一階電路的全響應(yīng)定義和作用

1、一階電路的全響應(yīng)定義和作用全響應(yīng)：由儲能元件的初始儲能和獨(dú)立電源共同引起的響應(yīng)。下面討論RC串聯(lián)電路在直流電壓源作用下的全響應(yīng)。已知：uC(0-)=U0。 t=0時(shí)開關(guān)閉合。 為了求得電容電壓的全響應(yīng)，以uC(t)為變量，列出電路的微分方程iCRt=0 +Us - +uC(0-)=U0 -其解為 代入初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得 求得 則：也就是說電路的完全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。這是線性動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)基本性質(zhì)，是響應(yīng)可以疊加的一種體現(xiàn)。 上式可改寫為tuC(t)U0USUSU0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUSr(0+)tr(t)r(0+) r

2、()r()0電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，將電容用開路或電感用短路代替，得一個(gè)直流電阻電路，再從穩(wěn)態(tài)圖求穩(wěn)態(tài)值r()。3，時(shí)間常數(shù) 的計(jì)算(開關(guān)已動(dòng)作)先計(jì)算與電容或電感連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻Ro，然后用公式 =RoC 或 =L/Ro計(jì)算出時(shí)間常數(shù)。4，將r(0+),r()和 代入三要素公式得到響應(yīng)的一般表達(dá)式。 注意點(diǎn)：三要素公式可以計(jì)算全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)分量和零狀態(tài)響應(yīng)。但千萬不要認(rèn)為就推廣到一般，得出結(jié)論，所有的響應(yīng)應(yīng)該是：如求全響應(yīng) 。 +RC + +R + 圖外激勵(lì)引起內(nèi)激勵(lì)引起從另一個(gè)角度說：只有 電容電壓 和 電感電流 ，只要知道全響應(yīng)表達(dá)式，就可以把它分成零輸入響應(yīng)(分量)和零狀態(tài)響

3、應(yīng)(分量) 。否則，在僅知道全響應(yīng)的表達(dá)式時(shí)，無法將零輸入響應(yīng)(分量)和零狀態(tài)響應(yīng)(分量) 分開。非要知道電路，畫出零輸入的 圖或零狀態(tài)的 圖，求出零輸入響應(yīng)或零狀態(tài)響應(yīng)來才行。例16 電路原處于穩(wěn)定狀態(tài)。求 t 0 的uC(t)和i(t)，并畫波形圖。 解：1，計(jì)算初始值uC(0+)、i(0+)開關(guān)閉合前，電路已穩(wěn)定，電容相當(dāng)于開路，電流源電流全部流入4電阻中，uC+-0.1F442i10V+-2At=0由于開關(guān)轉(zhuǎn)換時(shí)，電容電流有界，電容電壓不能躍變，故 畫0+圖如右8V+-442i(0+)10V+-2A2，計(jì)算穩(wěn)態(tài)值uC()、i() 10VuC ()+-442i()+-2A換路后，經(jīng)一段時(shí)

4、間，重新達(dá)到穩(wěn)定，電容開路，終值圖如右，運(yùn)用疊加定理得3，計(jì)算時(shí)間常數(shù)計(jì)算與電容相連接的電阻單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻，它是三個(gè)電阻的并聯(lián) 時(shí)間常數(shù)為 10Vi(t)uC+-442+-2A 4，將初始值、終值及時(shí)間常數(shù)代入三要素公式，得到響應(yīng)表達(dá)式： 下面看響應(yīng)過程波形ti(t)1.5 15/3uC(t)t8 70例17 求u(t)和i(t)。已知： uC-40.01F4+2Ai+ 2i -+ u -t=0解：1，計(jì)算初始值uC(0+)、i(0+)零狀態(tài)電路，由換路定則得：畫0+圖如右,用節(jié)點(diǎn)法442Ai(0+)+ 2i (0+) -+ u (0+) -ab解得：則：2，計(jì)算穩(wěn)態(tài)值u()、i() t

5、，電路重新達(dá)到穩(wěn)定，電容開路，終值圖如右，得：442Ai( )+ 2i ( ) -+ u ( ) -時(shí)間常數(shù)為代入三要素公式得： 3，計(jì)算時(shí)間常數(shù)電容相連接的電阻網(wǎng)絡(luò)如右圖，用加壓求流法得： 44i+ 2i -Req例18 求u(t)。已知： 解：電路可分成兩部分分別求響應(yīng)，然后迭加。uC-1 0.5F2+1A+ u -t=01HiL2+u(t)_RC部分：uC-1 0.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+uC+- 0.5F21A所以RL部分：uC-1 0.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+所以uL+-1H21A例19 開關(guān)在a時(shí)電路已穩(wěn)定。t=0倒向b,t=R1C倒向c，求

6、t0的iC(t)并畫波形 解：t0 L1 L2+US-R1iL1iL2R2t=0解：（1）求初始值：換路前，電路已穩(wěn)定：換路后，全電感割集，磁鏈?zhǔn)睾?（2）求穩(wěn)態(tài)值：（3）求時(shí)間常數(shù)：（4）代入三要素公式例23 圖示RC分壓器電路原已穩(wěn)定。試求t0時(shí)uC2(t). R1R2C1C2t=0+US-+uC2(t)-+ uC1(t) -a解：將圖中的電壓源置零后，電容C1 和C2并聯(lián)等效于一個(gè)電容，說明該電路是一階電路，三要素法仍適用。為使uC2(t)無過度過程，C1取何值？（1）求時(shí)間常數(shù)：換路后，電源置零得下圖。其時(shí)間常數(shù)為 R1/R2C1+C2（2）求初始值：在tR2C2R1C1=R2C2R1

7、C1R2C2t0（5） 由上式看出，輸出電壓的穩(wěn)態(tài)分量由兩個(gè)電阻的比值確定，其暫態(tài)分量還與兩個(gè)電容的比值有關(guān)。改變電容C1可得到三種情況，當(dāng)R1C1=R2C2時(shí)，暫態(tài)分量為零，輸出電壓馬上達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，這種情況稱為完全補(bǔ)償；當(dāng)R1C1R2C2時(shí)，暫態(tài)分量不為零，輸出電壓要經(jīng)過一段時(shí)間才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，前者稱為欠補(bǔ)償，后者稱為過補(bǔ)償，這三種情況的波形如圖所示。這就是在很多高頻測量儀器的輸入RC分壓電路(例如示波器的探頭) 中設(shè)置一個(gè)微調(diào)電容器的原因，用戶可以調(diào)節(jié)這個(gè)電容器來改變時(shí)間常數(shù)，令R1C1=R2C2，從而得到?jīng)]有失真的輸出波形。 例24 求t0時(shí)的uC1(t), uC2(t)和i (t)，畫出

8、它們的波形。已知uC1(0-)=10V， uC2(0-)=0V 。 t=03FC12FC2+uC 1(t) - +uC 2(t) -i(t)R=10解：含全電容割集，兩個(gè)電容可等效為一個(gè)獨(dú)立電容。是一階電路，用三要素法 （1）求時(shí)間常數(shù)t=03FC12FC2+uC 1(t) - +uC 2(t) -i(t)R=10（2）求初始值（3）求終值由KVL，得：由電荷守恒：t ，電路穩(wěn)定：聯(lián)立解得：（4）代三要素公式，得：10V 6V 1A0tuC1(t) i (t)uC2(t)波形圖：兩個(gè)電容上的6V電壓，象掉入“陷阱”一樣，永遠(yuǎn)跑不掉。58 階躍信號和階躍響應(yīng)58-1 階躍信號定義：0 t (t)

9、1延遲單位階躍信號：0 t0 t (t-t0)1階躍信號用途：1. 描述開關(guān)動(dòng)作t=0+2V-電路 +2 (t) V -電路2. 表示各種信號0 t0 tAf (t)0 1 2 t21f (t)0 /2 tAf (t)58-2 階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)s(t)：零狀態(tài)時(shí)電路在單位階躍信號激勵(lì)下的響應(yīng)。t=0 +1V -+v-t=01Ai把 (t)看作下圖開關(guān)動(dòng)作，則求解階躍響應(yīng)（零狀態(tài)）可用三要素法圖(a)RC串聯(lián)電路，初始值vC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值uC()=1，時(shí)間常數(shù)=RC。圖(b)RL并聯(lián)電路，初始值iL(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值iL()=1，時(shí)間常數(shù) = L/R?？煞謩e得到uC(t)和iL(t)

10、的階躍響應(yīng)如下。 例25 用階躍函數(shù)表示左圖所示的方波電流，再求iL ，并畫出波形。 iSiL1H LR 20 1 t2iS解法一：左圖所示的方波電流，可以用兩個(gè)階躍函數(shù)表示: iS(t) = 2(t)-2(t-1)A 由于是線性電路，根據(jù)動(dòng)態(tài)電路的疊加定理，其零狀態(tài)響應(yīng)等于2(t)和 -2(t-1)兩個(gè)階躍電源單獨(dú)作用引起零狀態(tài)響應(yīng)之和。 （1）先求單位階躍響應(yīng)s(t)(t)s(t)1H LR 2所以：（2）應(yīng)用線性及時(shí)不變性（3）疊加，2(t)-2(t-1)作用的零狀態(tài)響應(yīng)為 黃線和紫線分別表示2s(t)和-2s(t-1)。它們相加得到iL(t)波形，如紅線所示iL(t)20 1 t-2解

11、法二：將激勵(lì)看作兩次開關(guān)動(dòng)作2AiL1H LR 2t=0t=1iL(t)20 1 t第一次換路，充電第二次換路，放電。例26 求 t0時(shí)的i (t)，已知uC(0-)=2V。 0.5F+uS-2 +uC-i(t)uS2-10 1 2 t先求零輸入響應(yīng)izi (t).izi(0+)=-1A，時(shí)間常數(shù)=RC=1s。解：（1）所以：（2）求零狀態(tài)響應(yīng)iCzs (t).先求單位階躍響應(yīng)s(t).0.5F+uS-2 +uC-i(t)初始值 uC(0+)=0, iC(0+，由于uS(t)= -(t)+3(t-1)- 2(t-2), 所以，零狀態(tài)響應(yīng)為 （3）全響應(yīng)5-9 脈沖序列作用下的一階電路分析C+u

12、S-R+uC-+ uR -0 T 2T 3T 4T tuS(t)US1.當(dāng)T4 時(shí)：在0tT，電容由零狀態(tài)充電，t=T時(shí)達(dá)穩(wěn)態(tài)值US ；在Tt2T，電容由US放電，直至0。0 T 2T 3T 4T tuS(t)US0 T 2T 3T 4T tuC(t)US0 2T 4T tuR(t)US-UST微分電路：(輸出等于輸入的微分)當(dāng)(即RC 很小時(shí))2.T4 時(shí)：在0tT，電容由零狀態(tài)充電，t=T時(shí)， uC(T)尚未至穩(wěn)態(tài)值US ；在Tt2T，電容由uC(T)放電， uC(2T) 不為0。第二周期由uC(2T)開始充電。0 T 2T 3T 4T tuC(t)US若干周期后，充放電過程達(dá)穩(wěn)態(tài)。0 T

13、 2T 3T 4T tuC(t)USUAUB-UB對照式(5-55):解得：可見：積分電路：(輸出等于輸入的積分)當(dāng)T 時(shí)，(即 =RC 很大時(shí))摘 要1、線性時(shí)不變電容元件的特性曲線是通過q-v平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，該直線方程為 電容的電壓電流關(guān)系由以下微分或積分方程描述 可見，電容電壓隨時(shí)間變化時(shí)才有電容電流。若電容電壓不隨時(shí)間變化，則電容電流等于零，電容相當(dāng)于開路。因此電容是一種動(dòng)態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲能元件。儲能為電容的儲能取決于電容的電壓，與電容電流值無關(guān) 2、線性時(shí)不變電感元件的特性曲線是通過 -i 平面坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，該直線方程為 電感的電壓電流關(guān)系由以下

14、微分或積分方程描述 可見，電感電流隨時(shí)間變化時(shí)才有電感電壓。若電感電流不隨時(shí)間變化，則電感電壓等于零，電感相當(dāng)于短路。因此電感是一種動(dòng)態(tài)元件。它是一種有記憶的元件，又是一種儲能元件。儲能為 電感的儲能取決于電感的電流，與電感電壓值無關(guān) 3、 電容和電感的一個(gè)重要性質(zhì)是連續(xù)性若電容電流iC(t)在閉區(qū)間t1,t2內(nèi)有界，則電容電壓uC(t)在開區(qū)間(t1,t2) 內(nèi)是連續(xù)的。例如電容電流iC(t)在閉區(qū)間0+,0-內(nèi)有界，則有若電感電壓uL(t)在閉區(qū)間t1,t2 內(nèi)有界，則電感電流iL(t)在開區(qū)間(t1,t2) 內(nèi)是連續(xù)的。例如電感電壓uL(t)在閉區(qū)間0+,0-內(nèi)有界，則有利用電容電壓和電

15、感電流的連續(xù)性，可以確定電路中開關(guān)轉(zhuǎn)換 (稱為換路) 引起電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)等改變時(shí)，電容電壓和電感電流的初始值。初始值是求解微分方程時(shí)必須知道的數(shù)據(jù)。 4，動(dòng)態(tài)電路的完全響應(yīng)由獨(dú)立電源和儲能元件的初始狀態(tài)共同產(chǎn)生。僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)；僅由獨(dú)立電源引起的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。線性動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。5，動(dòng)態(tài)電路的電路方程是微分方程。其時(shí)域分析的基本方法是建立電路的微分方程，并利用初始條件求解。對于線性n階非齊次微分方程來說，其通解為 fh(t)是對應(yīng)齊次微分方程的通解，稱為電路的固有響應(yīng)，它與外加電源無關(guān)。fp(t)是非齊次微分方程的特解，其變化規(guī)律與激勵(lì)信號的規(guī)律相同，稱為電路的強(qiáng)制響應(yīng)。由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。對于直流激勵(lì)下的一階電路來說，其固有響應(yīng)為fh(t)=Kest.若s0時(shí), fh(t)=Kest0，fp(t)= f(t)|t= f()。此時(shí)固有響應(yīng)fh(t)稱為暫態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)制響應(yīng)fp(t)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 6，直流激勵(lì)下一階電路中任一響應(yīng)的通用表達(dá)式(三要素公式)為 只要能夠計(jì)算出某個(gè)響應(yīng)的初始值f(0+)，穩(wěn)態(tài)值f()和電路的時(shí)間常數(shù) 這三個(gè)要素，利用以上通用公式，就能得到該響應(yīng)的表達(dá)式，并畫出波形曲線。對于僅含有一個(gè)電容或一個(gè)電感的一階電路來