高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 8.6拋物線

1、PAGE PAGE 5 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：8.6拋物線（一）拋物線的定義及應用相關鏈接1拋物線的離心率=1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。2焦半徑它們在解題中有重要作用，注意靈活運用。例題解析例已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程。解答：設所求拋物線方程為(x-h)2=

2、a(y-k)(aR,a0) 由的頂點到原點的距離為5，得=5在中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設方程的二根為x1,x2，則|x1-x2|=2。將拋物線向上平移3個單位，得拋物線的方程為(x-h)2=a(y-k-3)令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設方程的二根為x3,x4，則|x3-x4|=2。依題意得2=2，即 4(ak+3a)=ak 將拋物線向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak 由得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。（二）

3、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)相關鏈接1求拋物線的標準方程常采用待定系數(shù)法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點到準線的距離p的值；2對于直線和拋物線有兩個交點問題，“點差法”是常用法。如若是拋物線上兩點，則直線AB的斜率與可得如下等式。注：拋物線的標準方程有四種類型，所以判斷類型是關鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標準方程中只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。例題解析例已知如圖所示，拋物線的焦點為，在拋物線上，其橫坐標為4，且位于x軸上方，到拋物線準線的距離等于5。過作垂直于y軸，垂足為，的中點為。（1）求拋物線方程；（2）過M作MNFA，垂足為N，求點N的坐標。思路解析：由拋

4、物線定義求p求直線，MN的方程解方程組得N點坐標。解答：（1）拋物線的準線為于是4+=5，=2拋物線方程為y2=4x（）點的坐標是（，），由題意得B(0,4),M(0,2),又F(1,0),.MNFA,.則FA的方程為,MN的方程為y-2=x,解方程組,得.(三)直線與拋物線的位置關系相關鏈接1.直線與拋物線的位置關系設拋線方程為,直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x得到關于y的方程my2+ny+q=0,(1)若m0,當0時,直線與拋物線有兩個公共點;當=0時,直線與拋物線只有一個公共點;當0時,直線與拋物線沒有公共點.(2)若m=0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線

5、與拋物線的對稱軸平行.2.焦點弦問題已知AB是過拋物線的焦點的弦,F為拋物線的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2),則(1) y1y2=-p2,=;（2）（3）；（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。例題解析例已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。解析：設與拋物線交于由距離公式|AB|=由從而由于p0，解得（四）拋物線的實際應用例如圖，是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關于直線L1對稱M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin （1）建立

6、適當?shù)淖鴺讼?，求拋物線弧MN的方程； （）該市擬在點0的正北方向建設一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于km求 此廠離點0的最近距離（注：工廠視為一個點） 解析：（1）分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則M（2，4），N（3，9）設MN所在拋物線的方程為，則有，解得所求方程為（23）5分 （說明：若建系后直接射拋物線方程為，代入一個點坐標求對方程，本問扣2分） （2）設拋物線弧上任意一點P（，）（23）廠址為點A（0，）（5t8，由題意得07分令，23，49對于任意的，不等式0恒成立（*）8分設，8.要使（*）恒成立，需0，即01