復習參考題6（計數(shù)原理）

1、復習參考題6復習鞏固1.乘積（q+%+%）（4+匕2+）展開后，共有 項；【答案】/【解析】【分析】根據(jù)條件中所給的是多項式乘以多項式，根據(jù)多項式乘法法那么可得，要得 到式子的結(jié)果，需要在每個括號中選一個進行乘法運算，分別分析每個括號中的取 法數(shù)目，相乘得結(jié)果.【詳解】根據(jù)多項式的乘法法那么，（4 +a2 +%+包）展開后每一項都必須是在（4+。2+。）（4+4+3+仇）兩式中任取一項后相乘，得到的式子，而在（4 + 4 +4 J中有幾種取法，在色+4+勿）中有種取法，由乘法原理，可得共有：=/種情況.故原式展開后有2項，故答案為：n22.學生可從本年級開設(shè)的7門選修課中任意選擇3門，并從6種

2、課外活動小組中選 擇2種，不同的選法種數(shù)是；【答案】525【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】從7門選修課中任意選擇3門有窩種選法；從6種課外活動小組中選擇2種有第種選法.7x6x5 6x5所以不同的選法種數(shù)為3x2x1 2x1故答案為：525.排列即可；(2)先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，再將剩余的3 道工序全排列；(3)先排這2道工序，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排 列；(4)先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空【詳解】解：(1)先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有C；=4種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有禺=24種不

3、同的排法，故由分步乘法原理可 得，共有4x24 = 96種加工順序；(2)先從另外3道工序中任選2道工序放在最前和最后，有=6種不同的排法，再將剩余的3道工序全排列，有6 =6種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有6x6 = 36種加工順序；(3)先排這2道工序，有尺=2種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有=24種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有2 x 24 = 48種力工順序；(4)先排其余的3道工序，有聞=6種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空，有4 =12種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6x12 = 72種加工順序，拓廣探索19.在(1

4、+ %)3+(1 +幻4+(1 + %)2的展開式中，含2項的系數(shù)是多少？生案+6/1+11)6【解析】【分析】求出(1 + %)展開式中含X2的系數(shù)為戲,再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求和即可.【詳解】因為(1 + %)展開式的第I+ 1為所以(1 + X)3中含2項的系數(shù)是C；、(1 + %)4中含2項的系數(shù)是第，(1 +月”+2中含爐項的系數(shù)是C1.所以(1+4+(1+%)4 + (1+%)+2的展開式中含2項的系數(shù)為c； + c：+c3 = （c； + c； + c： + +c3）c； = c3 = 所以含f項的系數(shù)是伽2 +6/ 11).620.你能構(gòu)造一個實際背景，對等式。,鼠=黑仁的意義

5、作出解釋嗎？【答案】見解析【解析】【分析】等式兩邊都是組合數(shù)相乘，可以考慮分步計數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】解：實際背景：在個人中選出加個人清掃衛(wèi)生，其中k個人擦玻璃，m-k 個人拖地，問有多少選取人員的方法，利用分步計算原理：先從個人中選出加個人，然后從加個人中選出女個人擦玻 璃，剩余的人拖地，這樣有C：xC：種選法，也可以從個人中選出女個人擦玻璃，然后從剩余的-2個人中選出根-女個人拖地，這樣有C：xC；1種選法，所以鼠=：.4.3.安排6名歌手演出順序時，要求某歌手不是第一個出場，也不是最后一個出場，不同排法的種數(shù)是;【答案】480【解析】【分析】先排特殊，再排一般.【詳解】先排這名歌手

6、有C：種方法，余下5名歌手全排列為可中方法.所以不同排法的種數(shù)為C： 6=4x5x4x3x2x1=480種.故答案為：480. 5個人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的 種數(shù)是;【答案】5.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題意可得不同的分法有種，最后計算組合數(shù)計算即可.【詳解】因為5個人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，所以只有一人沒有分到票，其余4人分到1人1張票，又因為無座票，所以沒有順序，所以共有C；= 5種不同的分法.故答案為：5. 5名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，不同選擇的種數(shù)是；【答案】243【

7、解析】【分析】根據(jù)題意，分析出每位同學有3種選擇，進而由分步乘法計數(shù)原理可得答 案.【詳解】根據(jù)題意，每名同學可自由選擇聽3個講座中的任意一個，所以每位同學 有3種選擇方法，所以5名同學共有3x3x3x3x3 = 35 =243種選擇方法.故答案為：243.正十二邊形的對角線的條數(shù)是；【答案】54【解析】【分析】由任意兩點連線的條數(shù)，再排除邊數(shù)可得.【詳解】任意兩點連線的條數(shù)，再排除邊數(shù)，故正十二邊形的對角線的條數(shù)是-12 = 66-12 = 54.故答案為：54. （1 +尤）2的展開式中，系數(shù)最大的項是第 項.【答案】 + 1【解析】【分析】在（1 +尤）2的展開式中，第r+ 1項的系數(shù)與

8、第r+ 1項的二項式系數(shù)相同，再 利用二項式的性質(zhì)可得答案【詳解】解：因為在（1 +幻2”的展開式中，第廠+ 1項的系數(shù)與第r+ 1項的二項式系數(shù) 相同，而二項展開式共有2+1項，中間項的二項式系數(shù)最大，所以第+ 1項的系數(shù)最大，故答案為： + 1. 一個集合有5個元素.（1）這個集合的含有3個元素的子集有多少個？（2）這個集合的子集共有多少個？【答案】（1） 10, （2） 32【解析】【分析】根據(jù)集合子集中的元素的不重復性，可以利用組合數(shù)公式求解【詳解】解：（1）這個集合的含有3個元素的子集有C； =10個；（2）這個集合的子集包括有含有。個元素、1個元素、2個元素、3個元素、4個元素和5

9、個元素，所以這個集合的子集共有或+ C； +或+ C； + C； + C； = 25 = 32個，.C；=21,那么“=；【答案】6【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)的計算公式計算可得；【詳解】解：因為C：；=21,所以C,2=21,即（+ 1）九=21 ,即 2+ _42 = 0,解得 =6或 =一7 （舍去）故答案為：6.某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學、政 治、英語、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午， 不同排法種數(shù)是；【答案】192【解析】【分析】先排數(shù)學、體育，再排其余4節(jié)，利用乘法原理，即可得到結(jié)論.【詳解】解：由題意

10、，要求數(shù)學課排在上午，體育課排在下午，有，=8種再排其余4節(jié)，有A： =24種，根據(jù)乘法原理，共有8? 24 192種方法，故答案為：192.某人設(shè)計的電腦開機密碼由2個英文字母后接4個數(shù)字組成，且2個英文字母 不相同，該密碼可能的個數(shù)是;【答案】6500000【解析】【分析】首先確定2個英文字母的排列方法，接著確定4個數(shù)字的排列方法，最后 根據(jù)分步乘法原理計算結(jié)果即可.【詳解】首先確定2個英文字母，因為2個英文字母不相同，所以有26x25 = 650 種排列方法，接著確定4個數(shù)字的排列方法，因為可以數(shù)字可以相同，所以有104 =10000,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：該密碼可能的個數(shù)為：650

11、x10000 = 6500000.故答案為：6500000.以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是；【答案】58【解析】【分析】從8個頂點中選4個，排除6個外表有6個四點共面情況，6個對角面有6 個四點共面情況.【詳解】首先從8個頂點中選4個，共有仁=70種結(jié)果，其中，有四點共面的情況，6個外表有6個四點共面情況，6個對角面有6個四點共面情況，所以以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是70-6-6 = 58.故答案為：58.在的展開式中，各項系數(shù)的和是.【答案】（-1）【解析】【分析】根據(jù)賦值法，令 = 1即得結(jié)果.【詳解】令% = 1,那么（1-2x）=（l-2xl）=（-1）,即二項式的展開式

12、中各項系數(shù)的和是 故答案為：. （1）平面內(nèi)有條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，共有多少個交點?（2）空間有個平面，其中沒有兩個互相平行，也沒有三個交于一條直線，共有多少條交線?【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）由題意可知：1條直線，。個交點，2條直線，1個交點，3條直線,1 + 2個交點，4條直線，1 + 2 + 3條交點，從而可得到規(guī)律，進而可得答案;（2）類比（1）中的方法得出答案【詳解】解：（1）因為1條直線，。個交點，2條直線，1個交點，3條直線，1 + 2個交點，4條直線，1 + 2 + 3個交點，5條直線，1 + 2 + 3 + 4條交點,所以條直線有1 + 2

13、 + 3 + 5-1)個交點,即假設(shè)個交點；(2)因為1個平面，。條交線，2個平面，1條交線，3個平面，1 + 2條交線，4個平面，1 + 2 + 3條交線，5個平面，1 + 2 + 3 + 4條交線，所以個平面有1 + 2 + 3 + (-1)條交線，即呷條交線；綜合運用. (1)求(1-2/(1+3口4的展開式中按x的升幕排列的第3項;(2)求 9x +(2)求 9x +的展開式的常數(shù)項;(3)(1 + ) 的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù) 列,求；(4)求(1 + x + %2卜1 %)1的展開式中/的系數(shù)；(5)求(2+x+y)5的展開式中5y2的系數(shù).【答案】

14、(1) -26x2;(2) /；(3) = 14或 23； (4) 135； (5) 30.【解析】【分析】(1) (1-2x)5(l + 3x)4的展開式中按X的升幕排列的第3項，即展開式中含(2)求出其通項公式，令的指數(shù)為。即可求解.(3)利用二項展開式的通項公式求出通項求出各項的二項式系數(shù)，利用等差數(shù)列 的定義列出方程解得.(4)先將多項式展開，轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)的和差，利用二項展開式的通項公式求 出系數(shù)即可.5 廠15(5) (x2+x+y) =(x2 + x) + jj ,兩次利用通項公式求解即可.【詳解】(1)(1-2x)5(l + 3x)4的展開式中按x的升幕排列的第3項，即展開式

15、中(3葉 + C2(2%)2 + c .(_2力.(3“ = -26x2.囚+(右)-展開式的通項公式為：3令18-5r=0可得：r = 12 ;故9% + (在)F展開式的常數(shù)項為：3T2.96。；.(3)展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)分別為，,nnn=19!(- 9)! 8!(n-8)! 10!(n-10)!nnn=19!(- 9)! 8!(n-8)! 10!(n-10)!211=19(一9) (一8)(九一9) 10 x9化簡得90 + (-9)(-8) = 2xl0(一8),BP： 2一37幾 + 322 = 0,解得幾=14或23./ (1 + x + )(1 - %

16、)10 = (1 - )10 + x(l - %)10 4- x2(1 - %)10 , .(1 +工+3(17)1。展開式中含/的系數(shù)為：(i 爐。的含/的系數(shù)加上其含/的系數(shù)加上其含/項的系數(shù)，(1-弁展開式的通項為&產(chǎn)C(r),令廠=4, 3, 2分別得展開式含/，/項的系數(shù)為0c；。，故(1 +工+/)(1一4展開式中含/的系數(shù)為：0+品=135,Q(x2 +x += (J + x)+y設(shè)其展開式的通項公式為Tr+i = C；(x2 + x)5-r-yr,0r5,rN,令r=2,得(V +3 的的通項公式為 (犬2)3一”. 丁 = qx6T,a&m43,meN ,再6-根=5,得m

17、= 1,. (x2 + x+y)5 的展開式中，X5/ 的系數(shù)為 Cj G = 10X3 = 30 .即(2+%+y)5的展開式中，5 y2的系數(shù)為30.用二項式定理證明5555 +9能被8整除.(提示：5555 +9 = (56-1)55 +9.)【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)5555 +9 = (56-1)55 +9,按照二項式定理展開，化簡后，根據(jù)展開式的 各式都含有因數(shù)8可得它能被8整除.【詳解】證明：5555 +9 = (56-1產(chǎn)+9=C 5655 +C*55654(-1) +Cj5653(-1)2 + -+Cg56l(-1)54 + Cg(-1)55 +9=565 C4565

18、4 + + C；56 + 8 能被 8 整除.所以5555 +9能被8整除. (1)平面內(nèi)有兩組平行線，一組有機條，另一組有條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成多少個平行四邊形？(2)空間有三組平行平面，第一組有加個，第二組有九個，第三組有/個，不同 兩組的平面都相交，且交線不都平行，可以構(gòu)成多少個平行六面體？【答案】(1)； (2) C：C ；【解析】【分析】(1)首先分析平行四邊形是由兩組平行對邊構(gòu)成的，接著結(jié)合分步計數(shù)原 理求解即可；(2)首先分析平行六面體是由3組平行對面構(gòu)成的，接著結(jié)合分步計數(shù)原理求解即可；【詳解】(1)由題意可知：平面內(nèi)有兩組平行線，一組有機條，另一組有條，要構(gòu)成平行四邊形，需要有兩組對邊分別平行，故從第一組2條平行線中任選2條，作為平行四邊形的一組對邊，共有墨種不同的取法，再從第二組條條平行線中任選2條，作為平行四邊形的另一組對邊，共有第種不同的取法，那么可以構(gòu)成墨盤個平行四邊形.(2)由題意可知：空間有三組平行平面，第一組有旭個，第二組有個，第三組有/個，要構(gòu)成平行六面體，需要有3組對面分別平行，故從第一組加個平行平面中任選2個，作為平行六面體的一組對面，共有叱種不同的取法，再從第二組八個平行平面中任選