SAS-典型相關(guān)分析

1、典型相關(guān)分析1 一、什么是典型相關(guān)分析及基本思想 通常情況下，為了研究兩組變量 的相關(guān)關(guān)系，可以用最原始的方法，分別計算兩組變量之間的全部相關(guān)系數(shù)，一共有pq個簡單相關(guān)系數(shù)，這樣又煩瑣又不能抓住問題的本質(zhì)。如果能夠采用類似于主成分的思想，分別找出兩組變量的各自的某個線性組合，討論線性組合之間的相關(guān)關(guān)系，則更簡捷。2 在解決實際問題中，這種方法有廣泛的應(yīng)用。如，在工廠里常常要研究產(chǎn)品的q個質(zhì)量指標P個原材料的指標 之間的相關(guān)關(guān)系；也可以是采用典型相關(guān)分析來解決的問題。如果能夠采用類似于主成分的思想，分別找出兩組變量的線性組合既可以使變量個數(shù)簡化，又可以達到分析相關(guān)性的目的。3例 家庭特征與家庭消

2、費之間的關(guān)系 為了了解家庭的特征與其消費模式之間的關(guān)系。調(diào)查了70個家庭的下面兩組變量：分析兩組變量之間的關(guān)系。4X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣5y2y3y1x2x16 典型相關(guān)分析的思想： 首先分別在每組變量中找出第一對線性組合，使其具有最大相關(guān)性，然后再在每組變量中找出第二對線性組合，使其分別與本組內(nèi)的第一線性組合不相關(guān)，第二對本身具有次大的相關(guān)性。如此下去，直至

3、兩組變量的相關(guān)性被提取完為止。 7 u2和v2與u1和v1相互獨立，但u2和v2相關(guān)。如此繼續(xù)下去，直至進行到r步，rmin(p,q)，可以得到r組變量。從而達到降維的目的。8二、典型相關(guān)的數(shù)學(xué)描述 （一）想法 考慮兩組變量的向量 其協(xié)方差陣為 其中11是第一組變量的協(xié)方差矩陣；22是第二組變量的協(xié)方差矩陣；12 和21是X和Y的其協(xié)方差矩陣。9 如果我們記兩組變量的第一對線性組合為： 其中： 所以，典型相關(guān)分析就是求1和1，使二者的相關(guān)系數(shù)達到最大。10（二）典型相關(guān)系數(shù)和典型變量的求法 在約束條件下，求1和1，使uv達到最大。 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中條件極值的求法，引入Lagrange乘數(shù)，求極值

4、問題，則可以轉(zhuǎn)化為求 的極大值，其中和是 Lagrange乘數(shù)。11 將上面的3式分別左乘 和 12將 左乘（3）的第二式，得 并將第一式代入，得 的特征根是 ，相應(yīng)的特征向量為13將 左乘（3）的第一式，并將第二式代入，得 的特征根是 ，相應(yīng)的特征向量為14引理：AB和BA有相同的非零特征根.A和A有相同的非零特征根.則 和有相同的非零特征根。15 結(jié)論： 既是M1又是M2的特征根， 和 是相應(yīng)于M1和M2的特征向量。 至此，典型相關(guān)分析轉(zhuǎn)化為求M1和M2特征根和特征向量的問題。 第一對典型變量提取了原始變量X與Y之間相關(guān)的主要部分，如果這部分還不能足以解釋原始變量，可以在剩余的相關(guān)中再求出

5、第二對典型變量和他們的典型相關(guān)系數(shù)。16 在剩余的相關(guān)中再求出第二對典型變量和他們的典型相關(guān)系數(shù)。設(shè)第二對典型變量為：在約束條件： 17 求使 達到最大的 和 。18例 家庭特征與家庭消費之間的關(guān)系 為了了解家庭的特征與其消費模式之間的關(guān)系。調(diào)查了70個家庭的下面兩組變量：分析兩組變量之間的關(guān)系。19X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00變量間的相關(guān)系數(shù)矩陣20典型相關(guān)分析典型相關(guān)系數(shù)調(diào)整典型相

6、關(guān)系數(shù)近似方差典型相關(guān)系數(shù)的平方10.6879480.6878480.0052680.47327220.1868650.1866380.0096510.03491921X組典型變量的系數(shù)U1U2X10.7689-1.4787X20.27211.6443Y組典型變量的系數(shù)V1V2Y10.04911.0003Y20.8975-0.5837Y30.19000.295622三、典型變量的性質(zhì)1、同一組的典型變量之間互不相關(guān) 即X組的典型變量之間是相互互不相關(guān):即Y組的典型變量之間是互不相關(guān)：232、不同組的典型變量之間相關(guān)性 不同組內(nèi)典型變量之間的相關(guān)系數(shù)為：24同對則協(xié)方差為i ，不同對則為零。25

7、3、原始變量與典型變量之間的相關(guān)系數(shù)原始變量相關(guān)系數(shù)矩陣 x典型變量系數(shù)矩陣26y典型變量系數(shù)矩陣272829典型變量的結(jié)構(gòu)U1U2X10.9866-0.1632X20.88720.4614V1V2Y10.42110.8464Y20.9822-0.1101Y30.51450.301330典型變量的結(jié)構(gòu)V1V2X10.6787-0.0305X20.61040.0862U1U2Y10.28970.1582Y20.6757-0.0206Y30.35390.056331 兩個反映消費的指標與第一對典型變量中u1的相關(guān)系數(shù)分別為0.9866和0.8872，可以看出u1可以作為消費特性的指標，第一對典型變

8、量中v1與Y2之間的相關(guān)系數(shù)為0.9822，可見典型變量v1主要代表了了家庭收入， u1和 v1的相關(guān)系數(shù)為0.6879，這就說明家庭的消費與一個家庭的收入之間其關(guān)系是很密切的；第二對典型變量中u2與x2的相關(guān)系數(shù)為0.4614，可以看出u2可以作為文化消費特性的指標，第二對典型變量中v2與Y1和Y3之間的分別相關(guān)系數(shù)為0.8464和0.3013，可見典型變量v2主要代表了家庭成員的年齡特征和教育程度， u2和 v2的相關(guān)系數(shù)為0.1869，說明文化消費與年齡和受教育程度之間的有關(guān)。324、各組原始變量被典型變量所解釋的方差X組原始變量被ui解釋的方差比例X組原始變量被vi解釋的方差比例y組原

9、始變量被ui解釋的方差比例y組原始變量被vi解釋的方差比例33 被典型變量解釋的X組原始變量的方差被本組的典型變量解釋被對方Y(jié)組典型變量解釋比例累計比例典型相關(guān)系數(shù)平方比例累計比例10.88030.88030.47330.41660.416620.11971.00000.03490.00420.420834 被典型變量解釋的Y組原始變量的方差被本組的典型變量解釋被對方X組典型變量解釋比例累計比例典型相關(guān)系數(shù)平方比例累計比例1 0.46890.46890.47330.22190.22192 0.27310.74200.03490.00950.231535五、樣本典型相關(guān)系數(shù) 在實際應(yīng)用中，總體的

10、協(xié)方差矩陣常常是未知的，類似于其他的統(tǒng)計分析方法，需要從總體中抽出一個樣本，根據(jù)樣本對總體的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)矩陣進行估計，然后利用估計得到的協(xié)方差或相關(guān)系數(shù)矩陣進行分析。由于估計中抽樣誤差的存在，所以估計以后還需要進行有關(guān)的假設(shè)檢驗。36 1、假設(shè)有X組和Y組變量，樣本容量為n。假設(shè)( X1, Y1), ( X2, Y2), ( Xn, Yn)，觀測值矩陣為：3738 2、計算特征根和特征向量 求M1和 M2的特征根 ，對應(yīng)的特征向量 。則特征向量構(gòu)成典型變量的系數(shù)，特征根為典型變量相關(guān)系數(shù)的平方。39六、典型相關(guān)系數(shù)的檢驗典型相關(guān)分析是否恰當，應(yīng)該取決于兩組原變量之間是否相關(guān)，如果兩組變量之

11、間毫無相關(guān)性而言，則不應(yīng)該作典型相關(guān)分析。用樣本來估計總體的典型相關(guān)系數(shù)是否有誤，需要進行檢驗。檢驗的統(tǒng)計量：（一）整體檢驗40所以，兩邊同時求行列式，有4142 由于 所以若M的特征根為 ，則(l-M)的特征根為(1-)。根據(jù)矩陣行列式與特征根的關(guān)系，可得：43 在原假設(shè)為真的情況下，檢驗的統(tǒng)計量 近似服從自由度為pq的2分布。在給定的顯著性水平下，如果22 (pq)，則拒絕原假設(shè)，認為至少第一對典型變量之間的相關(guān)性顯著。再檢驗下一對典型變量之間的相關(guān)性。直至相關(guān)性不顯著為止。對兩組變量x和y進行典型相關(guān)分析，采用的也是一種降維技術(shù)。我們希望使用盡可能少的典型變量對數(shù)，為此需要對一些較小的典

12、型相關(guān)系數(shù)是否為零進行假設(shè)檢驗。H0經(jīng)檢驗被拒絕，則應(yīng)進一步檢驗假設(shè)。 44（二）部分總體典型相關(guān)系數(shù)為零的檢驗 H0:P2Pr0 Hl:P2，P3，Pr至少有一個不為零。若原假設(shè)H0被接受，則認為只有第一對典型變量是有用的；若原假設(shè)H0被拒絕，則認為第二對典型變量也是有用的，并進一步檢驗假設(shè)： H0:P3Pr0 H1:P3，Pr至少有一個不為零。 如此進行下去.直至對某個k，H0:P(k十1)PM0H1:P(k+1),，Pm至少有一個不為零。45檢驗的統(tǒng)計量近似服從自由度為(p-k)(q-k)的2分布。在給定的顯著性水平下，如果22 (p-k)(q-k)，則拒絕原假設(shè)，認為至少第k+1對典型

13、變量之間的相關(guān)性顯著。46 H0: 當前和后面的典型相關(guān)系數(shù)均為零 H1: 至少當前的典型相關(guān)系數(shù)為零LikelihoodRatioApprox FNum DFDen DFPr F 10.508334981341.2346199900.0001 20.96508130180.838299960.0001可見，前面兩對典型變量的相關(guān)性是很強的。47職業(yè)滿意度典型相關(guān)分析 某調(diào)查公司從一個大型零售公司隨機調(diào)查了784人，測量了5個職業(yè)特性指標和7個職業(yè)滿意變量。討論 兩組指標之間是否相聯(lián)系。X組： Y組：X1用戶反饋 Y1主管滿意度X2任務(wù)重要性 Y2事業(yè)前景滿意度X3任務(wù)多樣性 Y3財政滿意度X

14、4任務(wù)特殊性 Y4工作強度滿意度X5自主權(quán) Y5公司地位滿意度 Y6工作滿意度 Y7總體滿意度48X1X2X3X4X5Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7X11.000.490.530.490.510.330.320.200.190.300.370.21X20.491.000.570.460.530.300.210.160.080.270.350.20X30.530.571.000.480.570.310.230.140.070.240.370.18X40.490.460.481.000.570.240.220.120.190.210.290.16X50.510.530.570.571.000.380

15、.320.170.230.320.360.27Y10.330.300.310.240.381.000.430.270.240.340.370.40Y20.320.210.230.220.320.431.000.330.260.540.320.58Y30.200.160.140.120.170.270.331.000.250.460.290.45Y40.190.080.070.190.230.240.260.251.000.280.300.27Y50.300.270.240.210.320.340.540.460.281.000.350.59Y60.370.350.370.290.360.370

16、.320.290.300.351.000.31Y70.210.200.180.160.270.400.580.450.270.590.311.0049 Canonical Correlation AnalysisAdjustedCanonicalCorrelationApproxCanonicalCorrelationSquaredStandardErrorCanonicalCorrelation10.5537060.5530730.0069340.30659120.2364040.2346890.0094420.05588730.119186.0.0098580.01420540.07222

17、8.0.0099480.00521750.057270.0.0099680.00328050LikelihoodRatioApprox FNum DFDen DFPrF10.63988477134.42373542018.150.000120.9228094133.82422434848.670.000130.9774354115.26341527578.390.000140.9915203010.65798199820.000150.9967201510.9600399920.0001當前和后面的典型相關(guān)系數(shù)均為零的檢驗51U1U2U3U4U5X10.42170.3429-0.8577-0.

18、78840.0308X20.19511-0.66830.4434-0.26910.9832X30.1676-0.8532-0.25920.4688-0.9141X4-0.02290.3561-0.42311.04230.5244X50.45970.72870.9799-0.1682-0.4392X組的典型變量52V1V2V3V4V5Y10.4252-0.08800.4918-0.1284-0.4823Y20.20890.4363-0.7832-0.3405-0.7499Y3-0.0359-0.0929-0.4778-0.60590.3457Y40.02350.9260-0.00650.4044

19、0.3116Y50.2902-0.10110.2831-0.44690.7030Y60.5157-0.5543-0.41250.68760.1796Y7-0.1101-0.03170.92850.2739-0.0141Y組的典型變量53U1U2U3U4U5X10.82930.1093-0.4853-0.24690.0611X20.7304-0.43660.20010.00210.4857X30.7533-0.4661-0.10560.3020-0.3360X40.61600.2225-0.20530.66140.3026X50.86060.26600.38860.1484-0.1246V1V2

20、V3V4V5Y10.75640.04460.3395-0.1294-0.3370Y20.64390.3582-0.1717-0.3530-0.3335Y30.38720.0373-0.1767-0.53480.4148Y40.37720.7919-0.00540.28860.3341Y50.65320.10840.2092-0.43760.4346Y60.8040-0.2416-0.23480.40520.1964Y70.50240.16280.4933-0.18900.0678原始變量與本組典型變量之間的相關(guān)系數(shù)54V1V2V3V4V5X10.45920.0258-0.0578-0.0178

21、0.0035X20.4044-0.10320.02390.00020.0278X30.4171-0.1102-0.01260.0218-0.0192X40.34110.0526-0.02450.04780.0173X50.47650.06290.04630.0107-0.0071U1U2U3U4U5Y10.41880.01050.0405-0.0093-0.0193Y20.35650.0847-0.0205-0.0255-0.0191Y30.21440.0088-0.0211-0.03860.0238Y40.20880.1872-0.00060.02080.0191Y50.36170.0256

22、0.0249-0.03160.0249Y60.4452-0.0571-0.02800.02930.0112Y70.27820.03850.0588-0.01360.0039原始變量與對應(yīng)組典型變量之間的相關(guān)系數(shù)55 可以看出，所有五個表示職業(yè)特性的變量與u1有大致相同的相關(guān)系數(shù)， u1視為形容職業(yè)特性的指標。第一對典型變量的第二個成員v1與Y1，Y2，Y5，Y6有較大的相關(guān)系數(shù)，說明v1主要代表了主管滿意度，事業(yè)前景滿意度，公司地位滿意度和工種滿意度。而u1和v1之間的相關(guān)系數(shù)0.5537。56 Canonical Redundancy Analysis Raw Variance of the

23、 VAR Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables Cumulative Cumulative Proportion Proportion Proportion Proportion 1 0.5818 0.5818 0.1784 0.1784 2 0.1080 0.6898 0.0060 0.1844 3 0.0960 0.7858 0.0014 0.1858 4 0.1223 0.9081 0.0006 0.1864 5 0.0919 1.0000 0.0003

24、0.1867 Raw Variance of the WITH Variables Explained by Their Own The Opposite Canonical Variables Canonical Variables Cumulative Cumulative Proportion Proportion Proportion Proportion 1 0.3721 0.3721 0.1141 0.1141 2 0.1222 0.4943 0.0068 0.1209 3 0.0740 0.5683 0.0011 0.1220 4 0.1289 0.6972 0.0007 0.1

25、226 5 0.1058 0.8030 0.0003 0.123057u1和v1解釋的本組原始變量的比率：X組的原始變量被u1到u5解釋了100%Y組的原始變量被v1到v5解釋了80.3%X組的原始變量被u1到u4解釋了90.81%Y組的原始變量被v1到v4解釋了69.72%58房地產(chǎn)指標典型相關(guān)分析報告 在對房地產(chǎn)指標的典型相關(guān)分析中建立了如下的指標體系：X1：開發(fā)公司個數(shù)（個） X2：年平均職工人數(shù)（人）X3：自開始建設(shè)至本年底累計完成投資X4：本年完成投資 X5：施工房屋面積（萬平方米）Y1：經(jīng)營總收入 Y2：土地轉(zhuǎn)讓收入Y3：商品房屋銷售收入 Y4：房屋出租收入Y5：經(jīng)營稅金及附加 Y

26、6：營業(yè)利潤Y7：竣工房屋面積（萬平方米）Y8：竣工房屋價值（萬元）其中，X1-X5是反映房地產(chǎn)投入的變量，Y1-Y8是反映房地產(chǎn)產(chǎn)出的變量。數(shù)據(jù)來源于1999中國統(tǒng)計年鑒，選取了全國30個省市自治區(qū)的相應(yīng)指標值（西藏和新疆兩自治區(qū)因數(shù)據(jù)不全而刪除59序號典型相關(guān)系數(shù) 典 型 變 量10.998716U1=-0.1769X1+0.0639X2+0.7264X3+0.3633X4+0.0053X5V1=2.5217Y1+0.1720Y2-1.7370Y3-0.1993Y4-0.0886Y5-0.3747Y6-0.1016Y7+0.6610Y820.980640U2=0.3319X1+0.0785

27、X2-3.3077X3+1.8943X4+1.2047X5V2=-2.0308Y1-0.2555Y2+0.3219Y3+0.4304Y4+1.4052Y5+0.4774Y6+2.0697Y7-1.8594Y830.916191U3=-1.1339X1-3.1176X2+1.2803X3-3.9436X4+6.7392X5V3=0.3990Y1-0.6098Y2-0.7852Y3-2.0872Y4+4.2927Y5-0.6167Y6-1.6135Y7+0.5071Y840.757332U4=1.4478X1-1.7250X2-4.4766X3+8.1918X4+3.5963X5V4=-8.053

28、1Y1-0.9941Y2-1.6221Y3-1.3311Y4+5.1584Y5+1.6818Y6-0.9464Y7+6.4783Y850.739978U5=-3.7387X1+2.3073X2-2.0488X3+1.8063X4+1.4170X5V5=4.7208Y1-0.3733Y2-4.4002Y3+3.1983Y4-4.2877Y5-1.8271Y6+1.5460Y8+0.9555Y960第一對典型變量中，U1主要受自開始建設(shè)至本年底累計完成投資影響，V1主要受經(jīng)營總收入和商品房屋銷售收入影響；第二對典型變量中，U2主要受自開始建設(shè)至本年底累計完成投資、本年完成投資和施工房屋面積影響，V

29、2主要受經(jīng)營稅金及附加、竣工房屋面積和竣工房屋價值影響：第三對典型變量中，U3受各個指標影響都較大，V4主要受房屋出租收入、經(jīng)營稅金及附加和竣工房屋面積的影響；第四對典型變量中，U4主要受本年完成投資的影響，V4主要受經(jīng)營總收入和工房屋價值的影響。第五對典型變量中，U5主要受開發(fā)公司個數(shù)影響，V4主要受經(jīng)營總收入、商品房屋銷售收入、房屋出租收入和經(jīng)營稅金及附加影響。但注意到，第一對典型變量的方差貢獻率已達92.20%,故保留第一對典型變量用作分析，從而達到降維的目的。 總的來說，房地產(chǎn)的投入變量主要受自開始建設(shè)至本年底累計完成投資影響，產(chǎn)出變量集中在經(jīng)營總收入和商品房屋銷售收入上。累計完成投資額與經(jīng)營總收入，特別是商品房屋銷售收入高度相關(guān)。61 典型相關(guān)分析的基本思想：首先分別在每組變量中找出第一對線性組合，使其具有最大相關(guān)性，然后再在每組變量中找出第二對線性組合，使其分別與本組內(nèi)的第一線性組合不相關(guān)，第二對本身具有最大相關(guān)性。如此下去，直至兩組變量的相關(guān)性被提取完為止。本例想利用我國1999年城鎮(zhèn)居民的家庭收入來源和消費性支出的數(shù)據(jù)