12相似理論與模型設(shè)計(jì)12

1、第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì) 光彈性試驗(yàn)屬于模擬試驗(yàn)，要通過模型試驗(yàn)結(jié)果去預(yù)測(cè)原型應(yīng)力狀態(tài)。前面已了解如何進(jìn)行試驗(yàn)和如何加工模型，但怎樣去設(shè)計(jì)模型，設(shè)計(jì)模型應(yīng)遵循哪些規(guī)則，按什么條件對(duì)模型加載，試驗(yàn)結(jié)果又如何向原型換算，這些問題還懸而未決。解決這些問題需要應(yīng)用相似理論。相似理論可應(yīng)用于一切模型試驗(yàn)工作的設(shè)計(jì)。第2部 光彈性測(cè)量方法1本章內(nèi)容：學(xué)習(xí)要求：（完成本章教學(xué)，計(jì)劃使用2學(xué)時(shí)） 建立量綱概念，理解物理方程的齊次性；掌握相似三大定理和相似判據(jù)的確定方法；熟悉光彈性模型的相似設(shè)計(jì)。12-1 量綱及物理方程的齊次性12-2 相似定理12-3 相似判據(jù)的確定12-4 光彈性模型設(shè)計(jì)與相似數(shù)誤差第

2、2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)2第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)12-1 量綱及物理方程的齊次性1量綱度量任何一個(gè)物理量都要用一定的測(cè)量單位。如果我們只考慮物理量的屬性，就可以用物理量的類型來表示物理量，如長(zhǎng)度、時(shí)間、力、應(yīng)力、應(yīng)變、速度、加速度等。物理量的類型稱為物理量的量綱，量綱實(shí)際上是物理量的廣義單位。通常用L表示長(zhǎng)度的量綱、T表示時(shí)間的量綱、F表示力的量綱、M表示質(zhì)量的量綱等。在國(guó)際單位之中，L、T、M為三個(gè)基本量綱。任何導(dǎo)出物理量S的量綱都可以由物理方程導(dǎo)出，可表達(dá)為如，力的量綱 彈性模量的量綱3第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型

3、設(shè)計(jì)2物理方程的齊次性E彈性模量、I截面慣性矩、y撓度、Mz彎矩。 方程左邊的量綱為右邊的量綱為兩邊量綱相同。 量綱上為齊次的物理方程稱為完全方程。 若一個(gè)物理方程包含若干項(xiàng)，每項(xiàng)的量綱都用基本量綱表達(dá)，則各項(xiàng)的量綱應(yīng)相同。這就是物理方程量綱的齊次性原則。量綱不同的物理量相加減是無意義的。 如梁的撓曲線微分方程為4第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)12-2 相似定理1.相似的基本概念 物理現(xiàn)象相似，指表述此現(xiàn)象的所有量在時(shí)間與空間上各自對(duì)應(yīng)成比例關(guān)系。 如梁彎曲時(shí)，原型彎矩M，橫向坐標(biāo)y，截面慣性矩I；模型彎矩M，橫向坐標(biāo)y，截面慣性矩I 。設(shè)截面上的應(yīng)力分別為、，則有（a）

4、 若二者相似，兩方程中對(duì)應(yīng)物理量成比例，比例系數(shù)(b)C、CM、Cy、 CI稱為相似數(shù)。將（b）代入（a）,可得（c） 說明相似物理現(xiàn)象中各物理量或相似數(shù)并不能是任意的，而要滿足一定的約束條件。 5第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì) （c）式左端的相似系數(shù)群 稱為相似指標(biāo)。此式說明，物理現(xiàn)象相似，相似指標(biāo)等于1。此條件稱為相似條件。若把(c)式改寫成（d） 是一個(gè)無量綱量群，稱為相似判據(jù)。（d）式表明，彼此相似的物理現(xiàn)象，對(duì)應(yīng)的相似判據(jù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同的值。這里僅要求模型與原型的橫截面慣性矩成比例，并不苛求截面形狀的幾何相似，所以可用不同截面形狀的梁模型進(jìn)行試驗(yàn)。幾何上不完全

5、相似的模型稱為“變態(tài)模型”。2.相似定理上例實(shí)際上例證了下述定理：如矩形橫截面梁，原形與模型截面的寬高比可不同，相似條件可改寫為6第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì) 相似第一定理 ：彼此相似的物理現(xiàn)象，由完全相同的方程組所描述，對(duì)應(yīng)物理量各自成比例，表示各相似數(shù)之間關(guān)系的相似指標(biāo)等于1，或其相似判據(jù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的值。 這是相似的必要條件。在已知方程的情況下，通過方程就可尋求現(xiàn)象的相似指標(biāo)或相似判據(jù)。而在理論研究的未及領(lǐng)域，物理現(xiàn)象的控制方程往往是未知的，我們可以利用量綱分析法求得物理現(xiàn)象的相似指標(biāo)或相似判據(jù)。定理（巴金漢定理）則描述了一個(gè)物理現(xiàn)象有幾個(gè)獨(dú)立的相似指標(biāo)（或相似

6、判據(jù)）以及尋求途徑。 相似第二定理（定理）： 如果一個(gè)物理現(xiàn)象有n個(gè)物理量起作用，這n個(gè)物理量中有k個(gè)基本物理量，則該物理現(xiàn)象可用由這些物理量組成的（n-k）個(gè)無量綱量群的關(guān)系式來描述。這些無量綱群就是相似判據(jù)。證明：設(shè)物理現(xiàn)象的控制方程為（a） 假定x1，x2，xk為k個(gè)基本物理量，故可選取k個(gè)基本單位，基本量綱為x1，x2，xk，其余（n-k）個(gè)物理量的量綱可用基本量綱表示為(b)7第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)根據(jù)基本單位可任意選取的性質(zhì)，變更基本單位，使x1的單位增大x1倍，x2的單位增大x2倍，, xk的單位增大xk倍。則單位變更后各物理量的數(shù)值為根據(jù)（b）式，

7、可知各量群都是無量綱的，記為i，則有采用變更后的單位系統(tǒng)，物理方程可寫成8第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)可改寫為如此，就把物理現(xiàn)象的控制方程轉(zhuǎn)化為用（n-k）個(gè)無量綱量群表述的控制方程。若有另一現(xiàn)象與其相似，其中x1=C1x1，x2=C2x2， xk=Ckxk， ，xn=Cnxn （C1， C2，為相似數(shù)），則也可無量綱化為其中把相似關(guān)系代入，得9第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)無量綱數(shù)應(yīng)是不變的，即，故得（n-k）個(gè)相似指標(biāo)由相似指標(biāo)得(n-k)個(gè)相似判據(jù)故（n-k）個(gè)無量綱量群就是（n-k）個(gè)相似判據(jù)。 相似第一定理闡明了相似現(xiàn)象的性質(zhì)；相似第二定

8、理證明了可以把物理方程轉(zhuǎn)化為判據(jù)方程。對(duì)于相似現(xiàn)象，它們的判據(jù)相同。這兩個(gè)定理都是在假定現(xiàn)象相似的基礎(chǔ)上研究現(xiàn)象的性質(zhì)，都是現(xiàn)象相似的必要條件。 怎樣根據(jù)現(xiàn)象的已知情況判斷現(xiàn)象是否相似，或者說，模型滿足那些條件才與原型相似，這是第三相似定理要解決的問題。10第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì) 相似第三定理 ：服從同一物理方程的兩現(xiàn)象，當(dāng)單值條件相似，單值量對(duì)應(yīng)成比例、單值量相似判據(jù)在數(shù)值上相等，則兩現(xiàn)象必相似。 單值條件指一個(gè)現(xiàn)象區(qū)別于其他現(xiàn)象的那些條件，包括：幾何特性（物體的形狀與大?。?、材料特性（物體材料的性能，如E、）、邊界條件（約束、載荷和其他限定條件）和初始條件（起

9、始位置和初速度）等。 第三定理給出使現(xiàn)象相似的充分條件，這是模型試驗(yàn)的依據(jù)。11第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)12-3 相似判據(jù)的確定1.方程分析法 工程中有大量物理現(xiàn)象的基本方程是已知的，由這些方程很容易獲得相似判據(jù)。下面通過例子說明。例12-1 建立梁彎曲模型試驗(yàn)的相似判據(jù)。梁的撓曲線微分方程為設(shè)原型與模型中對(duì)應(yīng)各物理量成比例，即于是相似指標(biāo)為相似判據(jù)為 則12這里不要求幾何相似。如原型與模型幾何相似，且梁上只作用線分布力q，則相應(yīng)的相似指標(biāo)及相似判據(jù)分別為第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)和例12-2 薄板小撓度的相似問題。小撓度薄板的基本方程是其

10、中x、y為薄板中面坐標(biāo)，w為垂直于板面的撓度，h為板厚。引入相似數(shù)代入到基本方程，得13第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)令模型與原型方程相同，得相似指標(biāo)（a） 要求原型與模型材料的泊松比必須相等。如求板中應(yīng)力的相似數(shù)，可利用板中垂直于x軸的橫截面上正應(yīng)力x的最大值公式在條件下，類似的推導(dǎo)可得相似指標(biāo)由（a）式解得Cw，代入（b）式，即得到應(yīng)力相似數(shù)(b)(c)其中14第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì) 以上未要求板在幾何上相似。如果要求原型與模型幾何相似，則有CL=Ch；要求變形后仍然保持幾何相似，有CL=Cw，這時(shí)C=Cq=CE。這是嚴(yán)格相似的必然結(jié)果。

11、2.量綱分析法 若一個(gè)物理現(xiàn)象的控制方程未知，但通過分析可以知道影響該現(xiàn)象的所有物理量，量綱分析法是尋求相似判據(jù)的唯一途徑。例12-3 用量綱分析法尋求非線性彈性力學(xué)問題的相似判據(jù)。 非線性彈性力學(xué)問題指應(yīng)力、應(yīng)變服從虎克定律，但屬大變形情況，應(yīng)力與載荷不成正比。設(shè)彈性體內(nèi)的應(yīng)力與集中力P、力矩m、尺寸l和彈性常數(shù)E、有關(guān)，用一個(gè)未知函數(shù)來描述，即選定P、l為基本量，F(xiàn)、L為基本量綱，則其他量的量綱為：=FL、m=FL、 E=FL、=FL。本問題有6個(gè)物理量，選2個(gè)為基本物理量，根據(jù)定理，應(yīng)有4個(gè)無量綱量群（項(xiàng)）。令15第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)這里a、b、c、d、e

12、、f、g、h為待定指數(shù)。由各物理量的量綱，得于是，該問題的相似判據(jù)為 在應(yīng)用量綱分析法導(dǎo)出相似判據(jù)時(shí)，全面地研究與現(xiàn)象有關(guān)的全部物理量是至關(guān)重要的。如果遺漏一個(gè)重要物理量，就將導(dǎo)出錯(cuò)誤的判據(jù)；相反，如果過多地考慮多余的物理量，將導(dǎo)致多余的相似判據(jù)，使相似條件更加苛刻，給模型設(shè)計(jì)帶來困難。另外，選擇不同的基本物理量，會(huì)得到不同的相似判據(jù)，但他們的實(shí)質(zhì)是一樣的，獨(dú)立的相似判據(jù)都是n-k個(gè)。16第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)12-4 光彈性模型設(shè)計(jì)與相似數(shù)誤差1光彈性模型設(shè)計(jì)光彈性模型的設(shè)計(jì)主要依據(jù)由問題的性質(zhì)尋求的相似條件或相似判據(jù)。平面問題的模型設(shè)計(jì)，由于應(yīng)力沿模型厚度方向

13、不變，幾何相似條件可以放寬，厚度的尺寸比可以與平面內(nèi)的尺寸比不同。在三維光彈性模型設(shè)計(jì)時(shí)，首先要根據(jù)問題的性質(zhì)確定相似關(guān)系。一般要確定相似數(shù)CL、CP、Cq、CE等。模型尺寸要在允許的條件下盡可能大些，尺寸太小則加工復(fù)雜形狀有困難，載荷的大小一般要根據(jù)尺寸相似數(shù)、彈性模量相似數(shù)等來確定，還應(yīng)考慮使模型中產(chǎn)生足夠的條紋以方便測(cè)量和計(jì)算。例如，對(duì)于三維切片，當(dāng)切片厚度為3mm左右時(shí)，以使其產(chǎn)生36級(jí)條紋為宜。條紋過稀，影響測(cè)量精度。對(duì)于薄壁構(gòu)件，例如薄壁桿、板或殼體等，如果各方向按同一尺寸相似數(shù)縮小制作模型的話，壁厚尺寸將接近于零，難以制作模型。對(duì)于這類問題，可采用變態(tài)模型。例如對(duì)于受拉壓的薄壁桿

14、件，只要求橫截面積相似就可以了。注意，對(duì)于三維模型，由于要通過凍結(jié)切片進(jìn)行分析，若幾何上不相似，就不便于測(cè)點(diǎn)幾何位置的對(duì)應(yīng)，或者使應(yīng)力分布規(guī)律發(fā)生變化，故一般不能采用變態(tài)模型。17第2部 光彈性測(cè)量方法 第12章 相似理論與模型設(shè)計(jì)2.相似數(shù)誤差對(duì)于工程中的構(gòu)件進(jìn)行模型試驗(yàn)，由于問題往往比較復(fù)雜，要完全滿足相似條件，有時(shí)很難辦到。所以進(jìn)行模型試驗(yàn)時(shí)必須具體問題具體分析，學(xué)會(huì)抓住主要矛盾，忽略一些次要的、對(duì)問題影響不大的因素。這樣，由于相似條件不能完全滿足，必然使由模型到構(gòu)件的應(yīng)力換算結(jié)果帶有一定的誤差，這種誤差稱為相似數(shù)誤差。光彈性試驗(yàn)中最大的困難往往在合適材料的選擇上。由上一節(jié)中的例子可以看到，相似判據(jù)中往往要求模型與原型材料