動(dòng)圓過定點(diǎn)問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)一個(gè)圓過定點(diǎn)問題的探究和推廣已知圓的方程為,直線過定點(diǎn)且與圓相切.(1)求直線的方程;(2)設(shè)圓與軸交與兩點(diǎn),是圓上異于的任意一點(diǎn),過點(diǎn)且與軸垂直的直線為,直線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn).求證:以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo). 解:(1)省略;(2)對(duì)于圓方程,令,得,即.又直線過點(diǎn)且與軸垂直，直線方程為.設(shè)，則直線方程為解方程組,得同理可得,以為直徑的圓的方程為， 又，整理得， 若圓經(jīng)過定點(diǎn),只需令,從而有,解得，圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為.備注:本題是09年江蘇省蘇

2、北四市(徐州、宿遷、淮安、連云港)第三次調(diào)研考試第17題)筆者對(duì)命題者提出的參考解法不是很認(rèn)同,參考解法中引進(jìn)的參數(shù)不太合理,導(dǎo)致后期定點(diǎn)的出現(xiàn)不自然,同時(shí)完全掩蓋了該問題的幾何背景.對(duì)此,筆者給出了如下的改進(jìn)解法:解:設(shè)直線的斜率分別為,則直線,令,則,直線,令,則,以為直徑的圓的方程為,即令,則.即以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為. 從上述的改進(jìn)解法中,我們注意到,由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)而生成的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)始終滿足一個(gè)不變的條件,即它們縱坐標(biāo)的乘積始終為定值.記以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為,則由圓的相交弦定理可得到結(jié)論:,易知,點(diǎn)即為以為直徑的圓經(jīng)過的定點(diǎn).由此,我們不難發(fā)現(xiàn),此類圓過定點(diǎn)的問題是根據(jù)圓的相交

3、弦定理來命制的.將問題一般化后,即可得到如下的命題:命題1:已知圓與軸交與兩點(diǎn),垂直于軸的直線過定點(diǎn),是圓上異于的任意一點(diǎn),若直線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),則以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn).證明:設(shè)直線的斜率分別為,則直線,令,則,直線,令,則,即設(shè)以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經(jīng)過的定點(diǎn).在得到圓的優(yōu)美結(jié)論后,我們自然會(huì)產(chǎn)生聯(lián)想,圓錐曲線也有這樣的優(yōu)美性質(zhì)嗎?筆者經(jīng)過探究,得到如下的一組命題:命題2:已知橢圓與軸交與兩點(diǎn),垂直于軸的直線過定點(diǎn),是橢圓上異于的任意一點(diǎn),若直線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),則以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn).證明:設(shè)直線的斜率分別為,則直線

4、,令,則,直線,令,則,即設(shè)以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經(jīng)過的定點(diǎn).特別地,當(dāng)時(shí),以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn).命題3:已知雙曲線與軸交與兩點(diǎn),垂直于軸的直線過定點(diǎn),是雙曲線上異于的任意一點(diǎn),若直線交直線于點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),則以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn).證明:設(shè)直線的斜率分別為,則直線,令,則,直線,令,則,即設(shè)以為直徑的圓與軸的交點(diǎn)為,則由圓的相交弦定理可得,所以即為以為直徑的圓經(jīng)過的定點(diǎn).特別地,當(dāng)時(shí),以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn).命題4:已知拋物線,垂直于軸的直線過定點(diǎn),是拋物線上異于的任意一點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影為點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),則以為直徑的圓總經(jīng)過定點(diǎn). 證明:設(shè),則直線,令,則,所以