教學(xué)教案-立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)一.教案描述序言課的主要任務(wù)是揭示這門學(xué)科研究的對(duì)象、內(nèi)容、解決問(wèn)題的思想方法，它具 有承前啟后之作用。上好序言課，對(duì)學(xué)生學(xué)好這門學(xué)科有著十分重要的作用。因此，應(yīng)當(dāng) 重視序言課的教學(xué)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使其上得生動(dòng)、具體、有趣，防止抽象、空洞、 乏味，從而有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)目的.使學(xué)生了解立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容；.使學(xué)生初步理解立體幾何中的主要數(shù)學(xué)思想方法（類比思想、轉(zhuǎn)化思想、展開(kāi)思 想）；.培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，初步建立空間概念。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)的重點(diǎn)是空間概念的建立及立體幾何中的主要數(shù)學(xué)思想方法；難點(diǎn)是空間概念 的建立。教具正方體、正四面體骨架、圓

2、柱、圓錐等模型；學(xué)生每人準(zhǔn)備六根長(zhǎng)度相等的牙簽或 六根火柴。教學(xué)方法引導(dǎo)類比探索法。教學(xué)過(guò)程（一）引入新課師：?jiǎn)栴}1。請(qǐng)同學(xué)們用六根長(zhǎng)度相等的牙簽（或火柴）搭正三角形，試試看，最多 搭成幾個(gè)正三角形？生：開(kāi)始在桌面上擺，有的擺成兩個(gè)余下一根牙簽；有的在桌面上擺成塔形，塔底為 三角形，出現(xiàn)四個(gè)三角形。學(xué)生興趣很濃，積極探索擺法。最后都探索到，在空間，可搭 成四個(gè)正三角形。師：（小結(jié)）：在平面內(nèi)（桌面）最多只能搭成兩個(gè)，而在空間能搭成四個(gè)正三角 形。同時(shí)，向?qū)W生展示正四面體骨架模型，再讓學(xué)生看投影1中的圖1?！军c(diǎn)評(píng)：通過(guò)小實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。一開(kāi)始就把學(xué)生的 視線由平面引導(dǎo)

3、到了空間】師：?jiǎn)栴}2。請(qǐng)同學(xué)們想一想，是否存在三條直線兩兩互相垂直？假設(shè)存在，請(qǐng)舉出實(shí) 際中的例子。生：有的在紙上畫；有的用筆、直尺等演示；有的在教室四周觀察。議論紛紛，有的 說(shuō)不存在，有的說(shuō)存在，各持己見(jiàn)，爭(zhēng)論不休。師：在兩種不同意見(jiàn)的學(xué)生中各選一人，讓他們陳述理由。生甲：不存在。因?yàn)榧僭O(shè)a，c, bc, 那么ab。生乙：存在。如教室墻角處的三條直線兩兩互相垂直。師（小結(jié)）：在同一平面內(nèi)不存在，如甲的理由；但在空間是存在的，如乙同學(xué)所舉 的實(shí)例，教室墻角處的三條直線AB、AC、AD兩兩互相垂直（如投影1中圖2所示）。請(qǐng)同 學(xué)們觀察正方體（向?qū)W生展示正方體模型）中一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱之間的關(guān)系，

4、也是兩兩 互相垂直的（如投影1中圖3）。師：現(xiàn)實(shí)世界中許多問(wèn)題，只在平面內(nèi)研究是很不不夠的，還需要在空間這個(gè)更廣闊 的領(lǐng)域內(nèi)來(lái)考慮和研究，這就是我們將要學(xué)習(xí)的“立體幾何”（板書課題）【點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}2更具有探索性，激活了學(xué)生的思維，通過(guò)學(xué)生自己探索、辯論，教師 小結(jié)，將學(xué)生的思維活動(dòng)由平面引導(dǎo)到空間，促使了學(xué)生空間概念的形成?！浚ǘ┲v授新課1、立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容師：平面幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容是什么？生：對(duì)象是平面圖形；內(nèi)容是平面圖形的畫法、形狀、位置關(guān)系、大小計(jì)算及應(yīng)用。師：那么立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容又是什么呢？讓學(xué)生觀察正方體、正四面體骨架、圓柱、圓錐等模型，引導(dǎo)學(xué)生與平面幾何進(jìn)行類比，

5、在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師小結(jié)為投影2的內(nèi)容。投影2立體幾何研究的對(duì)象 空間圖形（由空間的點(diǎn)、線、面組成的圖 形，也可以看成空間點(diǎn)的集合。如投影3中圖1、2、3、4都是空間圖 形）；立體幾何研究的內(nèi)容 空間圖形的畫法、形狀、位置關(guān)系、大小計(jì)【點(diǎn)評(píng)：與平面幾何進(jìn)行類比，非常自然地揭示了立體幾何研究的對(duì)象和內(nèi)容】師：同學(xué)們雖然還沒(méi)有掌握空間圖形的畫法但已經(jīng)見(jiàn)到了老師畫的正方體、長(zhǎng)方體、 圓柱、圓錐的直觀圖，如投影3中圖1 一圖4。同學(xué)們想一想，空間圖形與平面圖形的畫法 有什么不同？投影3生：平面圖形的畫法是真實(shí)的，而空間圖形的直觀圖不真實(shí)。如投影3中，正方體、 長(zhǎng)方體的底面本是正方形和矩形，但在直觀

6、圖中都 畫成了平行四邊形。圓柱、圓錐的的 底面本是圓，但在直觀圖中畫成了橢圓。師：同學(xué)們說(shuō)得對(duì)，在畫法上有著很大差異。同學(xué)們知道，平面圖形中的位置關(guān)系主 要是研究線與線的位置關(guān)系。那么對(duì)于空間圖形來(lái)說(shuō)，除了要研究線與線的位置外，還有 哪些位置關(guān)系呢（用正方體、長(zhǎng)方體模型及投影3中的圖形啟發(fā)學(xué)生從構(gòu)成空間圖形的基 本元素線與面作答）？生：因?yàn)榭臻g圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的因此要研究線與線、線與面、面與面的位置 關(guān)系。師：在平面圖形中，我們要經(jīng)常計(jì)算一些角的大小和線段的長(zhǎng)度，面積的大小。對(duì)于 空間圖形，也要計(jì)算有關(guān)角的大小，線段的長(zhǎng)度，除了面積外，還有體積的計(jì)算。對(duì)于投 影3中的正方體ABCD Ag

7、G，請(qǐng)同學(xué)們 說(shuō)出以下各角的度數(shù)：試計(jì)算的大??；設(shè)AB = a,試求正方體的外表積和體積。生：計(jì)算并回答：都是45;連結(jié)A氏因ABGA是等邊三角形，故ZBC,A =60 ； 5方=6。2,丫 = 3。師：通過(guò)解答上述問(wèn)題，同學(xué)們已經(jīng)看到：在研究空間圖形時(shí)，不能依據(jù)對(duì)圖形的直 覺(jué)做出判斷，而應(yīng)依據(jù)正確的推理、計(jì)算做出結(jié)論。如/abg，從直觀上看圖形是鈍角，但實(shí)際上是直角?！军c(diǎn)評(píng)：通過(guò)學(xué)生熟知的正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí) 到了空間圖形與平面圖形在畫法上的差異；從組成空間圖形的元素入手揭示了空間圖形中 要研究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系；通過(guò)對(duì)正方體的簡(jiǎn)單計(jì)算，向?qū)W生說(shuō)

8、明了在 研究空間圖形時(shí)不能只依據(jù)直覺(jué)做出判斷，為學(xué)生提早打了 “預(yù)防針”。這局部教學(xué)設(shè) 計(jì)，深入淺出，既說(shuō)明了立體幾何研究的內(nèi)容，乂加強(qiáng)了學(xué)生空間概念的形成?！?、立體幾何中的主要思想方法(1)類比思想師：判斷以下命題是否正確(石,瓦c表示直線)石 c, bc=ab; a-Lc, b c=ab.生：在同一平面內(nèi)，、都是真命題，在空間內(nèi)，仍然是真命題，但不正確； 如教室墻角處的三條直線ac, bc, aLb, a馬6相交。師：對(duì)。命題在空間仍然是真命題，就是我們將要學(xué)習(xí)的平行公理，同學(xué)們?cè)谖锢?課中見(jiàn)到的三棱鏡的三條側(cè)棱就是這種關(guān)系。命題在空間就不成立了。由此知平面幾何 中的有些結(jié)論在空間成立，

9、有些結(jié)論在空間不成立。因此，在立體幾何學(xué)習(xí)中，我們要善 于與平面幾何做比擬，認(rèn)識(shí)其相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)其不同點(diǎn)，這種思想方法稱之為類比思想。(2)轉(zhuǎn)化思想師：在投影3的圖1中，假設(shè)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為石，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：BD的長(zhǎng)；NDD】B的余弦。生甲：瓜；cos/DDB = g3師：請(qǐng)你說(shuō)一下，是怎樣算得的？生甲：連結(jié)BD,解RtADDB。師：對(duì)。這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是在對(duì)角面8。|瓦(如投影4圖1)中進(jìn)行的，即空間圖形的問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題去解決。只要轉(zhuǎn)化到平面圖形中，就可以運(yùn)用平面幾 何知識(shí)去解決。這就是轉(zhuǎn)化思想。(3)展開(kāi)思想師：在初中，同學(xué)們學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐的側(cè)面積公式，大家記得這兩個(gè)公式是怎樣

10、推 出來(lái)的嗎？生：展開(kāi)。師：對(duì)，就是將圓柱、圓錐側(cè)面分別展開(kāi)為矩形和扇形，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算矩形 和扇形的面積。像這樣將空間圖形展開(kāi)為平面圖形來(lái)處理問(wèn)題的思想方法稱為展開(kāi)思想。請(qǐng)同學(xué)們考慮下面的問(wèn)題：在投影4圖2的長(zhǎng)方體ABCD A 51G2中AB=5, AD=4, A41=3,從點(diǎn)A出發(fā)沿長(zhǎng)方體外表到達(dá)C1點(diǎn)路徑有：ABB1C1；AA|B 一iC；ABC C,求最短路程，怎么辦？生：展開(kāi)，在展開(kāi)圖中計(jì)算并做比擬。師：對(duì)。需將長(zhǎng)方體展開(kāi)進(jìn)行計(jì)算，按照三種不同路徑，有投影4中圖35的三種展 開(kāi)方法。根據(jù)平面幾何知識(shí)知，兩點(diǎn)之間線段最短，故在三種路徑中最短路程是AC】的長(zhǎng)，請(qǐng)同學(xué)們算一算，最短路

11、程是多少？生：在圖3中，得AC】=畫；在圖4中，得AG =色；在圖5中，得AC = 80 o故沿圖4中的路線走，路程最短，最短路程是J而。【點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，從問(wèn)題入手，在解決問(wèn)題中，揭示了 立體幾何研究問(wèn)題的思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生空間想象能力，促進(jìn)了學(xué)生空間概念的建 立?！浚ㄈ┱n堂小結(jié)（教師指導(dǎo)學(xué)生小結(jié)，歸納為投影5）投影5研究的對(duì)象：空間圖形（空間點(diǎn)的集合）畫法立體幾何研究的內(nèi)容：空間圖猱勺性質(zhì)（形狀、位置）大小的計(jì)算及應(yīng)用類比思想（與平面幾彳嵌比）主要數(shù)學(xué)思想和方法轉(zhuǎn)化思想（空間向平面展開(kāi)思想（展開(kāi)為平面II形）（四）課堂練習(xí).判斷正誤，錯(cuò)誤的請(qǐng)舉出反例：過(guò)一點(diǎn)有且

12、只有一條直線與直線平行。過(guò)直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直。.在右圖的圓柱中，底面半徑為2,高為4,求從點(diǎn)A繞圓柱側(cè)面一周到點(diǎn)D的最短路程（用根式表示）（五）課外作業(yè)1、在以下圖的長(zhǎng)方體中，：48=5厘米，47=4厘米，彳4=3厘米，求:（1） BD、4& 84 的長(zhǎng)度； （2）/ACB、4BC、C、的余弦值。AB第1題2、在上圖的圓錐中，底面半徑為5厘米，母線長(zhǎng)為10厘米，A、B是底面圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，C為母線SB的中點(diǎn)，求從點(diǎn)A沿圓錐側(cè)面到點(diǎn)C的最近路程（精確到0.1厘 米）。二.教案評(píng)析本教學(xué)案例是自己對(duì)立體幾何序言課經(jīng)過(guò)十多年課堂教學(xué)探索的成果。在陜西師范 大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考

13、發(fā)表，后被中國(guó)人民大學(xué)報(bào)刊復(fù)印中心中學(xué)數(shù)學(xué)全文轉(zhuǎn) 載，收到了許多同行的來(lái)信，受到了同行的青睞和極高的評(píng)價(jià)。今天重新來(lái)分析這一教學(xué) 案例，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，用新課標(biāo)的教學(xué)理念重新審視這一教學(xué)案例，尋找缺乏之處，進(jìn) 一1步完善。成功之處.教學(xué)內(nèi)容的獨(dú)創(chuàng)性一堂序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容完全是教者從長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐中摸索、積累的。 當(dāng)時(shí)的教材只在封二中用了四、五行的文字闡述了立體幾何研究的對(duì)象、內(nèi)容。教學(xué)參考 書（教師用書）中也沒(méi)有相關(guān)的內(nèi)容，在課時(shí)分配中也沒(méi)有安排課時(shí)。在當(dāng)時(shí)本人沒(méi)有看 見(jiàn)過(guò)有關(guān)立體幾何序言課的教學(xué)設(shè)計(jì)或教案。具了解當(dāng)時(shí)許多學(xué)校和老師，對(duì)立體幾何序 言課不專門作為一節(jié)課上。只是在第一節(jié)（平

14、面基本性質(zhì)）開(kāi)頭提上兒句。我們將立體兒 何序言課單列為一節(jié)課，從課時(shí)安排到教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程完全是獨(dú)創(chuàng)。為什么要將立體幾何序言課單獨(dú)作為一節(jié)課來(lái)上呢？其理由有三：一是立體幾何比擬 抽象，對(duì)空間想象能力要求較高，容易使學(xué)生產(chǎn)生分化。對(duì)某門學(xué)科的興趣對(duì)學(xué)好這門課 程至關(guān)重要。而通過(guò)立體幾何序言課的教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。二是立體 幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，有其獨(dú)特的研究方法，如類比思想（與平面幾何類比）、轉(zhuǎn)化思 想（空間向平面）、展開(kāi)思想。使學(xué)生提早了解其研究的思想方法，對(duì)學(xué)好這門課很有必 要。三是空間概念的建立是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。通過(guò)序言課的教學(xué)，是學(xué)生初步建立空 間概念，是學(xué)生的視野

15、由平面開(kāi)展到空間。因此，將立體幾何序言課單獨(dú)作為一節(jié)課是值 得的，對(duì)學(xué)生立體幾何的學(xué)習(xí)有較高的教學(xué)價(jià)值，是完全必要的。.教學(xué)內(nèi)容的適應(yīng)性本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容雖然是自編的，但就其內(nèi)容來(lái)說(shuō)，都是在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí) 的基礎(chǔ)上，從學(xué)生知識(shí)的最近開(kāi)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題，所涉及的內(nèi)容基本符合學(xué)生的知識(shí)水平和 學(xué)習(xí)能力。教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上，重視了從模型到圖形、從直觀到圖形的呈現(xiàn)方式。在引入 中從學(xué)生動(dòng)手做開(kāi)始，把學(xué)生的視野由平面引向了空間；在新授課中，安排了立體幾何研 究的對(duì)象、內(nèi)容、常用的思想方法等三塊內(nèi)容。在各塊內(nèi)容的安排中，充分考慮學(xué)生的認(rèn) 識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力，注重了從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)設(shè)計(jì)問(wèn)題。如在立體幾何研

16、究的對(duì)象中 與平面幾何進(jìn)行類比，非常自然地揭示了立體幾何研究的對(duì)象和內(nèi)容；在立體幾何研究的 內(nèi)容中，通過(guò)學(xué)生熟知的正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐等的直觀圖，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到了 空間圖形與平面圖形在畫法上的差異；從組成空間圖形的元素入手揭示了空間圖形中要研 究的線線、線面、面面之間的位置關(guān)系；通過(guò)對(duì)正方體的簡(jiǎn)單計(jì)算，向?qū)W生說(shuō)明了在研究 空間圖形時(shí)不能只依據(jù)直覺(jué)做出判斷，為學(xué)生提早打了 “預(yù)防針”。這局部教學(xué)設(shè)計(jì)，深 入淺出，說(shuō)明了立體幾何研究的內(nèi)容；在數(shù)學(xué)思想方法中，用具體的、學(xué)生比擬熟悉的例 子揭示數(shù)學(xué)思想方法。所安排的教學(xué)內(nèi)容適合學(xué)生的知識(shí)水平和學(xué)習(xí)能力及教學(xué)大綱的要 求。.教學(xué)過(guò)程的探索性教學(xué)

17、內(nèi)容的問(wèn)題化、教學(xué)過(guò)程的探索化是本教學(xué)案例的又一特色。本教學(xué)案例的教學(xué) 內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程有兩個(gè)最顯著的特征：即教學(xué)內(nèi)容的問(wèn)題化、教學(xué)過(guò)程的探索化。所有的 教學(xué)內(nèi)容都以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)，通過(guò)問(wèn)題引動(dòng)，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào) 動(dòng)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。使課堂教學(xué)成為在教師指導(dǎo)下的探索 學(xué)習(xí)過(guò)程。如在引入中通過(guò)小實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)情境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；又如在數(shù) 學(xué)思想方法中，在學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)的基礎(chǔ)上，從問(wèn)題入手，在解決問(wèn)題中，揭示 了立體幾何研究問(wèn)題的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。總之，本教學(xué)案例的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)重視從學(xué)生已有的平面幾何知識(shí)入手，利用模型和

18、投影圖形，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極探索，大膽實(shí)踐，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造 性，使抽象的序言課上得具體、生動(dòng)，內(nèi)容豐富。既使學(xué)生獲得了知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的 能力。為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何創(chuàng)造了一個(gè)良好的開(kāi)端，成功地拉開(kāi)了立體幾何教學(xué)的帷幕。缺乏之處本教學(xué)案例雖然比擬成功，但用新課程的理念的要求來(lái)分析，還存在許多缺乏之處， 主要有以下幾個(gè)方面：.教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上開(kāi)放度還不夠。教學(xué)內(nèi)容和過(guò)程使得學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)在教師事先 設(shè)計(jì)的框架下進(jìn)行。.學(xué)生的學(xué)習(xí)方式單一。在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中，都好像是教師提問(wèn)，學(xué)生答。.現(xiàn)代教育技術(shù)手段運(yùn)用不夠。教學(xué)中用的都是靜態(tài)的投影，效果不佳。改進(jìn)與完善根據(jù)以上述分析，應(yīng)從如下幾個(gè)方面加以改進(jìn)和完善：.在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)中，盡可能的使問(wèn)題的開(kāi)放度、自由度大一些，使學(xué)生能夠通過(guò) 自己自主探索獲取結(jié)論。如在展開(kāi)思想中設(shè)計(jì)的長(zhǎng)方體展開(kāi)問(wèn)題