2021-2022學年山西省長治市校高一下學期期末數學試題【含答案】

1、2021-2022學年山西省長治市校高一下學期期末數學試題一、單選題1設，則（）ABCDC復數分子分母同時乘以，再化簡整理即可.【詳解】，故選：C本題主要考查了復數的乘除運算，屬于基礎題.2已知向量，若，則（）ABCDD【分析】根據向量平行的坐標表示即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，解得.故選：D.3設一組樣本數據x1，x2，xn的方差為0.01，則數據10 x1，10 x2，10 xn的方差為（）A0.01B0.1C1D10C【分析】根據新數據與原數據關系確定方差關系，即得結果.【詳解】因為數據的方差是數據的方差的倍，所以所求數據方差為故選：C本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎題

2、.4正方體中，異面直線與所成角為（）ABCDB【分析】根據正方體的性質，結合異面直線所成角的定義進行求解即可.【詳解】由題意，作正方體，如下圖所示：連接，異面直線與即所成的角為.由題可得為等邊三角形，.異面直線與所成的角為60.故選：B.5已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）ABCDB【分析】設圓錐的母線長為，根據圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.6四名同學各擲骰子7次，分別記錄每次骰子出現的點數，根據名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數的是（）A平均數為

3、，中位數為B中位數為 ，眾數為C平均數為，方差為D中位數為 ，方差為C【分析】根據題意舉出反例，即可得出正確選項【詳解】對于A，當投擲骰子出現結果為1，2，3，4，6，6，6時，滿足平均數為4，中位數為4，可以出現點數6，故A錯誤；對于B，當投擲骰子出現結果為3，3，3，4，4，5，6時，滿足中位數為4，眾數為3，可以出現點數6，故B錯誤；對于C，若平均數為3，且出現6點，則方差，平均數為3，方差為1時，一定沒有出現點數6，故C正確；對于D，當投擲骰子出現結果為2，2，3，3，6，6，6時，滿足中位數為3，平均數為：方差為，可以出現點數6，故D錯誤故選：C7甲乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人

4、能破譯密碼的概率分別為，則密碼至少被一人成功破譯的概率為（）ABCDC【分析】先結合獨立事件概率的乘法公式求出密碼未被成功破譯的概率，進而根據對立事件的概率和為1即可求出結果.【詳解】結合獨立事件概率的乘法公式可得密碼未被成功破譯的概率，則根據對立事件的概率和為1，可知密碼被成功破譯的概率為,故選：C.8在空間，若直線與平面所成角為，則（）ABCDD【分析】根據線面角定義，結合線面垂直的判定定理進行求解即可.【詳解】如圖，過點作平面于，連接，則為直線與平面所成的角，分別作，交于點，交于點，連接、，因為平面，所以，因為平面，所以平面，而平面，所以，同理，因為，所以，所以， 所以，則為的角平分線，

5、由，可得， 令，則，即，在直角三角形中，因為，所以，于是在直角三角形中，即故選：D二、多選題9已知單位向量，的夾角為，則下列結論中正確的是（）AB在上投影向量為C的最小值為（）DBCD【分析】對于A，由已知條件計算判斷即可，對于B，利用平面向量的幾何意義判斷，對于C，結合已知條件可求出其最小值，對于D，計算判斷【詳解】對于A，因為單位向量，的夾角為，所以，所以A錯誤，對于B，在上投影向量為，所以B正確，對于C，因為， 所以當時，的最小值為，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：BCD10設復數，滿足，則下列結論中正確的是（）A的共軛復數為 BC若是方程的根，則DAD【分析】對于A，

6、由共軛復數的定義判斷即可，對于B，利用復數的乘方運算求解判斷，對于C，由題意可知方程的根為和，然后利用根與系數的關系可求出，對于D，設，結合可表示出的值，再由可求出，從而可求出【詳解】對于A，因為，所以的共軛復數為 ，所以A正確，對于B，因為，所以，所以，所以B錯誤，對于C，若，則由題意可知方程的根為和，所以，得，所以C錯誤，對于D，設，因為，所以解得，因為，所以，解得，所以 ，所以D正確，故選：AD11某高中有學生人，其中男生人，女生人，希望獲得全體學生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為的樣本經計算得到男生身高樣本均值為，方差為；女生身高樣本均值為，方差為下列說法中正確的是（）A男生

7、樣本量為B每個女生入樣的概率均為C所有樣本的均值為D所有樣本的方差為AC【分析】由分層抽樣可判斷A；計算女生入樣的概率可判斷B；計算總體的均值可判斷C；計算總體的方差可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項A正確；對于B：每個女生入樣的概率等于抽樣比，故選項B不正確；對于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項C正確；對于D：設男生分別為，平均數，女生分別為，平均數，總體的平均數為，方差為，因為，而，所以，同理可得，所以，故選項D不正確；故選：AC12已知三棱錐中兩兩垂直，且，則下列結論正確的是（）A二面角 的正切值為B三棱

8、錐的內切球的半徑為C是線段上一動點，則面積的最小值為D是三棱錐的外接球上一動點，則點到面距離的最大值為ACD【分析】將三棱錐嵌套在正方體內，對于A：可證，結合二面角可知：二面角 的平面角為，運算判斷；對于B：根據三棱錐內切球的半徑公式，運算判斷；對于C：根據正方體可證：，結合三角形面積分析可得：當是線段的中點時，面積取到最小值，運算判斷；對于D：結合正方體可知：三棱錐的外接球即為正方體的外接球，且為外接球的直徑，可證平面，則點到面距離的最大值為，運算判斷【詳解】根據題意將三棱錐嵌套在正方體內，如圖所示：連接交于點，在正方體中，點為的中點，則二面角 的平面角為，則，A正確；三棱錐的表面積為，體積

9、為三棱錐的內切球的半徑為，B錯誤；根據題意可知：平面，則面積為當是線段的中點時，取到最小值面積的最小值為，C正確；三棱錐的外接球即為正方體的外接球，顯然為外接球的直徑，設，則平面同理可證：，則平面點到面距離的最大值為且，則為平行四邊形，則，D正確；故選：ACD三、填空題13已知一組數據，則這組數據的第百分位數是_5【分析】按照百分位數的定義求解即可.【詳解】一共是10個數，題目已將其從小到大排列好， ，即是第8位數和第9位數的平均值= ；故5.14拋擲兩枚大小質地均勻的骰子，則兩枚骰子向上點數之和為的概率是_【分析】先求出所有可能的點數組合數，再列舉出所有點數和為5的組合，應用古典概率的求法求

10、概率.【詳解】兩枚骰子可能點數組合有種，而點數和為5的組合有、共有4種，所以向上的點數之和為5的概率為.故答案為.15在四面體中，都是邊長為的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的表面積為_.【分析】作圖，根據幾何關系找到球心，計算球的半徑和體積即可.【詳解】依題意作上圖，取BD的中點P，連接AP，CP，取 的中心E， 的中心G，分別作平面ABD和平面BCD的垂線，得交點H，則H點就是四面體ABCD外接球的球心，CH就是球的半徑r， ， ，外接球的面積為 ；故 .16的內角的對邊分別為.若，邊角平分線，則邊的最小值為_【分析】由結合已知條件可得，再利用基本不等式可得，由余弦定理得，當且僅當

11、時取等號，即當時，取得最小值，【詳解】因為，是的平分線，所以，因為，所以，所以，所以，所以，得，當且僅當時取等號，在中，由余弦定理得，當且僅當時取等號，即當時，取得最小值12，所以的最小值為，故四、解答題17在中，內角的對邊分別為，點在邊上，且，邊.(1)求的面積；(2)求.(1)(2)【分析】（1）由已知條件可得為等邊三角形，從而得到各個邊長，然后利用面積公式求解即可.（2）由余弦定理可得AC長，然后利用正弦定理即可求解.【詳解】(1)且，為等邊三角形，,的面積(2)在中，由余弦定理可得在中，由正弦定理可得，18第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務工作是亞運會成功舉辦的重

12、要保障某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并按照，分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖已知第二、三、四組的頻率之和為0.9，第一組和第五組的頻率相同(1)求，的值；(2)估計這100名候選者面試成績的中位數，平均數（精確到0.1）；(3)若先用按比例分配分層隨機抽樣的方法從面試成績在段的候選者中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人來自同一分數段的概率(1)，(2)中位數，平均數69(3)【分析】（1）根據第二、三、四組的頻率之和為0.9，即可求出，再根據頻率這和等于1，即可求出；（2）根據頻率分布直方圖計算中位數和平均數即可；（3）分別求出抽取

13、6中兩個分數段的人數，再利用列舉法列舉出所有基本事件，再根據古典概型即可得出答案.【詳解】(1)解：因為第二、三、四組的頻率之和為0.9，所以，解得，再由第一組、第五組的頻率之和為，即，得；(2)解：根據頻率分布直方圖可知，第一、二組的頻率之和為0.3，第一、二組、三組的頻率之和為0.75，所以中位數在第三組，且為，平均數為；(3)解：由（1）可得面試成績在段和段的候選者分別有5人和25人，若用分層隨機抽樣的方法從中抽取6人，則需在段中抽取1人，設為A，在段中抽取5人，分別設為，該試驗的樣本空間為，共有15個樣本點，設“從這6人中隨機抽取2人，這2人來自同一分數段”為事件，則，有10個樣本點，

14、所以2人來自同一分數段的概率為19在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.(1)點是棱的中點，求證平面；(2)若ABC=60，求證：平面.(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）分別取的中點，連接，由題意可證明，再由線面平行的判定定理可證明.（2）由題目條件證明到，再由線面垂直的判定定理可證明.【詳解】(1)分別取的中點，連接,在三角形中，且；在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;又平面，平面，所以平面(2)證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面.20的內角的對邊分別為.的面積為，且.(1

15、)求角；(2)求的最大值.(1)；(2).【分析】（1）利用余弦定理及面積公式，可求出的值，進而即得；（2）由題可得，再利用三角函數的性質即得.【詳解】(1)，；(2)由正弦定理得：，所以的最大值為.21如圖，三棱臺ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC （I）證明：EFDB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值（I）證明見解析；（II）【分析】（）方法一：作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據勾股定理可證得，又，可得，即得平面，即證得；（II）方法一：由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的

16、正弦值【詳解】（）方法一：幾何證法作交于，連接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱臺的定義可知，所以，而，平面，而平面，方法二【最優(yōu)解】：空間向量坐標系方法作交于O平面平面，而平面平面，平面，平面，以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示.設OC=1,，,，,BCBD,又棱臺中BC/EF,EFBD；方法三：三余弦定理法平面ACFD平面ABC，,，又DC =2BC,即,又，（II）方法一：幾何法因為，所以與平面所成角即為與平面所成角作于，連接，由（1）可知，平面，因為所以平面平面，而平面平面，平面，平面即在平面內的射影為，即為所求角在中，設，則，故與平面所成角的正弦值為方

17、法二【最優(yōu)解】：空間向量坐標系法設平面BCD的法向量為,由（）得,令,則,，,由于，直線與平面所成角的正弦值為 方法三：空間向量法以為基底,不妨設，則(由（）的結論可得）設平面的法向量為，則由得取，得設直線與平面所成角為，則直線與平面所成角也為，由公式得方法四：三余弦定理法由，可知H在平面的射影G在的角平分線上設直線與平面所成角為，則與平面所成角也為由由（）的結論可得，由三余弦定理，得，從而方法五：等體積法設H到平面DBC的距離為h，設,則,設直線與平面所成角為，由已知得與平面所成角也為由，,求得，所以【整體評價】（）的方法一使用幾何方法證明，方法二利用空間直角坐標系方法，簡潔清晰，通性通法，

18、確定為最優(yōu)解；方法三使用了兩垂直角的三余弦定理得到，進而證明，過程簡潔，確定為最優(yōu)解（II）的方法一使用幾何做法，方法二使用空間坐標系方法，為通性通法，確定為最優(yōu)解；方法三使用空間向量的做法，避開了輔助線的求作；方法四使用三余弦定理法，最為簡潔，確定為最優(yōu)解；方法五采用等體積轉化法，避免了較復雜的輔助線.22某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有四個問題，規(guī)則如下：每位參加者計分器的初始分均為分，答對問題分別加分、分、分、分，答錯任一題減分；每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足分時，答題結束，淘汰