2022年?yáng)|北師范大學(xué)附屬中學(xué)屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

1、一、學(xué)問梳理（一）直線與圓的位置關(guān)系：1、直線與圓的位置關(guān)系的判定：直線AxByC20與圓xa2yb2r2的位置關(guān)系有三種幾何法 ：dAaBbCAB2（1） d（2） d（3） d代數(shù)法 ：利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組AxByC0F0求解, 通x2y2DxEy過解的個(gè)數(shù)來判定：（1）當(dāng)方程組有 2 個(gè)公共解時(shí)（直線與圓有 2 個(gè)交點(diǎn)）,直線與圓相交；（2）當(dāng)方程組有且只有 1 個(gè)公共解時(shí) （直線與圓只有 1 個(gè)交點(diǎn)）,直線與圓相切；（3）當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)（直線與圓沒有交點(diǎn)）,直線與圓相離；即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程,設(shè)它的判別式為相切 0；相交 0；相離 0；2. 過一

2、點(diǎn)作圓的切線的方程：1 過圓外一點(diǎn)的切線：M 為圓外一點(diǎn) , 設(shè)點(diǎn)斜式方程 :y-=k , 利用幾何法或代數(shù)法 , 一般解出兩個(gè) k 值 , 假如解出一個(gè) k 值, 就另一條是沒有斜率的直線 x= . 2 過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓 xa 2+ yb 2=r 2,圓上一點(diǎn)為 x0,y0,2就過此點(diǎn)的切線方程為 x0a xa + y0b yb = r特殊地,過圓 x 2y 2r 2上一點(diǎn) P x 0 y 0 的切線方程為 x 0 x y 0 y r 2. 3切點(diǎn)弦1 過 C：xa2yb2r2外一點(diǎn)Px0y0作 C 的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,就切點(diǎn)弦 AB 所在直線方程為：x 0axay0byb

3、r24. 切線長(zhǎng)：2+ y b2=r2 , 就 過 圓 外 一 點(diǎn)P x0, y0 的 切 線 長(zhǎng) 為如 圓 的 方 程 為 x ad=x0a2+y0b2r2（二）、圓與圓的位置關(guān)系（1）設(shè)兩圓C 1:xa 12yb 12r 12與圓C2:xa 22yb22r22,圓心距da 1a 22b 1b 22；內(nèi)切內(nèi)含dr 1r 2外離4 條公切線；dr 1r2外切3 條公切線；r1r2dr 1r2相交2 條公切線dr1r 2內(nèi)切1 條公切線；0dr 1r2內(nèi)含無公切線；外離外切相交（2）兩圓公共弦所在直線方程圓C ：x2y2D xE yF 10,0為兩相交圓公共弦方程. 圓C ：x2y2D xE y

4、F 20,就D 1D 2xE 1E2yF 1F 2補(bǔ)充說明：如C 與C 相切,就表示其中一條公切線方程；. 如C 與C 相離,就表示連心線的中垂線方程（3）圓系問題過兩圓C ：x2y22D xE yF 10和C ：2 xy2D xE yF20交點(diǎn)的圓系方程為2 xyD xE yF 12 xy2D xE yF 20（）補(bǔ)充： 上述圓系不包括 C ； 當(dāng) 1時(shí), 如 C 與 C 相切,就表示其中一條公切線方程；如 C 與 C 相離,就表示連心線的中垂線方程；如 C 與 1 C 相交,表示公共弦的直線方程； 過直線 Ax By C 0 與圓 x 2y 2Dx Ey F 0 交點(diǎn)的圓系方程為x 2 y

5、 2 Dx Ey F Ax By C 0二、題型探究：探究一 ：直線與圓相切問題例 1：將直線 2xyy0沿 x 軸向左平移1 個(gè)單位,所得直線與圓（D）1 或 11的值為（）x2y22x40相切,就實(shí)數(shù)（C）0 或 10 （A） 3 或 7 （B） 2 或 8 【思路點(diǎn)撥】此題考查了平移公式、直線與圓的位置關(guān)系,只要正確懂得平移公式和直線與圓相切的充要條件就可解決.y0沿 x 軸向左平移1 個(gè)單位后的直線l 為：【正確解答】 由題意可知： 直線 2 x2x1y0.已知圓的圓心為O 1,2,半徑為5 .解法 1：直線與圓相切,就圓心到直線的距離等于圓的半徑,因而有| 2 1 12|5,得3 或

6、 7.y0,即y2x1,5解法2：設(shè)切點(diǎn)為C x y ,就切點(diǎn)滿意 2x1代入圓方程整理得：5x224 x240, （* ）3或 7.0,得由直線與圓相切可知, （*）方程只有一個(gè)解,因而有解法3：由直線與圓相切,可知COl ,因而斜率相乘得1,即y221,x1又由于C x y 在圓上,滿意方程x2y22x4y0,解得切點(diǎn)為 1,1或 2,3 ,又C x y 在直線 2x1y0上,解得3 或 7.探究二 ：直線與圓有關(guān)的最值問題例 2：已知直線L: 2 mxy8 m30和圓C:x2y26x12y200；（1） m R時(shí),證明 L 與 C 總相交；（2） m 取何值時(shí), L 被 C 截得弦長(zhǎng)最短

7、,求此弦長(zhǎng)；相交于例 3已知圓：與：A B 兩點(diǎn)；（1）求公共弦 AB 所在的直線方程；（2）求圓心在直線 y x上,且經(jīng)過A B 兩點(diǎn)的圓的方程；（3）求經(jīng)過 A B 兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程；探究三 ：直線與圓有關(guān)綜合題例 4：已知實(shí)數(shù) x、y 滿意 x 2 2 y 1 2 1,求 z y 1的最大值與最小值；x解析：y 1表示過點(diǎn) A（0, 1）和圓 x 2 2 y 1 2 1 上的動(dòng)點(diǎn)（ x,y）x的直線的斜率；當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí),直線的斜率分別取得最大值和最小值 . 設(shè)切線方程為ykx1,即kxy10,就|2k22|1,解得k437；k1因此,zmax47,zmin4373點(diǎn)評(píng)：

8、 直線學(xué)問是解析幾何的基礎(chǔ)學(xué)問,直觀性強(qiáng)等特點(diǎn),對(duì)啟發(fā)思維大有裨益；題型探究四 ：圓與圓位置關(guān)系敏捷運(yùn)用直線學(xué)問解題具有構(gòu)思奇妙、例 5： 爭(zhēng)論兩圓的位置關(guān)系: 2 5 = 0,圓 C2：x 2 + y2 + 2x 2my + m2 3 = 0,m已知圓 C1：x 2 + y 2 2mx + 4y + m為何值時(shí),（1）圓 C1 與圓 C2 相外切；（ 2）圓 C1 與圓 C2 內(nèi)含 . 【解析】對(duì)于圓 C1,圓 C2 的方程,經(jīng)配方后 C1：x m2 + y + 22= 9,C2：x + 12 + y m2 = 4. （1）假如 C1 與 C2 外切,就有m12m2232,所以 m2 + 3

9、m 10 = 0,解得 m = 2 或 5. （2）假如 C1 與 C2 內(nèi)含,就有m2 1m2232,所以 m2 + 3m + 20,得 2m1. 所以當(dāng) m = 5 或 m = 2 時(shí), C1 與 C2 外切；當(dāng)2m1 時(shí), C1 與 C2 內(nèi)含 . 例 6：圓系方程應(yīng)用: . 求過直線 x + y + 4 = 0與圓 x2 + y2 + 4x 2y 4 = 0的交點(diǎn)且與y = x 相切的圓的方程【解析】設(shè)所求的圓的方程為x2 + y2 + 4x 2y 4 + x + y + 4 = 0. 聯(lián)立方程組yx24x2y4xy40 x2y得：x21x210.由于圓與 y = x 相切,所以=0.

10、 即12810,就=3,故所求圓的方程為x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0. 例 7： 兩個(gè)圓相交的公共弦長(zhǎng)及公共弦所在的直線方程的求法 求過兩圓 x2 + y2 + 6x 4 = 與 x2 + y2 + 6y 28 = 0 的交點(diǎn),且圓心在直線 x y 4 = 0 上的圓的方程 . 【解析】：依題意 所求的圓的圓心,在已知圓的圓心的連心線上,又兩已知圓的圓心 分別為 3,0和0,3.就連心線的方程是 x + y + 3 = 0. 1由 x y 3 0解得 x2 . 所以所求圓的圓心坐標(biāo)是 1 , 7 . x y 4 0 7 2 2y2設(shè)所求圓的方程是 x2 + y 2 x +

11、7y + m = 0 由三個(gè)圓有同一條公共弦得 m = 32.故所求方程是 x2 + y2 x + 7y 32 = 0. 例 8： 已知圓 C1：x 2 + y 2 2x =0 和圓 C2： x 2 + y 2 +4 y =0,試判定兩圓的位置關(guān)系,如相交,就設(shè)其交點(diǎn)為 A、B,試求出它們的公共弦 AB的方程及公共弦長(zhǎng)；三、方法提升：直線與圓的位置關(guān)系：l ：f1（x ,y） 0圓 C ：f 2（x ,y） 0 消 y 得 F（x）0；1（1）直線與圓相交：F（ x） 0 中0；或圓心到直線距離k2d r ；直 線 與 圓 相 交 的 相 關(guān) 問 題 ： 弦 長(zhǎng) | AB| 1| x1 x2|

12、 k x 1x 224x 1x 2,或 | AB| 2r2d2；弦中點(diǎn)坐標(biāo)（x 1x 2,y 1y2）；22弦中點(diǎn)軌跡方程；（2）直線與圓相切： F（x） 0 中0,或 d r 其相關(guān)問題是切線方程如P（x0 ,y0）是圓 x2y2r2上的點(diǎn),過 P 的切線方程為 x0 x y0y r2,其二是2 2 2圓外點(diǎn) P（ x0 , y0 ）向圓到兩條切線的切線長(zhǎng)為 x 0 a y 0 b r 或2 2 2x 0 y 0 r；其三是 P（x0 ,y0）為圓 x2y2r2外一點(diǎn)引兩條切線,有兩個(gè)切點(diǎn) A , B ,過 A ,B 的直線方程為x0 x y0y r2；（3）直線與圓相離：F（x） 0 中0

13、；或 d r ；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離 d 的最大值與最小值, 設(shè) Q 為圓 C ：x a 2y b 2r2上任一點(diǎn), | PQ| max | PC| r ；| PQ| min | PQ| r ,是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值（4）圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距 系判定| O1O2| 與兩半徑 r1 ,r2 的和差關(guān)（1）設(shè) O1 圓心 O1 ,半徑 r1 , O2 圓心 O2 ,半徑 r2 就：當(dāng) r1 r2 | O1O2| 時(shí) O1 與 O2 外切；當(dāng) | r1 r2| | O1O2| 時(shí),兩圓相切；當(dāng) | r 1 r2| | O1O2| r1 r 2 時(shí)兩圓相交

14、；當(dāng)| r1 r2| | O1O2| 時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng) r 1 r2 | O1O2| 時(shí)兩圓外離 . （2）設(shè) O1 ：x 2 y 2 D1x E1y F1 0, O2 ：x2 y 2 D2x E2y F2 0；兩圓相交A 、B 兩點(diǎn),其公共弦所在直線方程為（D1 D2）x （ E1 E2）y F1 F2 0；經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1x E1y F1 （x2 y2D2xE2y F2） 0（不包括 O2 方程） . 四、反思感悟五、課時(shí)作業(yè)（一）一、挑選題2 21、如 P 2 , 1 為圓 x 1 y 25 的弦 AB 的中點(diǎn),就直線 AB 的方程是 A. x y 3 0 B. 2

15、x y 3 0C. x y 1 0 D. 2 x y 5 02 2 2 22、圓 x y 2 x 0 和圓 x y 4 y 0 的位置關(guān)系是（）A相切 B相交 C相離 D不確定3、圓 2x22y21 與直線 xsin y10（ R, 2k , k Z）的位置關(guān)系是（）A相交 B相切 C相離 D不確定4、設(shè)直線 2xy3 0 與 y 軸的交點(diǎn)為 P,點(diǎn) P把圓（ x1）2y225 的直徑分為兩段,就其長(zhǎng)度之比為（）7 3 7 4 7 5 7 6A3或 7 B4或 7 C5或 7 D6或 75、以點(diǎn) A ,3 0 、B 0 , 3、C 15 , 24 為頂點(diǎn)的三角形與圓 x 2y 2R 2 R 0

16、 沒有公7 7共點(diǎn),就圓半徑R的取值范疇是（）89A 0 ,310389,B310,3107107C,022,3D232, 3 3二、填空題6、直線 x2y=0 被曲線 x 2y26x2y15=0 所截得的弦長(zhǎng)等于 _. 7、以點(diǎn) 1,2為圓心,且與直線 4x+3y-35=0 相切的圓的方程是 _. 8、集合 A（ x,y）|x 2 y2=4,B（x,y）| （x3）2（ y4） 2=r 2,其中 r0,如 AB 中有且僅有一個(gè)元素,就r 的值是 _. 9、一束光線從點(diǎn)A（ 1,1）動(dòng)身經(jīng) x 軸反射到圓C：（x2）2（ y3） 2 1 的最短路程是 _. 10、已知三角形三邊所在直線的方程為

17、y0,x2,xy42 0,就這個(gè)三角形內(nèi)切圓的方程為_. 三、解答題11、求過點(diǎn)（ 3,1）,且與圓x1 2xy24相切的直線的方程；2 y0和2xy0都相切的圓的方程；12、求經(jīng)過點(diǎn)A（ 0,5）,且與直線13、（ 1）圓 C： x2 y2 DxEyF0 的外部有一點(diǎn)P（x0,y0）,求由點(diǎn)P 向圓引切線的長(zhǎng)度（2）在直線 2x y30 上求一點(diǎn) P,使由 P 向圓 x2 y2 4x0 引得的切線長(zhǎng)長(zhǎng) 度為最小14、如圖,圓 C 通過不同的三點(diǎn)P（K,O）、Q（2, 0）、R（0,1）,已知圓 C 在點(diǎn) P的切線斜率為 1,試求圓 C 的方程y 課時(shí)作業(yè)（一）解析 R P 1、A 2、B 3

18、、C 4、A 5、A 6、4 5 7、O Q x C x 1 2 y 2 225 8、 3 或 7 9、 4 10、2 2x 3 y 1 111、解：設(shè)過點(diǎn)（3, 1）且與圓相切的直線的方程為 y 1 k x 3,即 kx y 1 3 k 0,由| k 1 3 k | 3d 2,解得：k,即：3 x 4 y 13 0,由于點(diǎn)（ 3,1）在圓外,切線有兩1 k 2 4條,另一條為 x 3；12、解：圓心在直線 x 2y 0 和 2 x y 0 的交角平分線 x 3y 0 或 3 x y 0 上,由于圓過點(diǎn) A（0,5）,所以圓心 C 在 3 x y 0,設(shè) C t , 3 t ,| 2 t 3

19、t |t 2 3 t 5 2,t ,1 5,故圓5的方程為 x 1 2y 3 2 5 和 x 5 2y 15 2125；13、解：（ 1）切點(diǎn)、圓心及點(diǎn) P三點(diǎn)連線可構(gòu)一個(gè) Rt ,其中切線是一條直角邊,利用勾股定理可得切線長(zhǎng)x02+y02+Dx0+Ey0+F ；4（ 2）設(shè) P（x,y）,由（1）結(jié)論得切線長(zhǎng) Sx2+y2 4x 5x2+8x+9 ,當(dāng)且僅當(dāng) x5,即 P（5 ,7 5）時(shí),切線長(zhǎng)度最小,最小值是 145 . 52 214、解： .設(shè)圓 C的方程為 x y Dx Ey F 0,由于 k , 2 為方程 x 2Dx F 0 的兩根k 2 D , 2 k F 即 D k 2 ,

20、F 2 k又由于圓過點(diǎn) R（ 0,1）,故 1E F=0, E= 2k1 圓的方程 x 2y 2 k 2 x 2 k 1 y 2 k 0圓心 C 坐標(biāo) k 2 , 2 k 1 圓在點(diǎn) P 的切線斜率為 1 K CP 1 2 k 1 解得 k 32 2 2 k所求圓的方程為x2y2x5y60.課時(shí)作業(yè)（二）一、挑選題3 2 21、把直線 y x 繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使它與圓 x y 2 3 x 2 y 3 0 相切,3就直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角是（）ABC2 D53 2 3 62、假如實(shí)數(shù) x, y 滿意等式 x 2 2y 23,那么 y 的最大值是（）xA 2 1B3 3C2 3D33、圓 x 2

21、y22x4y30 上到直線 x y10 的距離為 2 的點(diǎn)有（）A1 個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4 個(gè)2 24、如過定點(diǎn) M 1 , 0 且斜率為 k 的直線與圓 x 4 x y 5 0 在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn),就 k的取值范疇是 A. 0 k 5 B. 5 k 0 C. 0 k 13 D. 0 k 52 25、直線 y=2xm 和圓 x y 1 交于 A、B 兩點(diǎn),以 ox 軸為始邊, OA、OB 為終邊的角記為、,就 sin 等于（）4A關(guān)于 m 的一次函數(shù) B54C關(guān)于 m 的二次函數(shù) D 5二、填空題6、圓x2y22上的點(diǎn)到直線3xr a4y250的距離的最小值為_. y2x6yF0

22、于點(diǎn)P,Q7、已知直線x2y30交圓x2, O 為坐標(biāo)原點(diǎn),且OPOQ,就 F 的值為平移后與圓2 c xy22x4y08、如直線x2ym0按向量 1, 2相切,就實(shí)數(shù)m 的值為10 x10y0和x229、已知兩圓y26x2y400,就它們的公共弦長(zhǎng)x2y2為. yxb與 曲線x1y恰 有一 個(gè)公 共點(diǎn), 就 b 的 取值范 圍是10 、如 直線_. 三、解答題11、由點(diǎn)A ,3 3 發(fā)出的光線l 射到 x 軸上,被x 軸反射,如反射光線所在直線與圓x2y24x4y70相切,求光線l 所在直線的方程12 、已知圓上的點(diǎn)A ,23 關(guān)于直線x2 y0的對(duì)稱點(diǎn)仍在這個(gè)圓上,且與直線xy10相交的弦長(zhǎng)為22,求圓的方程13、已知 C：（x1）2y22=25,直線Rl：（2m 1）x（ m1）y 7m40m（1）求證：不論 m 取什么實(shí)數(shù)時(shí),直線 l 與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線 l 被圓 C截得的線段的最短長(zhǎng)度以及這時(shí)直線 l 的方程14、曲線 x 2 y2 x6y30 上兩點(diǎn) P、 Q 滿意：（1）關(guān)于直線 kx y40 對(duì)稱,（2） OPOQ,求直線 PQ的方程課時(shí)作業(yè)（二）解析：1、B 2、D 3、C 4、A 5、D 6、527、3 8、-13 或-3. 9、230