下冊6-4第一類弧長積分

1、九：設F(u,v)具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，試證曲面上任一點處的切平面都通過定點。檢測題：提示：過（a,b,c)點6.4 第一類曲線積分的計算問題: (1)如何求曲線的弧長 ？(2)如何計算1.直角坐標系下曲線弧長的計算 設曲線弧為有一階連續(xù)導數(shù),其中 在 上 在上任取小區(qū)間一、曲線的弧長以對應小切線段的長代替小弧段的長小切線段的長:弧長微分:弧長公式:以對應小切線段的長近似代替小弧段的長小切線段的長:當x 的絕對值很小時，2.參數(shù)方程下曲線弧長的計算曲線弧為弧長3.極坐標系下曲線弧長的計算曲線弧為弧長其中 在 上具有連續(xù)導數(shù).綜上所述: 1、設曲線弧為2、曲線弧為3、曲線弧為關鍵解例1解例2:求

2、阿基米德螺線 上相應于 4. 參數(shù)形式的空間曲線的弧長公式: 如果空間曲線L的參數(shù)方程：其中x(t)，y(t)，z(t)在區(qū)間, 上有連續(xù)的導數(shù)； ( )則參數(shù)方程形式下空間曲線的弧長公式：例3 求螺旋線解 由空間曲線的弧長公式證明:圓周線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性,弧長:第一象限部分的弧長練習:證明:圓周線的周長為xyR定理:二、第一類曲線積分的計算:說明：將ds換成弧微分公式，積分變量轉化為參變量，則關鍵：積分曲線的參數(shù)方程及參量的變化范圍.1. 平面曲線上的第一類曲線積分的計算:上下限由參變量的變化范圍而得到。 例4. 計算 ，其中L為直線x+y=1位于第一象限的線段。 解：L的方程：11，

3、且0 x 1； 例5. 計算 ， 其中L為圓周x2 +y2 =2ax(a0)。 解： L：(x-a)2 +y2 =a2 則L即推廣: 設空間曲線L的方程： x=x(t)，y=y(t)，z=z(t),t ; 一階連續(xù)導數(shù),關鍵：積分曲線的參數(shù)方程及參量的變化范圍.2. 空間曲線上的第一類曲線積分的計算:，f(x,y,z)在L上連續(xù)，則解： 例6. 計算 ，其中L為圓柱x2 +y2 =x與 的交線。在柱坐標系中得 則 注意：曲線L的另一種參數(shù)形式?？傻茫?選擇題: 設 L為橢圓 , 其周長為 a ,則(1998年考研一)12a注意: 橢球面： 橢圓拋物面： 雙曲拋物面（馬鞍面）： 單葉雙曲面： 雙

4、葉雙曲面：常見二次曲面:即：旋轉面:旋轉面:- 旋轉（單葉）雙曲面- 旋轉（雙葉）雙曲面缺少一個（或兩個）變量 柱面方程：(1) F(x, y) = 0：準線是xoy 平面上的曲線(2) G(x, z) = 0：準線是xoz 平面上的曲線(3) H(y, z) = 0：準線是yoz 平面上的曲線母線與z 軸平行；母線與y 軸平行；母線與x 軸平行； 例7. 計算 ，其中L為 在第一象限與坐標軸圍成區(qū)域的邊界。baOL1L2L3解：如圖將L分成三部分L1，L2，L3；則而L3的參數(shù)形式：討論：(1) a=b:故：(2) ab: 情形(1)也滿足此式。十：有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為h (hR)現(xiàn)沿塔身建一登上塔頂?shù)臉?/p>