八年級(jí)因式分解難題(附答案及解析)

1、第 頁(yè)（共 31 頁(yè)） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 2017 年 05 月 21 日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2一填空題（共10小題）1已知x+y=10， xy=16，則x2y+xy2 的值為2兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（x1） （x9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：3若多項(xiàng)式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，則m 的值是4分解因式：4x2 4x 3=5利用因式分解計(jì)算：2022+202 196+982=6

2、ABC三邊a， b， c滿(mǎn)足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則ABC的形狀是7計(jì)算：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=8定義運(yùn)算a b=（ 1 a） b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論： 2（2） =3 a b=b a若a+b=0，則（a a）+（ bb）=2ab若a b=0，則a=1 或b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）9如果1+a+a2+a3=0，代數(shù)式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=10若多項(xiàng)式x2 6x b 可化為（x+a） 2 1，則 b 的值是20 小題）11已知 n 為整數(shù)，試說(shuō)明（n+7） 2（n 3） 2的

3、值一定能被20 整除12因式分解：4x2y 4xy+y13因式分解（ 1 ） a3 ab2（ x y） 2+4xy14先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2 6n+9=0，求m 和 n 的值解：m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n2 6n+9=0（m+n） 2+（ n 3） 2=0 m+n=0， n 3=0 m= 3， n=3問(wèn)題：（ 1 ）若x2+2y2 2xy+4y+4=0，求xy 的值（ 2）已知 ABC的三邊長(zhǎng)a， b， c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0，請(qǐng)問(wèn)ABC是怎樣形狀的三角形？15 如果一個(gè)正整數(shù)能表示

4、為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù) ”如4=2202，12=4222，20=6242，因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（ 1 ） 36 和 2016 這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（ 2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（其中k 取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4 的倍數(shù)嗎？為什么？（ 3）介于 1 到 200 之間的所有“和諧數(shù) ”之和為16如圖1，有若干張邊長(zhǎng)為a 的小正方形、長(zhǎng)為b 寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為 b 的大正方形的紙片1 ）如果現(xiàn)有小正方形1 張，大正方形2 張，長(zhǎng)方形3 張，請(qǐng)你將它們 TOC o 1-5 h z 拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2

5、 虛線(xiàn)框中畫(huà)出圖形）， 并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式（ 2） 已知小正方形與大正方形的面積之和為169， 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（ 3）現(xiàn)有三種紙片各8 張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），求 可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形1 所示， 用若干塊這樣的硬紙片17 （ 1） 有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2 中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：（ 2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3 所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平

6、方公式，畫(huà)出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖18已知a+b=1， ab= 1，設(shè)s1=a+b， s2=a2+b2， s3=a3+b3， ， sn=an+bn（ 1 ）計(jì)算s2；（ 2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過(guò)程：因?yàn)閍+b=1， ab= 1 ，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1s2（1）=s2+1=你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（ 3）試寫(xiě)出sn 2， sn 1， sn三者之間的關(guān)系式； TOC o 1-5 h z （ 4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s619 （ 1）利用因式

7、分解簡(jiǎn)算：9.82+0.4 9.8+0.04（ 2）分解因式：4a（ a 1） 2（1 a）20閱讀材料：若m2 2mn+2n2 8n+16=0，求m、 n 的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（ mn）2+（n4）2=0，（mn）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（ 1 ）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x y 的值（ 2）已知ABC的三邊長(zhǎng)a、 b、 c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2 6a 8b+25=0，求ABC的最大邊c的值（ 3）已知a b=4， ab+c2 6c+13=0，則a b+c=

8、21仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2 4x+m 有一個(gè)因式是（x+3） ，求另一個(gè)因式以及m的值解： 設(shè)另一個(gè)因式為（ x+n） ， 得 x2 4x+m=（ x+3）（ x+n） ， 則 x2 4x+m=x2+（ n+3）x+3n n+3= 4m=3n解得： n= 7， m= 21另一個(gè)因式為（x 7） ， m 的值為21 問(wèn)題：（ 1 ）若二次三項(xiàng)式x2 5x+6 可分解為（x 2） （ x+a） ，則 a= ；（ 2）若二次三項(xiàng)式2x2+bx 5 可分解為（2x 1） （ x+5） ，則 b= ；（ 3）仿照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x k 有一個(gè)因

9、式是（ 2x 3） ，求另一個(gè)因式以及k 的值22分解因式：（ 1 ） 2x2 x；16x2 1；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3；4+12（ x y） +9（ x y） 223已知a， b， c是三角形的三邊，且滿(mǎn)足（a+b+c） 2=3（ a2+b2+c2） ，試確定三角形的形狀24分解因式（ 1 ） 2x4 4x2y2+2y42a3 4a2b+2ab225圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（ 1 ）圖中的陰影部分的面積為；（ 2）觀察圖請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n） 2、 （ m n） 2、 mn 之間的等量關(guān)系是

10、（ 3）若x+y=7， xy=10，則（x y） 2=（ 4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示如圖，它表示了試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（ m+n） （ m+3n） =m2+4mn+3n226已知a、 b、 c 滿(mǎn)足 a b=8， ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值27 已知：一個(gè)長(zhǎng) 方體 的長(zhǎng) 、寬 、 高 分別 為正 整 數(shù)a、 b、 c， 且滿(mǎn)足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積（ x2 4x） 2 2（ x2 4x）1529閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：21+x+x（ x+1） +x（ x+1） 2 =（ 1

11、+x） 1+x+x（ x+1） =（ 1+x） 2（ 1+x）=（ 1+x） 3 TOC o 1-5 h z （ 1 ）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1） 2004，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+x（x+1）n（n 為正整數(shù)）30對(duì)于多項(xiàng)式x3 5x2+x+10，如果我們把x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式x3 5x2+x+10=0，這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式（x 2） （注：把x=a 代入多項(xiàng)式能使多項(xiàng)式的值為0，則多項(xiàng)式含有因式（x a） ） ，于是我們可以把多項(xiàng)式寫(xiě)成：x3 5x2+

12、x+10=（ x 2） （ x2+mx+n） ，（ 1 ）求式子中m 、 n 的值；（ 2）以上這種因式分解的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式x3 2x2 13x 10 的因式 TOC o 1-5 h z 2017年 05月 21 日數(shù)學(xué)（因式分解難題）2參考答案與試題解析一填空題（共10小題）（ 2016 秋 ?望謨縣期末）已知x+y=10， xy=16，則x2y+xy2的值為160 【分析】 首先提取公因式xy，進(jìn)而將已知代入求出即可【解答】解：x+y=10， xy=16， x2y+xy2=xy（ x+y） =10 16=160故答案為：160【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了提取公因式法分解因式，

13、正確找出公因式是解題關(guān)鍵（ 2016 秋 ?新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成2（ x 1 ） （ x 9） ；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確的結(jié)果寫(xiě)出來(lái)：2（x【分析】 根據(jù)多項(xiàng)式的乘法將2（ x 1） （ x 9）展開(kāi)得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將2（ x 2） （ x 4）展開(kāi)得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng)從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式2 后利用完全平方公式分解因式【解答】 解：2（ x 1） （ x 9） =2x2 20 x+18；2（ x 2） （ x 4） =2x2 12x+16；原多項(xiàng)式為2x2 1

14、2x+182x2 12x+18=2（ x2 6x+9） =2（ x 3） 2【點(diǎn)評(píng)】 根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題的關(guān)鍵二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次項(xiàng)正確（ 2015 春 ?昌邑市期末）若多項(xiàng)式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，則m 的值是 4 【分析】 利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、 （ab）2=（a+b）24ab計(jì)算即可【解答】 解：x2+mx+4=（ x 2） 2，即 x2+mx+4=x2 4x+4， m= 4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方的幾個(gè)變形公式是解

15、題關(guān)鍵（ 2015 秋 ?利川市期末）分解因式：4x2 4x 3= （ 2x 3） （ 2x+1）【分析】ax2+bx+c（ a 0）型的式子的因式分解，這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù) a 分解成兩個(gè)因數(shù)a1， a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c 分解成兩個(gè)因數(shù)c1， c2的積c1?c2， 并使a1c2+a2c1正好是一次項(xiàng)b， 那么可以直接寫(xiě)成結(jié)果：ax2+bx+c=（ a1x+c1） （ a2x+c2） ，進(jìn)而得出答案【解答】解：4x2 4x 3=（ 2x 3） （ 2x+1） 故答案為：（ 2x 3） （ 2x+1 ） 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵5（

16、 2015春 ?東陽(yáng)市期末）利用因式分解計(jì)算：2022+202 196+982= 90000 【分析】通過(guò)觀察，顯然符合完全平方公式【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（ 202+98） 2=3002=90000【點(diǎn)評(píng)】 運(yùn)用公式法可以簡(jiǎn)便計(jì)算一些式子的值（ 2015 秋 ?浮梁縣校級(jí)期末）ABC三邊a， b， c滿(mǎn)足a2+b2+c2=ab+bc+ca，則ABC的形狀是等邊三角形【分析】 分析題目所給的式子，將等號(hào)兩邊均乘以2，再化簡(jiǎn)得（a b） 2+（ a c） 2+（ b c） 2=0，得出：a=b=c，即選出答案【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等號(hào)兩邊

17、均乘以2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即 a2 2ab+b2+a2 2ac+c2+b2 2bc+c2=0，即（ a b） 2+（ a c） 2+（ b c） 2=0，解得：a=b=c，所以，ABC是等邊三角形故答案為：等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解的應(yīng)用；利用等邊三角形的判定，化簡(jiǎn)式子得a=b=c，由三邊相等判定ABC是等邊三角形（ 2015秋 ?鄂托克旗校級(jí)期末）計(jì)算：12 22+32 42+52 62+ 1002+1012=5151 【分析】 通過(guò)觀察，原式變?yōu)?+（3222）+（5242）+（10121002），進(jìn)一步運(yùn)用高斯求和公式即可解決【解答】解：12

18、 22+32 42+52 62+ 1002+1012=1+（ 32 22） +（ 52 42） +（ 1012 1002）=1+（ 3+2） +（ 5+4） +（ 7+6） + +（ 101+100）=（ 1+101）101 2=5151 TOC o 1-5 h z 故答案為：5151【點(diǎn)評(píng)】 此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問(wèn)題（ 2015 秋 ?樂(lè)至縣期末）定義運(yùn)算a b=（ 1 a） b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：2（2） =3a b=b a若a+b=0，則（a a）+（ bb）=2ab若a b=0，則a=1 或b=0其中正確結(jié)論的序號(hào)是 （填上你認(rèn)為正確

19、的所有結(jié)論的序號(hào)）【分析】 根據(jù)題中的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷【解答】 解：2（2） =（ 1 2）（2） =2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故ab 不一定等于ba，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若a+b=0，則（aa）+（ bb） =（1a）a+（1 b）b=aa2+bb2=a2 b2= 2a2=2ab，本選項(xiàng)正確；若a b=0，即（1 a）b=0，則a=1 或b=0，本選項(xiàng)正確，其中正確的有故答案為【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵9（ 2015 春 ?張掖校級(jí)期末）如果1+a+a2+a3=0， 代數(shù)式a+a2+a3+a4+a

20、5 +a6+a7+a8=0【分析】 4 項(xiàng)為一組，分成2 組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可【解答】解：1+a+a2+a3=0， a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（ 1+a+a2+a3） +a5（ 1+a+a2+a3） ，=0+0，=0故答案是：0【點(diǎn)評(píng)】 此題考查利用因式分解法求代數(shù)式的值，注意合理分組解決問(wèn)題10 （ 2015 春 ?昆山市期末）若多項(xiàng)式x2 6x b 可化為（x+a） 2 1，則 b 的值是 8 【分析】 利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可 TOC o 1-5 h z 【解答】 解：x26xb=（x3）2 9b=（x+a）21， a= 3，9 b= 1，解得

21、：a=3，b=8故答案為：8【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了配方法的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵二解答題（共20 小題）11已知 n 為整數(shù)，試說(shuō)明（n+7） 2（n 3） 2的值一定能被20 整除【分析】用平方差公式展開(kāi)（n+7） 2（ n 3） 2，看因式中有沒(méi)有20 即可【解答】解：（ n+7）2（n3） 2=（n+7+n 3） （n+7n+3）=20（n+2），（n+7） 2（n 3） 2的值一定能被20 整除【點(diǎn)評(píng)】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2 b2=（ a+b） （ a b） （ 2016 秋 ?農(nóng)安縣校級(jí)期末）因式分解：4x2y 4xy+y【分析】 先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)

22、余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解【解答】解：4x2y 4xy+y=y（ 4x2 4x+1）=y（ 2x 1） 2【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止（ 2015 秋 ?成都校級(jí)期末）因式分解（ 1 ） a3 ab2（ x y） 2+4xy【分析】 （ 1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（ 2）原式利用完全平方公式分解即可【解答】 解： （ 1 ）原式=a（ a2 b2） =a（ a+b） （ a b） ；（ 2 ）原式=x2 2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2

23、=（ x+y） 2【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵（ 2015 春 ?甘肅校級(jí)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n2 6n+9=0，求m 和 n 的值解：m2+2mn+2n2 6n+9=0 m2+2mn+n2+n2 6n+9=0（ m+n） 2+（ n 3） 2=0 m+n=0， n 3=0 m= 3， n=3問(wèn)題：（ 1 ）若x2+2y2 2xy+4y+4=0，求xy 的值（ 2）已知ABC的三邊長(zhǎng)a， b， c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2 6a 6b+18+|3 c| =0，請(qǐng)問(wèn)ABC是怎樣形狀的三角形？【分析

24、】 （ 1）首先把x2+2y2 2xy+4y+4=0，配方得到（x y） 2+（ y+2） 2=0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x=y= 2，代入求得數(shù)值即可；（2）先把a(bǔ)2+b26a6b+18+| 3c|=0，配方得到（a3）2+（b3）2+|3c| =0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a=b=c=3，得出三角形的形狀即可【解答】解： （ 1 ）x2 +2y2 2xy+4y+4=0 x2+y2 2xy+y2+4y+4=0，（ x y） 2+（ y +2） 2=0 x=y= 2；（ 2）a2+b2 6a 6b+18+| 3 c| =0， a2 6a+9+b2 6b+9+| 3 c| =0，（a 3） 2+（

25、b 3） 2+| 3 c| =0 a=b=c=3三角形ABC是等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了配方法的應(yīng)用：通過(guò)配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問(wèn)題（ 2015 秋 ?太和縣期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù) ”如4=22 02， 12=42 22， 20=62 42，因此4，12， 20 這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（ 1 ） 36 和 2016 這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（ 2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（其中k 取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的和諧數(shù)是4 的倍數(shù)嗎？為什么？（

26、 3）介于1 到 200 之間的所有“和諧數(shù) ”之和為 2500 【分析】 （ 1）利用36=102 82； 2016=5052 5032 說(shuō)明 36 是 “和諧數(shù) ”， 2016不是 “和諧數(shù) ”；（ 2） 設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n， 2n+2（ n 為自然數(shù)）， 則 “和諧數(shù) ”= （ 2n+2） 2 （ 2n）2，利用平方差公式展開(kāi)得到（2n+2+2n） （ 2n+2 2n） =4（ 2n+1） ，然后利用整除性可說(shuō)明“和諧數(shù) ”一定是 4 的倍數(shù)；（ 3）介于1 到 200 之間的所有“和諧數(shù) ”中，最小的為：22 02=4，最大的為：502 482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們的和

27、【解答】 解： （ 1 ） 36 是 “和諧數(shù) ”， 2016 不是 “和諧數(shù) ”理由如下： 36=102 82； 2016=5052 5032；（ 2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2 和 2k（ n 為自然數(shù)），（2k+2） 2（2k） 2=（ 2k+2+2k） （ 2k+2 2k）=（ 4k+2）2=4（ 2k+1） ， 4（ 2k+1）能被4整除， “和諧數(shù) ”一定是 4 的倍數(shù)；（ 3）介于1 到 200 之間的所有“和諧數(shù) ”之和，S=（2202）+（4222）+（6242）+（502482）=502=2500故答案是：2500【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解把所求的代數(shù)式

28、進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化（ 2015 春 ?興化市校級(jí)期末）如圖1， 有若干張邊長(zhǎng)為a 的小正方形、長(zhǎng)為 b 寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為b 的大正方形的紙片（ 1 ）如果現(xiàn)有小正方形1 張，大正方形2 張，長(zhǎng)方形3 張，請(qǐng)你將它們 TOC o 1-5 h z 拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2 虛線(xiàn)框中畫(huà)出圖形）， 并運(yùn)用面積之間的關(guān)系，將多項(xiàng)式a2+3ab+2b2分解因式（ 2） 已知小正方形與大正方形的面積之和為169， 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，求長(zhǎng)方形的面積（ 3）現(xiàn)有三種紙片各8 張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無(wú)空隙、無(wú)重疊拼接），

29、求可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同的正方形【分析】 （ 1）根據(jù)小正方形1 張，大正方形2 張，長(zhǎng)方形3 張，直接畫(huà)出圖形，利用圖形分解因式即可；（ 2）由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34，得出a+b=17，由題意可知：小正方形與大正方形的面積之和為a2+b2=169，將a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得ab的值，從而可求得長(zhǎng)方形的面積；（ 3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb） ，其中（n、 m 為正整數(shù)）由完全平方公式第 頁(yè)（共 31 頁(yè)） n=1， m=1，正方形的邊長(zhǎng)為a+b；第 頁(yè)（共 31 頁(yè)）可知： （ na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各8張，n28，m28， 2mn8（n、m

30、 為正整數(shù)）從而可知n2，m2，從而可得出答案【解答】 解： （ 1 ）如圖：拼成邊為（a+2b）和（a+b）的長(zhǎng)方形 a2+3ab+2b2=（ a+2b） （ a+b） ；（ 2）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為34， a+b=17小正方形與大正方形的面積之和為169， a2+b2=169將 a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（ a+b） 2=172，整理得：a2+2ab+b2=289， 2ab=289 169， ab=60長(zhǎng)方形的面積為60（ 3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為（na+mb） ，其中（n、 m 為正整數(shù)）正方形的面積=（ na+mb） 2=n2a2+2nmab+m2b2現(xiàn)有三種紙片各8 張， n2 8， m2

31、8， 2mn 8（ n、 m 為正整數(shù)） n 2， m 2共有以下四種情況；n=1，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為a+2b；n=2，m=1 ，正方形的邊長(zhǎng)為2a+b；n=2，m=2，正方形的邊長(zhǎng)為2a+2b【點(diǎn)評(píng)】 此題考查因式分解的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式17 （ 2014 秋 ?萊城區(qū)校級(jí)期中）（ 1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣的硬紙片拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形，如圖2用兩種不同的方法，計(jì)算圖2 中長(zhǎng)方形的面積；由此，你可以得出的一個(gè)等式為：a2+2a+1=（ a+1）（ 2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖3 所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完

32、全平方公式，畫(huà)出你的拼圖；請(qǐng)你用拼圖等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫(huà)出你的拼圖【分析】 （ 1）要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同的計(jì)算面積的方法，來(lái)推導(dǎo)公式；（ 2）要能根據(jù)等式畫(huà)出合適的拼圖【解答】 解： （ 1 ）長(zhǎng)方形的面積=a2+2a+1；長(zhǎng)方形的面積=（ a+1） 2；a2+2a+1=（ a+1） 2；（ 2）如圖，可推導(dǎo)出（a+b） 2=a2+2ab+b2；2a2+5ab+2b2=（ 2a+b） （ a+2b） 本題考查運(yùn)用正方形或長(zhǎng)方形的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān)的一些等式；運(yùn)用18 （ 2013 秋 ?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a+b=1， ab= 1，設(shè)s1=a+b， s2=a2+

33、b2，s3=a3+b3， ， sn =an+bn TOC o 1-5 h z （ 1 ）計(jì)算s2；（ 2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算s3的過(guò)程：因?yàn)閍+b=1， ab= 1 ，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b） =1s2（1）=s2+1=4你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（2）中s3的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到的方法計(jì)算s4（ 3）試寫(xiě)出sn 2， sn 1， sn三者之間的關(guān)系式；（ 4）根據(jù)（3）得出的結(jié)論，計(jì)算s6【分析】 （ 1） （ 2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入a+b， ab 的值，即可推出結(jié)論；（ 3）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可推出Sn 2+Sn 1=Sn；（ 4）根

34、據(jù)（3）的結(jié)論，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3【解答】解：(1) &=a2+b2= (a+b) 2- 2ab=3;( aF+b2) (a+b) =a3+ab2+a2b+b3=ai3+b3+ab (a+b),.3X 1=aP+b3 - 1,a3+b3=4,即 &=4；V S4= (a2+b2) 2 2 (ab) 2=7,S4=7;=3, Ss=4, &=7,S2+&=S|,Sn 2+S1 1=Si； 0 2+0 尸S, &=3, Ss=4, 84=7,85=4+7=11,=7+11=18.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的混合運(yùn)算、完全平方公式的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù) 題意推出&=3,

35、Se=4, *7,分析歸納出規(guī)律：Sn 2+& 1=S1.19. (2013春?重慶校級(jí)期末)(1)利用因式分解簡(jiǎn)算：9.82+0.4X 9.8+0.04(2)分解因式：4a (a-1) 2- (1 - a)【分析】(1)利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；(2)先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可.【解答】解：(D原式=(9.8+0.2)2=100；第20頁(yè)(共31頁(yè))第 頁(yè)（共 31 頁(yè)）2) 4a( a 1)1 a)=（a1）（4a24a+1）=（a1）（2a1） 2【點(diǎn)評(píng)】 此題考查因式分解的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵20（ 2013 春 ?惠山

36、區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若 m2 2mn+2n2 8n+16=0， 求 m、n 的值解：m22mn+2n28n+16=0，（m22mn+n2）+（n28n+16）=0（ mn）2+（n4）2=0，（m n）2=0， （n4）2=0，n=4，m=4根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（ 1 ）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x y 的值（ 2）已知ABC的三邊長(zhǎng)a、 b、 c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2 6a 8b+25=0，求ABC的最大邊c的值（ 3）已知a b=4， ab+c2 6c+13=0，則a b+c= 7 【分析】 （ 1 ）將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)

37、兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0 求出x與 y的值，即可求出x y的值；（ 2）將已知等式25 分為9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0 求出 a 與 b 的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出c 的長(zhǎng)；（ 3）由a b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0，兩非負(fù)數(shù)分別為0 求出 b 與 c的值，進(jìn)而求出 a 的值，即可求出a b+c的值【解答】解： （ 1 ）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2） +（ y2+2y+1） =0（ x+y） 2+（ y+1）

38、2=0 x+y=0 y+1=0解得x=1， y= 1 x y=2；（ 2）a2+b2 6a 8b+25=0 TOC o 1-5 h z （a26a+9）+（b28b+16）=0（a3） 2+（b4）2=0a3=0，b 4=0解得a=3，b=4三角形兩邊之和第三邊ca+b，c 3+4 c 7，又c 是正整數(shù)， c 最大為6；（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（b+4） b+c2 6c+13=0，整理得： （b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0， b+2=0，且c 3=0，即b= 2， c=3， a=2，則 a b+c=2（2） +3=7故答案為：7【點(diǎn)評(píng)】 此題

39、考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵（ 2012 秋 ?溫嶺市校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問(wèn)題：例題：已知二次三項(xiàng)式x2 4x+m 有一個(gè)因式是（x+3） ，求另一個(gè)因式以及m的值解： 設(shè)另一個(gè)因式為（x+n）， 得x24x+m=（x+3）（x+n）， 則x24x+m=x2+（n+3）x+3n n+3= 4m=3n解得：n= 7， m= 21另一個(gè)因式為（x 7） ， m 的值為21 問(wèn)題：（ 1 ）若二次三項(xiàng)式x2 5x+6 可分解為（x 2） （ x+a） ，則 a= 3 ；（ 2）若二次三項(xiàng)式2x2+bx 5 可分解為（2x 1） （ x+5）

40、，則 b= 9 ；（ 3）仿照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式2x2+5x k 有一個(gè)因式是（ 2x 3） ，求另一個(gè)因式以及k 的值【分析】 （ 1）將（x 2） （ x+a）展開(kāi)，根據(jù)所給出的二次三項(xiàng)式即可求出a 的值；（ 2x 1） （ x+5）展開(kāi)，可得出一次項(xiàng)的系數(shù)，繼而即可求出b 的值；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x 3n，可知2n 3=5， k=3n，繼而求出n 和 k 的值及另一個(gè)因式【解答】 解： （ 1 ）（x2）（x+a）=x2+（a2）x2a=x25x+6， a 2= 5，解得：a= 3；（ 2）（2x

41、 1） （ x+5） =2x2+9x 5=2x2+bx 5， b=9；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得2x2+5xk=（2x3） （x+n）=2x2+（2n3）x 3n，則 2n 3=5， k=3n，解得：n=4， k=12，故另一個(gè)因式為（x+4） ， k 的值為12故答案為：（1）3；（ 2分） （2）9； （2分）（3）另一個(gè)因式是x+4，k=12（6分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查因式分解的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式（ 2012 春 ?郯城縣期末）分解因式：（ 1 ） 2x2 x；（ 2）

42、16x2 1；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3；（ 4） 4+12（ x y） +9（ x y） 2【分析】 （ 1）直接提取公因式x即可；（ 2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（ 3）先提取公因式y(tǒng)，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（ 4）把（x y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可【解答】解： （ 1 ） 2x2 x=x（ 2x 1） ；（ 2） 16x2 1=（ 4x+1） （ 4x 1） ；（ 3 ） 6xy2 9x2y y3，= y（ 9x2 6xy+y2） ，2= y（ 3x y） ；（ 4 ） 4+12（ x y） +9（ x y） 2，= 2+3（ x y）

43、2，=（ 3x 3y+2） 2【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解的常用方法，難點(diǎn)在（3） ，提取公因式y(tǒng) 后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解23（ 2012春 ?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知a， b， c是三角形的三邊，且滿(mǎn)足 （ a+b+c）2=3（ a2+b2+c2） ，試確定三角形的形狀【分析】 將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題【解答】解：（a+b+c） 2=3（ a2+b2+c2） ， a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac， =3a2+3b2+3c2，a2+b2 2ab+b2+c2 2bc+a2+c2 2ac=0，即（ab）2+（bc）2+（

44、ca）2=0， a b=0， b c=0， c a=0， a=b=c，故ABC為等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解題24 （ 2011 秋 ?北辰區(qū)校級(jí)期末）分解因式（ 1 ） 2x4 4x2y2+2y4（ 2） 2a3 4a2b+2ab2【分析】 （ 1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（ 2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】解： （ 1 ） 2x4 4x2y2+2y4=2（ x4 2x2y2+y4）=2（ x2 y2） 2=2（ x+y） 2（ x y） 2；2a3 4a2b

45、+2ab2=2a（ a2 2ab+b2）2=2a（ a b）【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式 進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底（ 2011 秋 ?蘇州期末）圖是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形（ 1 ）圖中的陰影部分的面積為（ m n） 2 ；（ 2）觀察圖請(qǐng)你寫(xiě)出三個(gè)代數(shù)式（m+n） 2、 （ m n） 2、 mn 之間的等量關(guān)系是 （ m+n） 2（m n） 2=4mn 2（ 3）若x+y=7， xy=10，則（x y） = 9 （ 4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)表示如圖，它

46、表示了（ m+n） （ 2m+n） =2m2+3mn+n2 5） 試畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（ m+n） （ m+3n） =m2+4mn+3n2（ 1）可直接用正方形的面積公式得到2）掌握完全平方公式，并掌握和與差的區(qū)別 TOC o 1-5 h z 3）此題可參照第（2）題4）可利用各部分面積和=長(zhǎng)方形面積列出恒等式5）可參照第（4）題畫(huà)圖解： （ 1 ）陰影部分的邊長(zhǎng)為（m n） ，陰影部分的面積為（m n）（m+n）2（mn）2=4mn；） （x y）2=（x+y）24xy=7240=9；（ m+n） （ 2m+n） =2m2+3mn+n2；5）答案不唯一： 例如：本題考查了因式

47、分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題中給出的圖示，用不同的形式去表示面積，熟練掌握完全平方公式，并能進(jìn)行變形（2009 秋?海淀區(qū)期末）已知a、b、c 滿(mǎn)足ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c的值【分析】 本題乍看下無(wú)法代數(shù)求值，也無(wú)法進(jìn)行因式分解；但是將已知的兩個(gè)式子進(jìn)行適當(dāng)變形后，即可找到本題的突破口由a b=8 可得 a=b+8；將其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0； 此時(shí)可發(fā)現(xiàn)b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b、 c 的值，進(jìn)而可求得a 的值；然后代值運(yùn)算即可【解答】 解：因?yàn)閍 b=8，所以a=b+8 （ 1 分）又 ab+

48、c2+16=0，所以（b+8） b+c2+16=0 （ 2分）即（b+4） 2+c2=0又（b+4） 2 0， c2 0，則 b= 4， c=0 （ 4 分）所以a=4， （ 5分）所以2a+b+c=4 （ 6 分）【點(diǎn)評(píng)】 本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握，又考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)式求值的方法（ 2010 春 ?北京期末）已知：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù)a、 b、c，且滿(mǎn)足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積【分析】 我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋?a+1）（ b+1） （ c+1） 1， 就得 （ 1+b）（ c+

49、1） （ a+1） =2007， 由于a、 b、 c均為正整數(shù)，所以 （ a+1） 、（ b+1） 、（ c+1） 也為正整數(shù)，而 2007只可分解為3 3 223， 可得 （ a+1） 、（ b+1） 、（ c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222就可求出長(zhǎng)方體體積 abc了【解答】解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1 1=2006，a（ 1+b） +c（ 1+b） +ac（ 1+b） +（ 1+b）1=2006，（ 1+b） （ a+c+ac） +（ 1+b） =2007，（ 1+b） （ c+1+a+ac） =2007，（ 1+b） （ c+1） （ a+1） =2007，2007 只能分解為3 3 223（a+1） 、 （ b+1） 、 （ c+1）也只能分別為3、 3、 223 a、 b、 c也只能分別為2、 2、 222長(zhǎng)方體的體積a