、14矩形截面: 邊長(zhǎng)為a和b的矩形截面，y、z兩對(duì)稱(chēng)軸為截面的形心主慣性軸。得 將與 AB 邊相切的直線看作是中性軸，其在y、z 兩軸上的截距分別為 b66h1AzybhCDBh66bO3134422115 同理，分別將與BC、CD和DA邊相切的直線、看作是中性軸，可求得對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上點(diǎn)2、3、4的坐標(biāo)依次為 當(dāng)中性軸從截面的一個(gè)側(cè)邊繞截面的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到其相鄰邊時(shí)，相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是一條連接點(diǎn)1、2的直線。 于是，將1、2、3、4四點(diǎn)中相鄰的兩點(diǎn)連以直線，即得矩形截面的截面核心邊界。它是個(gè)位于截面中央的菱形， 16例8-8 試確定圖示T字形截面的截面核心邊界。圖中y、z軸為截面的

7、形心主慣性軸。 解：先求出截面的有關(guān)幾何性質(zhì) EH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy17 作、等6條直線，將它們看作是中性軸，其中、和分別與周邊AB、BC、CD和FG相切，而和則分別連接兩頂點(diǎn)D、F和兩頂點(diǎn)G、A。 依次求出其在y、z坐標(biāo)軸上的截距，并算出與這些中性軸對(duì)應(yīng)的核心邊界上1、2、等6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值。 再利用中性軸繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)相應(yīng)的外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡為一直線的關(guān)系，將6個(gè)點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)用直線連接，即得圖中所示的截面核心邊界。453216EH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123456188-4 彎曲與扭轉(zhuǎn)以圓截

8、面桿在彎扭組合時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題曲拐, AB段為等直實(shí)心圓截面桿,作受力簡(jiǎn)化,作M、T圖BAFlaFABMe=Fa_圖TFa_FlM圖19F力使AB桿發(fā)生彎曲，外力偶矩Me=Fa使它發(fā)生扭轉(zhuǎn)由彎矩、扭矩圖知，危險(xiǎn)截面為固定端截面A危險(xiǎn)截面上與彎矩和扭矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力、切應(yīng)力為A截面的上、下兩個(gè)點(diǎn)C1和C2是危險(xiǎn)點(diǎn)C1點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，取單元體得-二向應(yīng)力狀態(tài)C12CCC34A1C2C3CC4C120可用相應(yīng)的強(qiáng)度理論對(duì)其校核， 如第四強(qiáng)度理論，第三強(qiáng)度理論。在這種特定的平面應(yīng)力狀態(tài)下，這兩個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力的表達(dá)式可得（前面強(qiáng)度理論講過(guò)）強(qiáng)度條件為按應(yīng)力狀態(tài)分析的知識(shí)， C1點(diǎn)三個(gè)主應(yīng)力為 21注意

9、到=M/W、= T/Wp, 相當(dāng)應(yīng)力改寫(xiě)為 上式同樣適用于空心圓截面桿，對(duì)其它的彎扭組合，可同樣采用上面的分析方法。22統(tǒng)一形式： 其中： 23外力分析：外力向形心簡(jiǎn)化并分解。內(nèi)力分析：每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。應(yīng)力分析：建立強(qiáng)度條件。彎扭組合問(wèn)題的求解步驟：24例8-9 圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪 C 上作用有鉛垂切向力5kN，徑向力1.82kN；齒輪 D 上作用有水平切向力10kN，徑向力3.64kN。齒輪 C 的節(jié)圓直徑dC=400mm，齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力=100MPa，試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。 解：將每個(gè)齒輪上的切向外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m25 作出軸在xy、xz兩縱對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)的兩個(gè)彎矩圖以及扭矩圖 對(duì)于圓截面桿，通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ(chēng)平面，可將My、Mz按矢量和求得總彎矩。 并用總彎矩來(lái)計(jì)算該橫截面上的正應(yīng)力。 橫截面B上的總彎矩最大。再考慮扭矩圖，得B截面是危險(xiǎn)截面. 1kN.m0.227kN.mM圖z0.568kN.m0.364kN.mM圖y_T圖1kN.mBxyzMyBzBMMzByBMMBByz