定積分換元法與分部積分法習題

1、 / 201 計算下列定積分： sin( x )dx33- 萊布尼茲公式sin( x )dx sin( x )d(x 3333) cos(x ) 33cos( 3) cos(33)cos ( cos ) 0 。33令 x u ， 則 dx du 3當 x 從 單調(diào)變化到 32時， u 從 234單調(diào)變化到4 ，3sin( x )dx3423 sinuducosu1 dx2(11 5x)- 萊布尼茲公式1 dx23cos3cos33 cos ( cos ) 0 。332 (11 5x)351311(11 5x) 3d(11 5x)(11 5x)25221令 11 5x u ，則10(11 5 1

2、)2 (11 5 2)112( 2 1)210 1625116，于是有1 dx2 sin05121dx du ，當 x從 2單調(diào)變化到1 時，5u 從 1 單調(diào)變化到1 162 (11 5x)35cos3 d ；- 萊布尼茲公式3du02 sin cos3 d02521u2cos3 d cos16111( 2 1) 10 1625151214cos4144cos cos 0421 0 11 。44【解法二】應(yīng)用定積分換元法令 cos u ，則 sin d du ，當 從 0 單調(diào)變化到時， u 從 1 單調(diào)變化到 0，于是有 TOC o 1-5 h z 011102sin cos d 1 u

3、du 0u du 4u 04。3(1 sin3 )d ；(1sin3 )d ，不屬于三角函數(shù)的基本可積形式，須進行變換。由于1 是獨立的，易于分離出去獨立積分，于是問題成為對sin3 d 的積分，這是正、余弦的奇數(shù) 次冪的積分，其一般方法是應(yīng)用第一換元法，先分出一次式以便作湊微分：sin d d cos ，余下的sin 21 cos2 ，這樣得到的(1 cos2 )d cos 便為變 量代換做好了準備。具體的變換方式有如下兩種：- 萊布尼茲公式(1 sin )d 1d sin sin d 0(1 cos )d cos13(cos cos ) 03 TOC o 1-5 h z 133(cos c

4、os0) (cos cos 0)14【解法二】應(yīng)用定積分換元法令 cos u ，則到 1 ，于是有(1 sin3 )d( 1 1)( 1 1)。d du ，當 從 0 單調(diào)變化到時， u 從 1 單調(diào)變化1d sin2 sin d 0(1 cos2 )d cos000011(1 u )du (u u ) 11314( 1 1)( 1 1)。3322 cos udu ；6【解】這是正、余弦的偶次冪，其一般積分方法為，利用三角函數(shù)的半角公式：2 u 1 cosu21 cos2ucos2 u cosu ，將平方部份降次成為一次的余弦三角函數(shù)：cos2 u cos u ，使之 TOC o 1-5 h

5、z 222可以換元成為基本可積形式：- 萊布尼茲公式1 cos2u1 212 cos2 udu2662 cos2ud2u)6du ( 2 du226212(u12 sin 2u22)611() (sin sin )226236121令 2u x ，則du dx ，當 u 從 單調(diào)變化到時， x從 單調(diào)變化到，26232 cos2 udu21 cos2u11 du ( 2 du2622 cos2ud2u)62 x2dx；12(u12126113cosxdx) 2(2 6) 2sinx 11 (sin23 21sin 3)2(32，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)

6、令x 2 sin u ，當 x從 0單調(diào)變 化 到 2 時 ， u 從 0 單 調(diào) 變 化 到 ， 且 2 x22 2sin 2 u 2 cosu ，2dx 2 cosudu ，使得1112 2 x2dx2 2 cosu2 cosudu2du 2 cos2udu u021 sin 2u022 1 cos2u2 02202cos2ud2u1(sin 0)22du22x dx； x2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令1x sinu ，當 x從 單調(diào)2變化到1 時， u 從 單調(diào)變化到，且 1 x22 x21 sin2u2sin ucosu2 ， dx cosud

7、u ， sin u使得1 1x12 2xdx2 cosu24 sin ucosudu2 cot2 udu2 (csc2 u 1)du( cotu u)(cot cot ) () 124a x20a2 x2 dx( a 0) ；2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法為使根號內(nèi)的變量在后的平方差轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令x asin u ， 當 x從 0 單調(diào)變化到 a 時， u 從 0 單調(diào)變化到， 且x2 a2 x2 a222222sin u a sin u sin u acos u ，dx acosudu ，使得222x a x dx 02222 a sin u acosu acos4udu a402sin22

8、udu44a 1 cos 4u a 122du (u sin4u) 040284a4114 (sin 20) a 。8 2 4161 x2 1 x2【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的三角變換法：為使根號內(nèi)的變量在后的平方和轉(zhuǎn)換成完全平方，應(yīng)令x tan u ，當 x 從 1 單調(diào)變化到 3 時， u 從 單調(diào)變化到，且4322dxsec udu sec udu cosu 122 du 2 dsinux2 1 x2tan2 u 1 tan2 u tan usecu sin u sin u使得 3 dx1 x2 1 x2312 dsinusin u

9、時，t從2 單調(diào)變化到3 ，322312 2 dt 2t而且 2x x21 sin2 u2cos u cosu ，dx cosudu ，于是2x x2dxcosu cosudu0 1 cos2udu 1(u 1sin2u) 2222這時，再令sin u t ，當 u 從 單調(diào)變化到431又得dsinu2sin u 2x x2dx；【解】被積函數(shù)中含根號，且根指數(shù)及根號內(nèi)多項式的次數(shù)都是2，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法需要先將其轉(zhuǎn)化為標準形：2x x21 (1 2x x2)1 (x 1)2 ，現(xiàn)在，根號內(nèi)的二次多項式成為了變量在后的平方差的形式了，因此可令x 1 sin u ， 當 x從 0單調(diào)變化到1

10、 時， x 1 從 1 單調(diào)變化到0， 從而 u 對應(yīng)從單調(diào)2變化到0，1120 ( 2) 2sin0 sin( )被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元x u ，當 x 從 1 單調(diào)變化到4 時， u 從 1 單調(diào)變化到2，且由此得xu2 ，1 ，于是 1u1dx 2udu ，1x4 dx 2 2udu11 x 11 u212 (11 1u)du 2(u ln 1 u ) 12322(2 1) (ln3 ln 2)2(1 ln 2) 2(1 ln 3)。1 x u ，當 x 從 1 單調(diào) TOC o 1-5 h z 2114 時， u 從 2 單調(diào)變化到3

11、，且由此得x (u 1)2 ， dx 2(u 1)du ，1 xu4 dx 32(u 1)du 2 3(1 1)du 2(u ln u) 3211 x 2 u2 u232(3 2) (ln3 ln 2)2(1 ln )。21 dx3；41x1被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元x u ，當 x 從 3 單調(diào)變化到1 時， u 從 1 單調(diào)變化到0，且由此得42211x 1 u2， dx 2udu ，于是1x1 u1dx 0 2u11 x 121u 1du 202(1 u 1)du 2(u lnu 1)02112( ln ln1)221 2ln2。3【解法二

12、】為便于積分，可使變換后的分母成為簡單變量，即令 1 x 1 u ， 當 x從 3 單41調(diào)變化到1 時， u 從 單調(diào)變化到1 ，且由此得x 1 (u 1)2， dx 2(u 1)du ，211，于是1 dx34 1 x 11 2(u 1)1du2u1x1 u12 2(1 1)du 2(u ln u) 121u1 2ln2。112() ( 1) ln ln 1)221 xdx1 5 4x【解】 被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，應(yīng)該應(yīng)用第二類換元法中的直接變換法：x 1 (u2 5) ，4令 5 4x u ，當x 從 1 單調(diào)變化到1 時， u 從 3 單調(diào)變化到1 ，

13、且由此得dx 1 udu ，11 ，于是1 xdx1 5 4x1133u25 4x u1(u2 5)1 udu 1 1(u2 5)du 1 (1 u3 5u) TOC o 1-5 h z 42838311318113(1 33) 5(1 3)61。12ex2 dx；1ex由于 e2 dxx1 x211ex 2 dx， 為含復(fù)合函數(shù)ex的積分， 且微分部份2 dx僅與復(fù)合函數(shù)exxx11之中間變量的微分2 dx相差一個常數(shù)倍，可以應(yīng)用第一換元積分法：xx【解法一】應(yīng)用牛頓- 萊布尼茲公式12ex2 1 1112 dxexdex 12(e2 e1) e e。1x1 x1令 u ， 當 x 從 1

14、單調(diào)變化到2 時， u 從x12ex12 dx1x121 ex 2 dx12 eu dueu1t2 te 2 dt；0tdt 僅相差一個常數(shù)倍，可以應(yīng)用第一換元積分法：11 單調(diào)變化到， 且由此得21112(e2) e e。t2e 2 的積分，且微分部份tdt 與復(fù)合函數(shù)- 萊布尼茲公式t2e 2 之中間變量1 t20te 2dtt21t20e 2d( t2 )t221(e 2)11e。t令u ， 當 x從 0 單調(diào)變化到21 時， u 從 0 單調(diào)變化到1， 且由此得 2t21te 2dt012eudu1 eudu02001e21e211 e。e2 dx；x 1 ln xdx dx 與復(fù)合函

15、數(shù)x1 ln12 dx du ， xt2的微分 2tdt du ，之中間變量1 ln x的微x1分 1 dx 相等，可以應(yīng)用第一換元積分法：x- 萊布尼茲公式e2dx1 x 1 ln xe211lnxd (1 ln x) 2 1 ln x 1e2( 1 lne21 ln1) 2( 1 21 0) 2( 3 1)。令 1 ln x u ，當 x從 1 單調(diào)變化到e2時， u 從 1 單調(diào)變化到3，且由此得dx3 1 du 2 u 132( 3 1)。u0 (x 2)dx ；2 x2 2x 2為含復(fù)合函數(shù)的積分，被積函數(shù)為真有理分式，分母為二次無零點的多項式，且分子0 (x 2)dx22 x2 2

16、x 212 02(2x 2) 22x2 2x 2dx0 2x 22 x2 2x 21 dx2 2 x2 2x 2dx02x2 12x 2d(x2 2x 2)02(x 11)2 1d(x 1)1ln(x 2x 2) 2 arctan(x 1) 22(ln 2 ln 2) arctan1 arctan( 1) 2()。4422 dxdx ；0 x 1 (x 1)3應(yīng)該應(yīng)用第二類換元被積函數(shù)中含根號，可見根指數(shù)與根號內(nèi)多項式的次數(shù)不相等，令 x 1 u ， 當 x從 0單調(diào)變化到2時， u 從 1 單調(diào)變化到3 ， 且由此得x u2 1 ，dx 2udu ，x 1 (x 1)313uu2 dx0 x

17、 1 (x 1)313uu312udu 2du1 1 u232arctanu 12(arctan 3 arctan1) 2()2 cosx cos3 xdx；2cosx cos3 xcosx(1 cos2 x)cosxsin2 xcosx sinx ，30323所以 2 cosxcos xdx cosx cos xdx cosxdx ( cosx)dx 2sin x cosx cos xdx02 cosx sin xdxcosx( sin x)dx2cosxdcosx 02cosxd cosx- 萊布尼茲公式30 cos2x 2cos 2 x 2 cosx12 cosx cos xdx(cos

18、 x) 2 d cosx02 (cosx)2d cosx2 (cosx)3202(cosx)3223224(1 0)(0 1)。333令 cosx u ，當x從單調(diào)變化到0 時， u 從 0 單調(diào)變化到1，當x從 0 單時， u 從 1 單調(diào)變化到20，且由此得sin xdx du ，于是2 cosx cos3 xdxcosx( sinx)dx 2 cosx sin xdx01 uduudu111110u2du 0u2du2 u 323du2 u3232233所以1 cos 2xdx 200cosx dx 2 02cosx dx cosx dx21 cos2xdx。02202sin x 22(

19、sin 0) (sin sin )21 ( 1) 2 2。222利用函數(shù)的奇偶性計算下列定積分：x4 sin xdx ；【解】由于函數(shù)yx4 sin x是奇函數(shù)，即知x4 sin xdx 0 。 xarcsinx121 x2y x arcsin x是偶函數(shù)，所以1 x2 4cos4 d ；2f( ) 4cos4 是偶函數(shù)，且有4cos44(1 cos2 )2 1 2cos 2cos2 21 2cos 21 cos42231 2cos 2 cos4224431即得2 4cos d 2 2 4cos d 2 2 ( 2cos 2 cos4 )d200221sin2 sin4 )8312 (0) (

20、sin 0) (sin 20)228122211 x2 dx；y (arcsinx)2 是偶函數(shù)，所以1 x2122 (arcsinx)21dx21 x2122 (arcsin x)1 x2122dx 2 2 (arcsin x) d arcsin x2(arcsin x)13 TOC o 1-5 h z 121323 02(arcsin )0( )。dx。0323 63243證明：12 xarcsinx1 x2dt1 t21xarcsinxdx 2 201 x22 1 x2 arcsin x2 1dx 2 02 arcsin xd 1 x2x2 d arcsinx11 arcsin 012

21、dx 2 30202 11x dt21 1 t2x 0) 。t 從x 單調(diào)變化到1 時，u 從 1 單調(diào)變化到1，x4證明：1 且有1 t2證畢。1 (1)2udt 1x1 t2sinn xdx 2 20 sinnxdx其中，對于sinu2 112x1 ux111 1 t2sinn xdx。dt12 du udt ，21 du u1112 x1 u2 sin xdx sin xdx，xdx，作如下的處理：作變換 x u ，當x從單調(diào)變化到時，2du 1x1u2 duu 從 單調(diào)變化到0，dx du ，且有 sinn x sinn( u) sinn un0nsin xdx sin udu0sin

22、n xdxsinn xdx 2 2 sinn xdx。證畢。 sinn udu02 sinn xdx，nsi5設(shè)f (t) 為連續(xù)函數(shù)，證明：x當 f (t)是偶函數(shù)時，(x) f (t)dt為奇函數(shù)；【證明】當f (t)是偶函數(shù)時，有f ( t) f(t) ，xxx使得 ( x) 0 f(t)dt t u 0 f ( u)d( u) 0 f (u)du (x)， x可知此時(x) f (t)dt為奇函數(shù)，證畢。x當 f (t)是奇函數(shù)時，(x) f (t)dt為偶函數(shù)?！咀C明】當f (t)是奇函數(shù)時，有f ( t) f (t)，xxx使得 ( x) 0 f (t)dt t u 0 f ( u

23、)d ( u) 0 f (u)du (x) ， x可知此時(x) f (t)dt為偶函數(shù)，證畢。6設(shè)f (x) 是以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：對任意的常數(shù)a ，有aTTa f(x)dx 0 f (x)dx?！咀C明】題設(shè)f (x) 是以 T 為周期的連續(xù)函數(shù)，可知成立f (x T) f (x)，aT0TaT由于f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dxaa0TaTaT0 f (x)dx 0 f(x)dx T f (x)dxaT其中，對于f (x) dx，作如下的處理：令 x u T ，當 x 從 T 單調(diào)變化到a T 時， u 從 0 單調(diào)變化到a ，aTa使得f (x)

24、dx x u T f (u T)d(u T)aaf (u)du f(x)dx，00aTaTaT于是有f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx，證畢。7計算下列定積分：1 xe xdx；0【解】被積函數(shù)屬分部積分第一類，應(yīng)選e x 為先積分部份，xe xdxxd( e x) xex11x10 ( e )dx e1x0 0e dx可得1ee11 e (ee ) 1 2e 。符號求導積分1xxxxe xdx ( xe e )010( 1e 1e 1) ( 0e0e0 ) 1 2e 1。exln xdx；x 為先積分部份，ee1xln xdx ln xd212x

25、x ln x2e1 2x dln x1212(e ln e 0) 2e1x122112dx ee1xdx121212ex241212122e 4(e 1) 4(e 1)。1 x arctan xdx； 0 x 為先積分部份，1xarctanxdx 01 1 x2d arctan x 021 arctan1211 21x 021 x2dx81(1201 x2)dx1(x arctan x)82442 xsin2xdx；01 xcos2x212 ( cos2x) dx 02sin 2x為先積分部份，2212 xsin2xdx 2 xd( cos2x)002 TOC o 1-5 h z 112( c

26、os 0)2 cos22202xdx ( 1) 1 sin2x44 TOC o 1-5 h z (sin 0)。444符號求導積分xsin 2x11cos2x210sin2x41( cos 2210) (sin sin 0)211xsin 2xdx ( xcos2x sin2x)1(0 0)411 為先積分部份，4lnx1 xdx14lnxd2 x 2 xlnx14142 xdlnx2 xln2 x 1 dx 2 xln x 1x4121 xdx2 x ln x 144 x 142 x(ln x 2)2 4(ln 4 2)1(ln1 2) 4ln 4 1 4(2ln 2 1)。2 dx；sin

27、 x112 為先積分部份，sin xx3 ( cot x)dx42 dx 3 xd( cot x) xcotxsin x 4xcotxxcotx3 cosx3 dx xcotx4 sinxlnsinx( cot ln33(1421 ln 2(24符號可得x 3x24 sin x02 e2x cosxdx；3 1 dsinx4 sinx( xcotx ln sinx)sin ) ( cot ln344sin ) 4(41(ln33ln 2求導3ln 。2積分1sin2 xcotxln sinxdx ( xcotxln sinx)( cot ln33(133sin ) ( cotln344sin

28、) 4ln 34) ( ln(14) ln33(1412ln3。22xe 與 cosx均可選為先積分部份，e2x為先積分部份，log2 xdx；2 e2xcosxdx 2cosxd1e2x1e2xcosx022102(e cos e cos0) 22202 1 2x2 e dcosx021 2xe sin xdx21 (0 1)2 1 sin xd 1 e2x202211 2x 22 1 2xe sin x 022 e d sin x2 400411 (e sine0 sin 0) 1 2 e2x cos xdx2 42401e 1即得02e cosxdx 244 02 e cosxdx，移項

29、，整理得2x102 e cos xdx (e 2) 。cosx為先積分部份，2 e2x cosxdx 02 2x2x2e dsinx e sinx0022 sin xde2x2(e sin 2 0)022exsinxdx e02 2e xd( cosx)2x2xe 2e ( cosx) 0202 ( cosx)d2e e2e2x cosx 022 4e2x cosxdxe 2(e cose0 cos 0) 4 02 e2x cos xdx2 2x2 2x2 e cos xdx e 2 4 2 e cosxdx，002x12 e cos xdx (e 2) 。05x 為先積分部份，2212xlo

30、g 2 xdx log 2 xd x122x log 2 x 121 21 2x dlog2x TOC o 1-5 h z 121 212(4log22 0)1 21x2112dx 2xdxxln 22ln 2 1211 x2 1221(4 1) 232ln 2 21 4ln 24ln 222 xcos xdx；2 xcos2 xdx2 x001 cos2xdx 1222(x xcos2x)dx112(x222200 xcos2xdx)212xcos2xdx202其中，積分xcos2xdx中的被積函數(shù)屬分部積分第一類，套用分部積分公式，選cos2x為先積分部份，得22112xcos2xdx x

31、d sin 2x xsin 2x 00021sin 2xdx 02從而得e sin(ln x)dx；1sin 40 cos2x42100 0 (cos4 cos0)41(1 1) 0，42212212xcos xdxx cos 2xdx0。0202udv的結(jié)構(gòu)，直接套用分部積分公式得eeesin(ln x)dx x sin(ln x) 1 xd sin(ln x)e1esin(ln e) 0 x cos(ln x) dx1xeesin1 cos(ln x)dxeeesin1 x cos(ln x) 1 xd cos(ln x)e1esin1 ecos(ln e) cos(ln1) x sin(ln x) dx1xeesin1 ecos1 1 sin(ln x)dx即得移項、整理得eesin(ln x)dx e(sin1 cos1) 1 sin(ln x)dx，e1sin(ln x)dx e(sin1 cos1) 1。e1 ln xdx ；e TOC o 1-5 h z e1e1e1 ln x dx 1 ln x dx ln x dx 1 ( ln x)dx ln xdxeee1e1 ln xdx ln xdxe1eexln x 11 xd ln