三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均數(shù)教案

1、三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均數(shù)-教案1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均數(shù)一、教學(xué)目標(biāo).探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的證明過程.會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（?。?值.會(huì)建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實(shí)際生 活中的最值問題.二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)會(huì)用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（?。┲?四、教學(xué)難點(diǎn)會(huì)建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實(shí)際生活中 的最值問題.五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課已知 x0, y0,證明：（1 + x + y2）（1 + x2 + y） 9xy.【證明】 因?yàn)閤0, y0,所以1 + x + y23/Xy20,1 +x2 + y 3 /x2y05故(1+x +

2、 y2)(1 +x2+y) 3 x/Xy - 3fx2y = 9xy.(二)講授新課教材整理1三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式.如果 a, b , c R+ ,那么 a3 + b3 + c3 3abc,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.a+ b-P c2.定理3:如果a, b, cWR+,那么a ； c3Rabc,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立.即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均 它們的幾何平 均.教材整理2基本不等式的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)al, a2,，an,它們的算術(shù)平均.M a a tal + a2+ + ann /1匕們的幾何平均，即A/a1a2- an,當(dāng)n且僅當(dāng)a1 = a2 =an時(shí),等號(hào)成立.教材整理3利用基本不等式

3、求最值 若a, b, c均為正數(shù)，如果a+b+ c是定值S,那么 時(shí)，積abc有 值；如果積abc是定值P,那么當(dāng)a= b=c時(shí)，和 有最小值.(三)重難點(diǎn)精講 題型一、證明簡(jiǎn)單的不等式例1設(shè)a, b, c為正數(shù)，求證：-l+A+A (a abc2 + b+ c)227.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用 a+ b+ c3 /abc,結(jié)合不等式的性質(zhì)證明.【自主解答】a)。，b0, c0,a+ b+ c3 /abc05從而(a+ b+c)29 1a2b2c2 0.又工+ :abca+c2(a+b+c) 9 3/a2b2c2 = 27,a b c當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c時(shí)，等號(hào)成立.規(guī)律總結(jié)：.

4、(1)在應(yīng)用平均不等式時(shí)，一定要注意是否 滿足條件，即a0, b0.(2)若問題中一端出現(xiàn)“和式”而另一端出現(xiàn) “積式”，這便是應(yīng)用基本不等式的“題眼”，不 妨運(yùn)用平均不等式試試看.連續(xù)多次運(yùn)用平均不等式定理時(shí)，要特別注 意前后等號(hào)成立的條件是否一致.再練一題1 .設(shè)a, b, c為正數(shù)，求證:工十1 十三(a+b+c)3n81.a b c /【證明】 因?yàn)閍, b, c為正數(shù), 一 1所以有十 a1 b31 _-3 = C3abc0.又(a+ b+c)3(31abc)3 = 27abc0,1+ 33+3 (a+ b+ c)381 abc/當(dāng)且僅當(dāng)a=b= c時(shí)，等號(hào)成立.題型二、用平均不等式

5、求解實(shí)際問題例2如圖所示，在一張半徑是 2米的圓桌的正 中央上空掛一盞電燈.大家知道，燈掛得太高了， 桌子邊緣處的亮度就小；掛得太低，桌子的邊緣處 仍然是不亮的.由物理學(xué)知識(shí)，桌子邊緣一點(diǎn)處的 照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角 0的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到光源的距離 r的平 方成反比，即E= ksinJ.這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度r有關(guān)的常數(shù).那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h,才能使桌子邊緣處最亮？【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題設(shè)條件建立r與e的關(guān)系式，將它代入E= ksin/,得到以e為自變量, E為因變量的函數(shù)關(guān)系式，再用平均不等式求函數(shù)的 最值.【目主解答】2 r =cos二 E= k ,si

6、n 0 cos2 64兀0 e 5.k2162e)cos2 0 , cos2 0k2= 32(2sin 32k2 2sin 2 8 + cos2 8 +cos2 8 3k210% X3 33, TOC o 1-5 h z 2.21當(dāng)且僅當(dāng)3r2=1時(shí)，即r = ?時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)h=?. 32故要使用料成本最低，圓柱形桶的底面半徑應(yīng)3.9，yw 9 ,，y的取大值為 9 .9為米，高為個(gè)米.32當(dāng)且僅當(dāng)2x2=1x：3即x=+時(shí)等號(hào)成立. 3題型三、利用平均不等式求最值例3已知xW R+,求函數(shù)y = x(1 x2)的最大 值.【精彩點(diǎn)撥】為使數(shù)的“和”為定值，可以先平方，即 y2=x2(1

7、x2)2 = x2(1 x2)(1 -x2) =2x2(1 x2)(1 x2) x 25求出最值后再開方.【自主解答】vy=x(1 -x2),-y2 = x2(1 -x2)2= 2x2(1 x2)(1 -x2) - 2./2x2+(1 -x2) + (1 -x2) =2,2 1 2x2+ 1 -x2+ 1 x234= 27.規(guī)律總結(jié)：.解答本題時(shí)，有的同學(xué)會(huì)做出如下拼湊：一 219y = x(1 x) = x(1 x)(1 + x) = 2 , x(2 2x) , (1 + x) w g1 x+2-2x+1+x1雖然其中的拼湊過程保證了三個(gè)數(shù)的和為定值，但忽略了取“=”號(hào)的條件，顯然 x=2-

8、2x=1+ x無解，即無法取“=”號(hào)，也就是說，這種拼湊法是不正確的.解決此類問題時(shí)，要注意多積累一些拼湊方 法的題型及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也要注意算術(shù)-幾何平均 不等式的使用條件，三個(gè)缺一不可.再練一題3.若2ab0,試求a +4，一不一二;的最小值.2ab b4a +2ab b2ab+ b2+42ab b2a b b=2+2+42a- b b332a b42a-b b=3，當(dāng)且僅當(dāng)2ab b2 = 2=42ab b即a= b= 2時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)a=b= 2時(shí)，a+42a-bb有最小值為3.（四）歸納小結(jié)一平均不等式的理解平均不等式一一制用平均不等式求最值一利用平均不等式證明（五）隨堂檢測(cè)1.已

9、知x + 2y + 3z=6,則2x+4y+8z的最小值為（）A . 3 3/6B2、/2C. 12D. 123/5【解析】Vx + 2y+3z=65 2x + 4y+8z=2x+ 22y + 23z3 32、 22y 23z = 33/2x+2y+3z = 12. TOC o 1-5 h z c 。2當(dāng)且僅當(dāng) 2x=22y=23z,即 x=2, y=1, z = 23時(shí)，等號(hào)成立.【答案】C_I，1.右 ab0,貝U a+ 一的取小值為b abA. 0 B . 1 C . 2 D.3【解析】.a+b1 a b=(a b) + b +1 b ab1 b b a b，1, 一且僅當(dāng)a=2, b=1時(shí)取等號(hào)，二a十丁字的最小值為3.故選D.【答案】 D.函數(shù)y = 4sin 2x , cos x的最大值為【解析】. y2=16sin2 x , sin 2x , cos2x= 8(sin 2x sin 2x 2cos2x)sin 2x+sin 2x + 2cos2x 3手38 64= 8X 27=27?，y2W6427當(dāng)且僅當(dāng) sin 2x= 2cos2x,