任意角的三角函數(shù)的教學(xué)反思

1、任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)反思一、以學(xué)生的學(xué)習(xí)為視角，可以對(duì)這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行如下反思：（1）學(xué)生對(duì)課堂提問，回答是否積極？學(xué)生能否獨(dú)立或通過合作探索出問題的結(jié)果？（2）學(xué)生處理課堂練習(xí)題情況如何？可能的原因是什么？（3）教學(xué)任務(wù)是否完成？下面我們著重分析一下提問的效果。在回答教學(xué)設(shè)計(jì)中的各項(xiàng)提問時(shí)，大多數(shù)學(xué)生存在一定困難，特別是“問題1：任意畫一個(gè)銳角，借助三角板，找出sin的近似值”和“問題5：現(xiàn)在，角的范圍擴(kuò)大了，由銳角擴(kuò)展到了0360內(nèi)的角，又?jǐn)U展到了任意角，并且在直角坐標(biāo)系中，使得角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合在這樣的環(huán)境中，你認(rèn)為，對(duì)于任意角，sin怎樣定義好呢？”對(duì)于問題

2、1，除了由于時(shí)間久而遺忘有關(guān)知識(shí)外，學(xué)生不熟悉獨(dú)立地由一個(gè)銳角，構(gòu)造直角三角形并求銳角三角函數(shù)的過程是主要原因，他們更習(xí)慣于在給定的直角三角形中解決問題。對(duì)于問題5，教師強(qiáng)調(diào)“在坐標(biāo)系下怎么樣？”后，有學(xué)生開始嘗試回答。這說(shuō)明這個(gè)問題要求的思維概括水平較高，學(xué)生僅利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，難以形成當(dāng)前研究任意角三角函數(shù)的思想方法。因此，教師必須要提供必要的腳手架。二、對(duì)任意角三角函數(shù)概念教學(xué)的啟示要建立任意角三角函數(shù)概念，角的概念先擴(kuò)大，角的表示（過程的）：正角、零角、負(fù)角，象限角，與角終邊相同的角，+k360到+2k(結(jié)構(gòu)的)，學(xué)生對(duì)角的概念的圖式重新組織，整理成弧度的形式才更適宜后面內(nèi)容

3、的學(xué)習(xí)。任意角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系是“上下位”關(guān)系，即任意角三角函數(shù)的概念是抽象度更高、包攝范圍更廣的概念。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)這個(gè)概念是以順應(yīng)為主的認(rèn)知過程，產(chǎn)生與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)不協(xié)調(diào)的方面是：首先，要建立銳角三角函數(shù)的一個(gè)等價(jià)的表示過程，即放在直角坐標(biāo)系下，用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，進(jìn)一步用終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)表示。其次，在不同象限下，角所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)的表示，符號(hào)等；第三，任意角三角函數(shù)的定義域、值域。活動(dòng)1：取一個(gè)銳角0放在坐標(biāo)系下，始邊與軸的正半軸重合，終邊在第一象限內(nèi)。讓學(xué)生觀察，進(jìn)而探索發(fā)現(xiàn)，用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算sin0, cos0, tg0.體驗(yàn)用單位圓與終邊交點(diǎn)的坐標(biāo)表示si

4、n0, cos0, tg0. 過程1，學(xué)生能內(nèi)化上面的過程，用符號(hào)運(yùn)算表示出任意的第一象限內(nèi)的角的三角函數(shù)，例如，單位圓與終邊交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y）,則. 活動(dòng)2，學(xué)生觀察終邊在其它象限下的角的三角函數(shù)的情形。主要是表示，以及三角函數(shù)值的符號(hào)的變化。過程2，學(xué)生能內(nèi)化上面的體驗(yàn)。知道不同的象限角的三角函數(shù)與其終邊與單位圓交點(diǎn)的關(guān)系，表示，以及函數(shù)值符號(hào)的變化。對(duì)象1，對(duì)上述過程進(jìn)行壓縮，歸納概括出定義，即利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，并明確確定其定義域、值域。圖式1，學(xué)生能與已有的相關(guān)知識(shí)建立起聯(lián)系。例如弧度的概念，銳角三角函數(shù)、函數(shù)的概念等等。此時(shí)學(xué)生能回答諸如“銳角三角函數(shù)與任意角三角

5、函數(shù)的區(qū)別是什么？”學(xué)生建構(gòu)概念意義的過程并非都沿著：活動(dòng)過程對(duì)象圖式的順序線性發(fā)展的，而是經(jīng)常會(huì)由對(duì)象通過解壓縮返回到過程，或者掌握一個(gè)過程的逆過程，由一個(gè)過程復(fù)合另一個(gè)過程形成新的“過程”，等等。例如，上述過程的逆過程包括：由三角函數(shù)值判斷角所在的象限；由給出的角（特殊值）求其終邊與單位圓的交點(diǎn)，等等。隨著進(jìn)一步學(xué)習(xí)，學(xué)生的任意角三角函數(shù)概念還要不斷發(fā)展，例如角與-，2-，-，+等的三角函數(shù)值的關(guān)系，此時(shí)，學(xué)生計(jì)算一個(gè)角的三角函數(shù)值的方法途徑（過程）更多，這樣學(xué)生就形成許多新的“過程”，因而在處理有關(guān)問題時(shí)就更靈活。因此，要使學(xué)生形成良好的任意角三角函數(shù)概念，就要重視對(duì)“過程”的教學(xué)和反思

6、。三、數(shù)學(xué)史的啟發(fā)數(shù)學(xué)史反映了人類探索數(shù)學(xué)規(guī)律的自然發(fā)展過程，這個(gè)過程對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)中如何預(yù)設(shè)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序，以及預(yù)測(cè)學(xué)生可能的學(xué)習(xí)困難都很有啟發(fā)。以本設(shè)計(jì)為例。陳振宣先生在2008年第10期中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版）上撰文“三角函數(shù)定義的比較研究”，提出原來(lái)教材中采用的定義方式其實(shí)是歐拉于1748年提出的，現(xiàn)教材中定義的方式是上述方法與單位圓相結(jié)合后的產(chǎn)物，所以從認(rèn)知的角度講，可能前面的方法更容易讓學(xué)生接受，當(dāng)然單位圓的方法有更多優(yōu)點(diǎn)，特別是在后面的學(xué)習(xí)中，它的作用會(huì)愈發(fā)突出。因此，在采用單位圓定義之前，可以先用坐標(biāo)系的方法作為鋪墊，這在白濤老師關(guān)于“任意角三角函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)中已有體現(xiàn)。四、對(duì)新

7、的教學(xué)設(shè)計(jì)的建議綜上，作為任意角三角函數(shù)的第一節(jié)課，我認(rèn)為中心任務(wù)應(yīng)該是讓學(xué)生建立起計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)與其終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系（過程的），并在此基礎(chǔ)上初步建立任意角三角函數(shù)概念的意義（對(duì)象的）。因?yàn)榇罅坑嘘P(guān)三角函數(shù)的運(yùn)算還要依賴后面的知識(shí)才能完成。以上述理論為基礎(chǔ)，對(duì)任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以在原設(shè)計(jì)方案基礎(chǔ)上，當(dāng)學(xué)生組織起銳角三角函數(shù)的概念，例如計(jì)算方法、定義域、值域、符號(hào)表示、有關(guān)結(jié)論（與點(diǎn)的位置的選取無(wú)關(guān)）后，首先提供“坐標(biāo)系”作為腳手架，并引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突“在坐標(biāo)系下，如何研究一個(gè)任意角的三角函數(shù)？”并以坐標(biāo)系為平臺(tái)，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認(rèn)識(shí)研究方法的變化，以及符號(hào)表示的變化）02范圍內(nèi)的角（認(rèn)識(shí)該范圍內(nèi)角的三角函數(shù)的表示方法，特別是值域的變化）不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計(jì)算一個(gè)任意角的三角函數(shù)的操作過程）。通過觀課及課后的研討，我的另一點(diǎn)體會(huì)是，教學(xué)設(shè)計(jì)既要重視“承上”，即與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，也要重視“啟下”，即從后續(xù)知識(shí)發(fā)展的角度審視教學(xué)安排。有關(guān)的例子，銳角三角函數(shù)概念教學(xué)時(shí)如果是先給一個(gè)銳角，再構(gòu)造三角形，而不