概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)

1、第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)主要部分.在科學(xué)研究, 日常工作甚至生活中經(jīng)常對(duì)某一件事情提出疑問. 解決疑問的過程往往是先做一個(gè)和疑問相關(guān)的假設(shè), 然后在這個(gè)假設(shè)下去尋找有關(guān)的證據(jù).如果得到的證據(jù)是和假設(shè)相矛盾的, 就要否定這個(gè)假設(shè).8.1 假設(shè)檢驗(yàn)的概念 當(dāng)總體分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況，為推斷總體的性質(zhì)，提出某些關(guān)于總體的假設(shè)。 為判斷所作的假設(shè)是否正確, 從總體中抽取樣本, 根據(jù)樣本的取值, 按一定的原則進(jìn)行檢驗(yàn)。 何為假設(shè)檢驗(yàn)?最后, 作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定. 其理論背景為實(shí)際推斷原理，即“小概率原理”,其想法和前面的最大似然類似：如果實(shí)際觀測(cè)到

2、的數(shù)據(jù)在某假設(shè)下不太可能出現(xiàn), 則認(rèn)為該假設(shè)錯(cuò)誤。我們主要討論的假設(shè)檢驗(yàn)的內(nèi)容有參數(shù)檢驗(yàn)非參數(shù)檢驗(yàn): 總體均值、均值差的檢驗(yàn)總體方差、方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的理論依據(jù)例1: 一條新建的南北交通干線全長(zhǎng)10公里.公路穿過一個(gè)隧道(長(zhǎng)度忽略不計(jì)),隧道南面3.5公里, 北面6.5公里. 在剛剛通車的一個(gè)月中, 隧道南發(fā)生了3起交通事故, 而隧道北沒有發(fā)生交通事故,能否認(rèn)為隧道南的路面更容易發(fā)生交通事故?分析: p表示一起交通事故發(fā)生在隧道南的概率.p=0.35表示隧道南北的路面發(fā)生交通事故的可能性相同.p0.35表示隧道南的路面發(fā)生交通事故的概率比隧道北的路面發(fā)生交通事故的概率大. H0

3、: p=0.35. 再作一個(gè)備擇假設(shè) H1: p 0.35.在本問題中,如果判定H0不對(duì),就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)H1.-為了作出正確的判斷, 先作一個(gè)原假設(shè)檢驗(yàn): 三起交通事故的發(fā)生是相互獨(dú)立的。 如果H0為真, 則每一起事故發(fā)生在隧道南的概率都是0.35, 于是這三起交通事故都發(fā)生在隧道南的概率是 P= 0.353 0.043.這是一個(gè)很小的概率, 一般不容易發(fā)生. 所以我們否定H0, 認(rèn)為隧道南的路面發(fā)生交通事故的概率比隧道北大. 因?yàn)楫?dāng)隧道南北的路面發(fā)生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出現(xiàn)在隧道南時(shí), 我們才犯錯(cuò)誤。犯錯(cuò)誤的概率正是P=0.043. 于是, 我們判斷正確的概率是1-0.043

4、=95.7%做出以上結(jié)論也有可能犯錯(cuò)誤。(1) 根據(jù)問題的背景, 提出原假設(shè) H0: p=0.35, 及其備擇假設(shè) H1: p0.35.(2) 在H0 成立的假設(shè)下, 計(jì)算觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率P. 如果P很小(一般用0.05衡量), 就應(yīng)當(dāng)否定H0, 承認(rèn) H1; 假設(shè)檢驗(yàn)中的基本概念和檢驗(yàn)思想注: 為了簡(jiǎn)便, 我們把以上的原假設(shè)和備擇假設(shè)記作 H0: p=0.35 vs H1: p0.35. 其中的vs是versus的縮寫. 如果P不是很小, 也不必急于承認(rèn)H0, 這是因?yàn)樽C據(jù)往往還不夠充分. 如果繼續(xù)得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)還不能使得P降低下來, 再承認(rèn)H0不遲. 例 2: 某產(chǎn)品的出廠檢驗(yàn)規(guī)定: 次

5、品率 p 不超過4%才能出廠. 現(xiàn)從一萬件產(chǎn)品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品, 問該批產(chǎn)品能否出廠？若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品, 問能否出廠？解: 提出原假設(shè)和備擇假設(shè)在H0成立時(shí)這不是 小概率事件, 沒理由拒絕原假設(shè)。在不準(zhǔn)備繼續(xù)抽樣的情況下，作出接受原假設(shè)的決定, 即該批產(chǎn)品可以出廠.這是 小概率事件, 故可認(rèn)為原假設(shè)不成立, 即該批產(chǎn)品次品率p0.04 , 則該批產(chǎn)品不能出廠.若抽查結(jié)果發(fā)現(xiàn)1件次品, 則在H0成立時(shí)參數(shù)檢驗(yàn)的一般提法 一般來講, 設(shè)X1, X2,Xn是來自總體X的樣本, 是總體X的未知參數(shù), 但是已知 0 1, 它們是互不相交的參數(shù)集合. 對(duì)于假設(shè) H0: 0 vs H1:

6、1, 根據(jù)樣本，構(gòu)造一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T 和檢驗(yàn)法則： 若與T的取值有關(guān)的一個(gè)小概率事件W發(fā)生，則否定H0，否則接受H0，而且要求此時(shí)稱W為拒絕域，為檢驗(yàn)水平。 -否定H0 解決假設(shè)檢驗(yàn)的問題時(shí), 無論作出否定還是接受原假設(shè)H0的決定, 都有可能犯錯(cuò)誤. (1) H0為真, 統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果否定H0, 犯第一類 錯(cuò)誤, 犯該錯(cuò)誤的概率不超過。(2) H0為假, 統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)果接受H0, 犯第二類 錯(cuò)誤，我們記犯該錯(cuò)誤的概率為。我們稱否定H0時(shí)犯的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤, 接受H0時(shí)犯的錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤. 具體如下, 在正確的統(tǒng)計(jì)推斷前提下，犯錯(cuò)誤的原因總是隨機(jī)因素造成的。要有效減少犯錯(cuò)誤的概率，只好增加觀

7、測(cè)數(shù)據(jù)，或在可能的情況下提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，這相當(dāng)于降低數(shù)據(jù)的樣本方差。 在例1.1中, 如果第一起交通事故發(fā)生后, 就斷定隧道南更容易發(fā)生交通事故, 犯第一類錯(cuò)誤的概率是0.35.當(dāng)?shù)诙鸾煌ㄊ鹿拾l(fā)生后, 斷定隧道南更容易發(fā)生交通事故, 犯第一類錯(cuò)誤的概率是0.352=0.1225.如果第四起交通事故又發(fā)生在隧道南, 否定p=0.35時(shí)犯第一類錯(cuò)誤的概率是0.354=0.015.例1.：第一類錯(cuò)誤與第二類錯(cuò)誤的比較 一個(gè)有20多年教齡的教師聲稱他上課從來不“點(diǎn)名”. 如何判定他講的話是真實(shí)的? 確立原假設(shè)H0: 他沒有點(diǎn)過名, 然后再調(diào)查H0是否為真. 當(dāng)調(diào)查了他教過的3個(gè)班, 都說他沒有點(diǎn)過名

8、, 這時(shí)如果承認(rèn)H0, 犯錯(cuò)誤的概率還是較大的. 當(dāng)調(diào)查了他教過的10個(gè)班, 都說他沒有點(diǎn)過名, 這時(shí)承認(rèn)H0 犯錯(cuò)誤的概率會(huì)明顯減少。 如果調(diào)查了他教過的30個(gè)班, 都說他沒有點(diǎn)過名, 這時(shí)承認(rèn)H0犯錯(cuò)誤的概率就會(huì)很小了?？上д{(diào)查30個(gè)班是很難做到的！ 反過來, 在調(diào)查中只要有人證實(shí)這位老師點(diǎn)過名, 就可以否定H0了(不論調(diào)查了幾個(gè)班), 并且這樣做犯錯(cuò)誤的概率很小. 例1.2告訴我們, 要否定原假設(shè)H0是比較簡(jiǎn)單的, 只要觀測(cè)到了H0下小概率事件就可以。 要承認(rèn)H0就比較費(fèi)力了: 必須有足夠多的證據(jù)(樣本量), 才能夠以較大的概率保證H0的真實(shí). 一般情況下，原假設(shè)應(yīng)當(dāng)和已有的事實(shí)相悖，以

9、利于得到否定原假設(shè)的結(jié)果。假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲) 根據(jù)實(shí)際問題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1。(原假設(shè)應(yīng)當(dāng)和已有的事實(shí)相悖) 假設(shè)H0為真時(shí),選擇合適的統(tǒng)計(jì)量T, 并確定檢驗(yàn)水平為 的拒絕域。 根據(jù)樣本值計(jì)算,并作出相應(yīng)的判斷.8.2 正態(tài)均值的假設(shè)檢驗(yàn)A. 已知 時(shí)， 的正態(tài)檢驗(yàn)法例 4: 一臺(tái)方差是0.8克的自動(dòng)包裝機(jī)在流水線上包裝凈重500克的袋裝白糖. 現(xiàn)隨機(jī)抽取了9袋白糖, 測(cè)得凈重如下(單位:克)： 499.12 499.48 499.25 499.53 500.82 499.11 498.52 500.01 498.87. 能否認(rèn)為包裝機(jī)在正常工作? 分析: 9袋白糖中有7袋凈重少

10、于500克, 似乎凈重0=500不對(duì). 但是, 方差是0.8克, 也可能是由于包裝機(jī)的隨機(jī)誤差導(dǎo)致了以上的數(shù)據(jù).解： 將包裝機(jī)包裝的袋裝白糖的凈重視為總體X, 則X N ( 2)， 其中2 =0.8已知，未知. 在H0下, 用Xj表示第 j 袋白糖的凈重, 則X1,X2,X9是來自總體X的n=9個(gè)樣本. 提出假設(shè) H0: =0 vs H1: 0. 若要求對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，c應(yīng)為其上/2分位數(shù)z/2，于是拒絕域?yàn)楸纠?，如果?0.05, 則 根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)，得|z| = 1.97時(shí), 小概率事件發(fā)生了, 于是否定原假設(shè)H0. 在例4中，稱為檢驗(yàn)的顯著性水平, 簡(jiǎn)稱為顯著性水平, 檢驗(yàn)水平, 或水

11、平(level); Z稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量; |Z| z/2稱為檢驗(yàn)的拒絕域或否定域; -由于這種檢驗(yàn)方法是基于正態(tài)分布的方法, 所以又稱為正態(tài)檢驗(yàn)法或Z檢驗(yàn)法.- 拒絕域是一個(gè)事件, 它的發(fā)生與否由|Z|, 從而由觀測(cè)樣本X1,X2,.,Xn決定.- 如果事件|Z| z/2發(fā)生了, 就稱檢驗(yàn)是顯著的. 這時(shí)否定H0, 犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過。 在例4中, 如果取檢驗(yàn)水平 =0.04, 則臨界值z(mì) /2 =2.054 . 這時(shí)|z|=1.972.054, 不能否定H0. 這說明在不同的檢驗(yàn)水平下可以得到不同的檢驗(yàn)結(jié)果. 降低犯第一類錯(cuò)誤的概率, 就會(huì)使得拒絕域減小，從而拒絕H0的機(jī)會(huì)變小，接受H0

12、的機(jī)會(huì)變大。 0 0 0 0 0正態(tài) 檢驗(yàn)法 (2 已知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域 在例4中, 從實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算得到 |z|=1.97. 如果拒絕域取成 |Z| 1.97, 則剛剛能夠拒 絕H0. 這時(shí)犯第一類錯(cuò)誤的概率是 P=P(|Z|1.97)=0.0488. 我們稱P=0.0488是檢驗(yàn)的P值(P-value). B. P 值檢驗(yàn)法 P值越小, 數(shù)據(jù)提供的否定H0的證據(jù)越充分.如果檢驗(yàn)的顯著性水平是事先給定的, 當(dāng)P值小于等于, 就要否定H0.C.未知時(shí)，均值 的t 檢驗(yàn)法例 5: 在例4中如果9個(gè)袋裝白糖的樣品是從超級(jí)市場(chǎng)倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)抽樣得到的, 能否

13、認(rèn)為這批500克袋裝白糖的平均重量是500克? 標(biāo)準(zhǔn)差未知, 可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替.解: 對(duì)0=500克, 仍作假設(shè) H0: = 0 vs H1: 0.在H0下, 從 7.3節(jié)的定理3.6知道檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 說明在H0下, T在0附近取值是正常的, 如果|T|取值較大就應(yīng)當(dāng)拒絕H0. 根據(jù)分位數(shù)t/2(n-1)的性質(zhì), 有 P(|T| t/2(n-1)= .于是H0的顯著性水平為的拒絕域是 |T| t/2(n-1) 取=0.05, 查表得到t0.05/2(8)=2.306. 拒絕域?yàn)?作出以上判斷也有可能犯錯(cuò)誤, 但是犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.05.經(jīng)過計(jì)算得到 S=0.676, |T|= 2.60

14、9 2.306, 所以應(yīng)當(dāng)否定H0, 認(rèn)為500. D.未知時(shí)，均值 的單邊檢驗(yàn)法例6：在例5中, 抽查的9袋白糖的平均重量為499.412克可以引起我們的懷疑. 這批袋裝白糖的平均重量是否不足呢? 解：為了解決這個(gè)問題, 我們提出假設(shè) H0: 500 vs H1: 500 如果否定了H0, 就認(rèn)定這批袋裝白糖的份量不足. 由于在H0下, 不知道 的具體值, 所以T的分布是未知的. 但是這時(shí)有H0: 500 vs H1: 500因?yàn)?P(T -t(n-1) P( T0 -t(n-1)= , 所以可以構(gòu)造拒絕域?yàn)?T -t(n-1)當(dāng)T -t(n-1), 應(yīng)當(dāng)否定H0 在本例中, 查表得到-t0

15、.05(8)=-1.86, T=-2.609-1.86, 所以應(yīng)當(dāng)否定H0. 認(rèn)定這批袋裝白糖的分量不足。這時(shí)， 犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05. 由于這種檢驗(yàn)方法是基于t分布的方法, 所以又稱為t 檢驗(yàn)法.注意：由于 ，故原假設(shè)通常設(shè)為 500，易被拒絕，以便得出顯著性結(jié)論。 同理，對(duì)于來自總體的樣本未知時(shí)，在檢驗(yàn)水平假設(shè)這時(shí)在H0下有下，因此，所以，原假設(shè)的拒絕域?yàn)榉治隼?.1和2.3的問題背景就會(huì)看出, 在例2.1中應(yīng)當(dāng)作雙邊檢驗(yàn)因?yàn)槎嘌b和少裝白糖都是不符合生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的.在例2.3中只需要作單邊檢驗(yàn)因?yàn)槌兄恍枰来b白糖不缺斤少兩就夠了. 0 0 0 0 0T 檢驗(yàn)法 ( 2 未知)原假設(shè) H0備擇假設(shè) H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時(shí)的分布拒絕域例7: 某廠生產(chǎn)小型馬達(dá), 其說明書上寫著: 這種小型馬達(dá)在正常負(fù)載下平均消耗電流不會(huì)超過0.8 安培. 現(xiàn)隨機(jī)抽取16臺(tái)馬達(dá)試驗(yàn), 求得平均消耗電流為0.92安培, 消耗電流的標(biāo)準(zhǔn)差為0.32安培. 假設(shè)馬達(dá)所消耗的電流服從正態(tài)分布, 取顯著性水平為 = 0.05, 問根據(jù)這個(gè)樣本, 能否否定廠方的斷言?解 根據(jù)題意待檢假設(shè)可設(shè)為 H0 : 0.8 vs H1 : 0.8 未