微分方程m015飲酒駕車建模

1、Differential equation model and its application第4篇 微分方程模型及應(yīng)用第13章 微分方程概念及簡(jiǎn)單建模實(shí)例第14章 微分方程建模的綜合實(shí)例第15章 飲酒駕車模型2022/8/11 16:15:25第15章 飲酒駕車模型15-1 問(wèn)題的提出15-2 模型的假設(shè)15-3 符號(hào)說(shuō)明15-4 問(wèn)題的分析15-5 模型的建立 與求解4.1、模型的建立4.2、模型的求解15-6 模型的評(píng)價(jià)15-7 短文 對(duì)酒后駕車說(shuō)不2022/8/11 16:15:25據(jù)報(bào)載，2003年全國(guó)道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬(wàn)，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤?。針?duì)這

2、種嚴(yán)重的道路交通情況，國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見(jiàn)他呆到凌晨2點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時(shí)卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會(huì)不一樣呢？15-1 問(wèn)題的提出202

3、2/8/11 16:15:25請(qǐng)你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問(wèn)題：1.對(duì)大李碰到的情況做出解釋；2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答：酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的；酒是在較長(zhǎng)一段時(shí)間（比如2小時(shí)）內(nèi)喝的。3.怎樣估計(jì)血液中的酒精含量在什么時(shí)間最高；4.根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開(kāi)車？5.根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車提出忠告。15-1 問(wèn)題的提出2022/8/11 16:15:25參考數(shù)據(jù)1.人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的

4、7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2.體重約70kg的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如表15-1。表15-1 喝兩瓶啤酒后的時(shí)間的血液中酒精含量（毫克百毫升）時(shí)間(小時(shí))0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時(shí)間(小時(shí))678910111213141516酒精含量383528251815121077415-1 問(wèn)題的提出2022/8/11 16:15:251）不同年齡段、不同性別、不同種族人的酒精代謝功能大致相同；15-2 模型

5、的假設(shè)2）喝的都是同一種酒，酒精含量相同；3）血液中的酒精含量與在短時(shí)間內(nèi)喝下的啤酒中的實(shí)際酒精含量成正比；4）大李的體重大約為70kg；5）假設(shè)血液的密度為1g/ml；6）酒精在血液中的含量與在體液中的含量大體相同。2022/8/11 16:15:2515-3 符號(hào)說(shuō)明G 飲酒者的體重r 血液占體重的比例m1 酒精的密度m2血液的密度a 血液中酒精含量的變化率與單位時(shí)間內(nèi)的酒精含量的 比例系數(shù)b 酒精含量的消失率t 飲酒后的時(shí)間xn(t) 表示在短時(shí)間喝下n瓶酒后，t時(shí)刻血液中的酒精含量A(n) 表示積分常數(shù)C隨著飲酒量變化的系數(shù)T 飲酒消耗的時(shí)間M 飲酒的次數(shù) t0 血液中酒精含量達(dá)到峰值

6、的時(shí)刻xn(t,T,k) 表示在T時(shí)間內(nèi)第k次喝下酒后到 時(shí)刻血液中的 酒精含量N 飲酒的瓶數(shù)2022/8/11 16:15:2515-4 問(wèn)題的分析眾所周知，司機(jī)酒后駕車的危險(xiǎn)性非常大，我國(guó)道路交通事故中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)比例，如何抑制？找出飲酒后酒精在血液中的變化規(guī)律至關(guān)重要。我們可以根據(jù)題目所給的參考數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，找出血液中酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；也可以由相應(yīng)的醫(yī)學(xué)、化學(xué)以及數(shù)學(xué)知識(shí)，建立微分方程模型，找出血液中酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。由這些函數(shù)關(guān)系分析解決如何控制飲酒、安全駕車的問(wèn)題。2022/8/11 16:15:2515-5 模型的建立與求解4.1、模型的建立從某人喝下

7、2瓶啤酒后血液中的酒精含量表4-3-1中所給的數(shù)據(jù)可分析出，并不是喝下2瓶啤酒后血液中的酒精含量立即達(dá)到2瓶啤酒中實(shí)際的酒精含量。通過(guò)查閱醫(yī)學(xué)資料可知，自飲酒后2-5分鐘酒精開(kāi)始進(jìn)入血液，隨著身體對(duì)酒精的吸收，血液中酒精含量逐漸上升，在某一時(shí)刻達(dá)到了峰值，由于人體內(nèi)時(shí)刻進(jìn)行著代謝，所以在達(dá)到某一峰值之后血液中的酒精含量將會(huì)衰減并逐漸趨向于0。某體重70kg的人喝下2瓶啤酒，通過(guò)查閱資料知1瓶啤酒的酒精含量為3.5%-4%，容量為640ml，酒精的密度為0.8kg/L。在喝下2瓶啤酒后血液中的實(shí)際酒精含量代入數(shù)據(jù)得203毫克/百毫升，表4-3-1所給數(shù)據(jù)的酒精含量都小于203毫克/百毫升，因此數(shù)

8、據(jù)符合由于體內(nèi)酒精代謝而導(dǎo)致酒精含量變化的規(guī)律，所以給出的血液中的酒精含量的數(shù)據(jù)可信性較高。 2022/8/11 16:15:2515-5 模型的建立與求解1）模型一：基于假設(shè)3，體重約70kg的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下1瓶啤酒后，隔一定時(shí)間血液中酒精含量如表15-2表15-2 喝下一瓶啤酒后一定時(shí)間間隔內(nèi)體內(nèi)血液中的酒精含量變化表時(shí)間(小時(shí))0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量153437.5414138.534342925.52520.5時(shí)間(小時(shí))678910111213141516酒精含量1917.51412.597.5653.53.52根據(jù)表15-2中的數(shù)據(jù)，運(yùn)

9、用 可作出酒精含量散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖15-1。圖15-1 喝下一瓶啤酒后體內(nèi)酒精含量散點(diǎn)圖2022/8/11 16:15:25根據(jù)散點(diǎn)圖估計(jì)血液中酒精含量x(t)與時(shí)間t的關(guān)系為 （15.1） 其中B為常數(shù)。 為了確定模型（15.1）中的常數(shù)B，對(duì)該式式兩邊取對(duì)數(shù)，得： 我們用表15-2中的數(shù)據(jù)通過(guò) 計(jì)算出B=71.199，這樣得到（15.2） 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25分別將不同的時(shí)刻帶入模型（15.2），可以求得不同時(shí)間間隔內(nèi)血液中的酒精含量，見(jiàn)表15-3。表15-3 擬合血液中的酒精含量變化表時(shí)間(小時(shí))0.250.50.7511.522.533.544.5

10、5酒精含量313942434137322723191613時(shí)間(小時(shí))678910111213141516酒精含量964220.90.60.40.20.20.1將表15-3與表15-2中的數(shù)據(jù)比較，可以看出擬合的數(shù)據(jù)并不理想，運(yùn)用此模型也不能夠合理解釋問(wèn)題1，所以此模型不夠合理，我們將進(jìn)一步改進(jìn)。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:252）模型二：受模型一的啟發(fā)，并注意到模型一中的X(t)滿足是表示血液中酒精含量關(guān)于時(shí)間的彈性，這一彈性并非像模型一給出的是一常數(shù)，而是(1-t)/2.事實(shí)上，酒精在血液中含量的變化的規(guī)律是這樣的：剛開(kāi)始喝酒的時(shí)候時(shí)間變化1%，血液中酒精含量

11、變化的百分?jǐn)?shù)較大，但喝下酒后較長(zhǎng)時(shí)間的時(shí)候血液中酒精含量變化的百分?jǐn)?shù)較小。也就是酒精在人體內(nèi)變化的彈性系數(shù)是線性下降的變化趨勢(shì)，所以假設(shè)15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25從而可得模型（15.3） 其中a,b均為大于0的常數(shù)。(15.3)是一階微分方程, 其通解為：（15.4） 其中C為積分常數(shù)為了確定(15.4)式中的常數(shù)a,b,C，對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)，得：利用表15-2中數(shù)據(jù),用最小二乘法擬合出常數(shù)lnC,a,b;可決系數(shù)R2達(dá)到了0.9789，a,b兩參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量的值分別為：8.5056和-20.7408，且統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是高度顯著的。得15-5 模型的建立與求解20

12、22/8/11 16:15:25代入(15.4)得：我們將擬合的圖形與實(shí)際的散點(diǎn)圖相比較如圖15-2所示。（15.5） 圖15-2 擬合曲線與對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25我們認(rèn)為由模型二確定的常數(shù)a,b 對(duì)于飲酒量來(lái)說(shuō)是不變的，為了表示喝n瓶酒后血液中酒精變化的規(guī)律，我們讓模型二中的積分常數(shù)C隨著飲酒量的變化而變化，記為A(n)，又假設(shè)在短時(shí)間內(nèi)喝下n瓶酒，這樣得 （15.6） 其中xn(t)表示在短時(shí)間內(nèi)喝下n瓶酒時(shí)血液中的酒精含量.(15.6)式是一個(gè)方程組，其中xn(0.25)=15n表示在喝完n瓶酒后0.25小時(shí)時(shí)血液的酒精含量，從而得A(

13、n)應(yīng)滿足方程（15.7） 3）模型三15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:254）模型四模型三中沒(méi)有考慮酒是在一段時(shí)間內(nèi)喝下的，這與實(shí)際情況不符，我們?cè)谀Ｐ腿幕A(chǔ)上，建立在0,T時(shí)間內(nèi)連續(xù)喝下 瓶酒后血液中的酒精變化規(guī)律模型，其中假設(shè)在0,T時(shí)間內(nèi)分M次喝完n瓶啤酒，每次間隔的時(shí)間為T/M，每次喝下后進(jìn)入到血液中的酒精含量為x(T/M)n/M，第k次喝下酒后血液中的酒精含量滿足下列方程：（15.8） 其中xn(t,T,k)表示在T時(shí)間內(nèi)第k次喝下酒后到t時(shí)刻血液中的酒精含量。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25根據(jù)題目中的具體情況, 假設(shè)T=2

14、小時(shí), M=8, x(T/M)=15，代入（15.8）得：（15.9） 在2小時(shí)內(nèi)喝完酒后t時(shí)刻血液中的酒精含量走勢(shì)圖見(jiàn)圖15-3。圖15-3 在2小時(shí)內(nèi)喝完酒后t時(shí)刻血液中的酒精含量走勢(shì)圖 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:254.2、模型的求解1）問(wèn)題1的求解由模型二的解（15.5）式，我們求出喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值見(jiàn)表15-4。表15-4 喝一瓶啤酒后血液中酒精含量的擬合值時(shí)間（小時(shí)）0.250.50.7511.522.53酒精含量21.1828.0131.6533.8735.8335.9034.8933.28時(shí)間（小時(shí)）3.544.556789酒精含

15、量31.3329.2127.0424.8819.9117.1614.0211.37時(shí)間（小時(shí)）10111213141516酒精含量9.177.365.884.693.782.952.34從表15-4中可得出：大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，到下午6點(diǎn)時(shí)血液中的酒精含量為19.91毫克/百毫升，血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升，所以在檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25當(dāng)在6點(diǎn)鐘又喝一瓶啤酒，此時(shí)血液里不僅含有第2瓶啤酒的酒精，同時(shí)第1瓶的酒精仍然存在，并且同時(shí)進(jìn)行著酒精代謝。這時(shí)大李從喝第2瓶酒后的t時(shí)刻，血液中的酒精含量x2(t)應(yīng)滿足：其

16、中由（15.5）式算出x(6.25)=19.847，從而解出常數(shù)A=66.3625。因此大李從喝第2瓶酒后的t時(shí)刻，血液中的酒精含量（15.10） 大李在凌晨2點(diǎn)接受檢查時(shí)，從喝第2瓶酒后已經(jīng)過(guò)了8小時(shí)，將t=8帶入（15.10）式，得結(jié)果表明：此時(shí)血液中的酒精含量為22.5371毫克/百毫升, 超過(guò)了20毫克/百毫升, 所以檢查出他是飲酒駕車。 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:252）問(wèn)題2的求解當(dāng)3瓶啤酒是在較短的時(shí)間內(nèi)喝下時(shí)，此時(shí)n=3，代入（15.7）式，得所以在短時(shí)間內(nèi)喝完3瓶酒后血液中的酒精含量x3(t)為:解得: A(3)=85.6978當(dāng)x3(t)=8

17、5.6978時(shí),解得： 結(jié)果表明：如果在短時(shí)間內(nèi)喝下3瓶啤酒，那么在酒后0.0387小時(shí)至9.7731小時(shí)血液中的酒精含量超過(guò)了20%，即在這一段時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反標(biāo)準(zhǔn)。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25討論3瓶啤酒是在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)喝下的情況如果在較短的時(shí)間內(nèi)喝下3瓶啤酒就不需考慮喝酒的過(guò)程中酒精在體內(nèi)的代謝，但此問(wèn)題要求在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)喝下3瓶啤酒，所以在喝酒的過(guò)程中就需考慮酒精在體內(nèi)的代謝。解決此問(wèn)題時(shí)。我們將2小時(shí)以0.25小時(shí)為單位分成8個(gè)時(shí)間段，假設(shè)每次喝酒的量為瓶，每隔0.25小時(shí)喝一次，喝8次。由(15.9)式求解得：當(dāng)k=8時(shí)，即在2小時(shí)內(nèi)喝完酒后t時(shí)

18、刻血液中的酒精含量為計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)t14.4911時(shí)血液中的酒精含量超過(guò)了20%，也即說(shuō)明，在2小時(shí)內(nèi)喝完3瓶酒后在14.4911小時(shí)內(nèi)血液中的酒精含量超過(guò)了20%，即在這一段時(shí)間內(nèi)駕車就會(huì)違反標(biāo)準(zhǔn)注：此模型只給出了大概的時(shí)間范圍，如果給出一個(gè)比0.25更小的單位來(lái)劃分不同時(shí)刻，那么得出的時(shí)間范圍會(huì)更為精確。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:253）問(wèn)題3的求解血液中的酒精含量何時(shí)達(dá)到峰值與飲酒方式有關(guān)，與飲酒量無(wú)關(guān)，因此不同的飲酒方式使得血液中的酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)間不同。針對(duì)本問(wèn)題我們只考慮喝一次酒后血液中的酒精含量達(dá)到峰值的時(shí)間。此時(shí)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求x(t)的最

19、大值，根據(jù)模型一，x(t)的導(dǎo)數(shù)為：得x(t)的唯一駐點(diǎn) ：t0=a/b.所以由求極值的理論知， 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25當(dāng)t=t0=a/b時(shí)， N達(dá)到最大值。因此，在喝酒后血液中的酒精含量達(dá)到最大值的時(shí)刻為a/b。將數(shù)據(jù)帶入a=0.4647,b=0.2640，求得t0=1.769（小時(shí)）即為血液中酒精含量達(dá)到最高的時(shí)刻。計(jì)算結(jié)果表明：喝完酒后血液中的酒精含量基本上都在 t0=1.769 小時(shí)達(dá)到峰值，這與相關(guān)文獻(xiàn)中給出了大多數(shù)飲酒者在飲完酒后30120分鐘血液中的酒精濃度達(dá)到峰值結(jié)論是相符的。15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25

20、4）問(wèn)題4的求解問(wèn)題4要求我們用以上建立的模型論證：天天喝酒，是否還能開(kāi)車。并未作出具體要求，但此問(wèn)題的解決需要考慮到一天喝酒的次數(shù)和每次飲酒量。對(duì)此我們做以下詳細(xì)分析。首先我們假設(shè)一天只喝一次酒并且在短時(shí)間內(nèi)喝完,設(shè)喝下的量為N瓶。第一種情況：喝完酒后，一天中的每個(gè)時(shí)刻都能開(kāi)車。也就是使Nx(t)的峰值小于20。此時(shí)根據(jù)問(wèn)題3所估算出的x(t)達(dá)到峰值時(shí)的時(shí)刻t0，將t=t0代入方程N(yùn)x(t)20中，求得N的最大值為0.55瓶（352毫升），即當(dāng)0N0.55時(shí)，一天中的每個(gè)時(shí)刻都能開(kāi)車。 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25第二種情況：喝完酒后，一天中的各個(gè)時(shí)刻都不

21、能開(kāi)車。即在喝完酒后的24個(gè)小時(shí)內(nèi) Nx(t)20，將t=24代入方程N(yùn)x(t)20，求得N的最小值8.57瓶（5484.8毫升）。即當(dāng)N8.57（5484.8毫升）時(shí)，一天中的每個(gè)時(shí)刻都不能開(kāi)車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時(shí)間可以開(kāi)車。此時(shí)0.55N8.57，這時(shí)隨著N的增加，可以開(kāi)車的時(shí)間逐漸減少。其次假設(shè)一天喝二次酒, 每次的量相同為N，且每次間隔時(shí)間也相同, 為24/2=12小時(shí). 此時(shí)也可分為三種情況.15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25第一種情況：喝完酒后,一天中的各個(gè)時(shí)刻都能開(kāi)車。由假設(shè)可看出，每天血液中的酒精含量的峰值一定出現(xiàn)在第二次飲酒后, 其時(shí)刻

22、仍為上述的t0 ,此時(shí)將t=t0代入方程N(yùn)x(t+12)+Nx(t)=20，求出N=0.5003瓶(320.192毫升)。即一天飲兩次，且每次的量0N0.5003時(shí)，一天之內(nèi)，各個(gè)時(shí)刻都能開(kāi)車。第二種情況：喝完酒后，一天中的各個(gè)時(shí)刻都不能開(kāi)車。根據(jù)假設(shè)，可以看出每天血液中的酒精含量最低值應(yīng)在第12個(gè)小時(shí)。即第二次喝酒之前。些時(shí)將t=12代入方程N(yùn)x(t)=20，求出N=3.4（2176毫升）。即當(dāng)N3.4（2176毫升）時(shí)，一天之內(nèi)每時(shí)刻都不能開(kāi)車。第三種情況：一天之內(nèi)，有一段時(shí)間可以開(kāi)車，此時(shí)0.5N3.4，即隨著N的增加，可以開(kāi)車的時(shí)間逐漸減少. 15-5 模型的建立與求解2022/8/11 16:15:25最后，我們?cè)儆懻撘惶熘畠?nèi)喝n次酒、每次飲酒量相同為N的情況，且每次飲酒間隔時(shí)間相同